核心素养视域下的“余弦定理”教学思考

江苏省丹阳市第五中学 (212300) 李 萍 王圣光 陈 文

1.关于数学核心素养

数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与思维品质.数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是学生在数学学习的过程中逐步形成的.数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.更一般地还包括学会学习、数学应用、创新意识等；从学习评价的角度看，数学核心素养主要体现在情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思的综合运用能力上.《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质……”基于此，我们一线的数学教师更应该把数学核心素养落实到平时的教学活动中，在核心素养的统领下帮助学生形成必备的品格和关键的能力.

2.以数学核心素养为导向的教学设计

2.1 对教材的理解与学情分析

本节课选自普通高中新课程标准苏教教版必修2第11章《解三角形》第一节《余弦定理》．余弦定理是初中所学勾股定理的推广与延伸，定量地揭示了三角形的部分边角关系，也是本章中两个重要的定理之一.本章主要包括余弦定理和正弦定理，这两个定理比较系统地研究了解三角形这个课题，利用这两个定理学生可以求解任意三角形的边角关系，而不必局限于特殊三角形中(直角三角形、等腰三角形).这两个定理既有独立性，又相互交融，相得益彰，形成一个有机整体，联袂揭示三角形边角的等量关系，共同构成解三角形的重要工具.例如，从证明思路上看，两者都可以从几何法、向量法、解析法等角度来推导，并且推导过程相似度很高，从应用的角度看，在解三角形时，选用哪个定理并不是绝对的，有时两个定理都可以用.

2.2 问题情境

心理学认为教师根据教学内容、教学目标以及学生的认知水平和心理特征灵活地创设问题情境，一方面能够激发学生的学习兴趣，使学生积极主动地参与到教学活动中，真正成为学习的主人，另一方面可以快捷、准确地感知、理解和运用教学内容，对于提高课堂效率、提升学生的实践能力、培养学生的创新精神和核心素养，有着非常积极的意义.笔者在本节课的问题情境教学中设置了下面两个环节.

环节一：

问题1 在ΔABC中，它的三条边a,b,c与三个角A，B，C之间有哪些关系？

设计意图：

1.维果斯基的最近发展区理论指出：教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有一定难度的问题，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到其下一发展阶段的水平，然后在此基础上进行下一个发展区的发展.学生已经初步学习了三角形的六个元素(三条边与三个角)之间的关系，通过这个问题一方面引导学生回顾已经学过的三角形的边角关系，发挥学生的潜能，由最近发展区向下一发展区发展，另一方面教师引导学生发现这些关系大多属于定性分析，为进一步研究三角形带来不便，因此，任意三角形中边角之间有哪些等量关系有待于我们研究.

2.本节课是本章的章首课有必要向学生介绍本章要学习哪些内容，利用本章知识可以解决哪些方面的问题等，使学生对本章有整体的了解，明确学习的方向.

3.直接从数学问题出发，引发学生的思考，激发学生的探究欲望.

环节二：

图1

问题2你可以从这个实际问题中抽象出一个数学问题吗？

追问：你可以把这个数学问题一般化吗？

设计意图：

1.引导学生感受数学来源于生活，学会用数学的眼光看世界.

2.通过实际问题情境，学生进一步感受研究任意三角形边角之间的等量关系的必要性，激发学生的探究欲望.

3.数学是在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中产生和发展的，学生的数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在学习过程、应用过程和创新过程中逐步形成和发展的.通过引导学生从实际问题中抽象出数学问题，提高学生发现问题和提出问题的能力，培养学生的数学抽象和数学建模等核心素养.

4.通过“追问”引导学生思考如何把问题一般化，进一步提升学生从特殊到一般的思维能力和概括能力.

2.3 余弦定理的发现与推导

问题3在ΔABC中，已知边a，边b，角C的大小，这样的三角形唯一确定吗？为什么？

设计意图：

1.引导学生思考并能够利用三角形全等的知识判断出此三角形是唯一确定的，从而知道第三边c的长度可求，培养学生思维的严谨性.

2.引导学生用数学的思维分析世界.

