中学数学教学内容主线分析的要素与结构——以三角函数为例

天津师范大学教育学部 (300387) 刘琦琦 吴立宝

天津市河东区教师发展中心 (300161) 陈 健

《普通高中数学课程标准(2017年版)》及《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》均提出“优化课程结构，突出主线，精选内容”[1]的基本理念，其中突出主线就是强调凸显数学知识的内在逻辑和蕴含的数学思想方法.主线分析意在站在整体角度认识数学知识逻辑发展，挖掘数学内蕴思想方法，理解数学活动的设计编排，为教师整体规划教学奠定基础.只有这样才更好地实现课程目标，从一节一节课中跳出来，站在数学体系的角度，思考数学对社会、科学、技术以及人的智力发展的作用，促进学生数学学科核心素养的提升[2].由此可见主线教学将碎片化的数学内容串联起来，依托于主线知识链表达数学本质、反映数学方法、渗透数学思想、最终发展学生数学学科核心素养.这为学生形成有序的知识链进行有意义的学习，以及把数学知识结构内化为学生的认知结构，起到十分重要的基础作用，为现代社会高科技发展所需要的高效益、高智能、高竞争，为学生良好的适应社会与实践活动打下基础.

近几年来，学界聚焦于开展单元教学，意在跳出单一课时的教学而整体规划学生学习.单元的学习任务一般都有一个明确的主线，这个主线可以是外显的知识技能，也可以是内蕴于知识学习过程中的思想方法或学科素养[3].因此，根据学习主线的类型将学习单元分为两类：以知识