问题4边c随着边a，边b，角C大小的变化产生怎样的变化？

师生活动：

师生共同分析问题，确立研究方案：学生先分组实验(把手中的笔看作三角形的边)，教师再利用几何画板验证总结.学生分组情况如下：

第一组：边a与边b的大小不变，通过改变角C的大小，观察边c的大小变化情况；

第二组：边a与角C的大小不变，通过改变边b的大小，观察边c的大小变化情况；

第三组：角C与边b的大小不变，通过改变边a的大小，观察边c的大小变化情况.

设计意图：

1.通过实验学生直观感受边c随着边a，边b，角C大小的变化情况，体验感更强烈.

2.通过实验学生更容易领悟到含有多个变量问题采用“分而治之，各个击破”的方法研究的优势.

设计意图：

通过对问题逐步分析，一点一点地为学生铺路搭桥，使学生的思维向新知识或问题的目标靠拢，引导学生将未知问题转化为已知，自然而然的引出证明方法，顺利实现新旧知识的有效建构，培养学生独立思考以及小组合作交流的能力，同时也提升学生的数学逻辑推理素养.

图2

(2)如图3，当∠C为钝角时，作BD⊥AC，交AC的延长线于D.

图3

(3)当∠C为直角时，c2=a2+b2-2abcosC显然成立.

综上，c2=a2+b2-2abcosC.

距离是度量问题的核心，我们不能满足于推导出余弦定理，还应引导学生思考除了上面的方法外还可以用什么方法求边c的长度.向量法是高中阶段求长度的常用方法之一，如何引导学生想到利用向量来证明呢？笔者认为教师可以从下面两个角度引导：一方面教师在总结思路1时可以有意的引导学生在向量正投影方面多加思考，为利用向量法推导余弦定理做好铺垫，另一方面可以从已知条件中两边及夹角这一角度引导学生思考.

思路3：以C为坐标原点，CB为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，则A(bcosC,bsinC)，B(a,0)，由两点间的距离公式可得AB=

上面分别从解三角形、向量法、解析法三个不同的角度推导余弦定理，这三种方法也是高中阶段求解距离问题的常用方法.从不同的角度，不同的思路引导学生思考问题，把培养学生的数学核心素养蕴含在解题过程和学习过程，蕴含在每一节课中，学生自然而然的就会养成从多角度，多层次，多方法分析问题的习惯，从而扩充思维领域，提高思维能力，提升数学核心素养.

3.基于核心素养的教学思考

(1)在教学中寻找核心素养与教学内容的关联.高中数学学习评价关注学生知识技能的掌握，更关注数学学科核心素养的形成和发展，在高中数学课堂教学中如何将知识技能的掌握与数学核心素养的达成有机结合，是我们高中数学教师所要思考的.数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的，蕴含在每一个知识点、每一节数学课堂中.每一节数学课的内容都是整个数学知识网络的一个节点，教师要树立数学的整体观，站在整体的数学知识结构的高度来设计每一节课.同时还应阅读与本节内容相关的知识背景，结合教学实际思考数学核心素养与教学内容的关联，在教学中寻找核心素养的孕育点与生长点，如通过问题2启发学生思考，从实际问题中抽象出一个数学问题，培养学生在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，运用数学抽象的思维方式思考问题，培养学生数学抽象核心素养，另一方面还可以培养学生用数学语言表达问题、用数学方法建构模型解决问题的素养.

(2)在教学中改变教师的教学方式.在课堂上学生是学习的主体，教师要通过改变教学方式来落实学生的主体地位，让学生养成主动提问、主动思考、主动探究、主动反思的学习习惯.本节课采用“教师问题引领，学生自主建构”的课堂模式，在教师问题串的引领下，让学生自主地感受问题、发现问题、探究问题，为学生提供自由表达、探究、讨论的机会，学生通过个人研究、小组讨论等多种活动，实现知识的建构，促进学生核心素养的发展.如在教学中笔者并没有直接告诉学生利用向量推导余弦定理，而是通过一步一步地启发引导、辨别反问，让方法从学生心中生长出来.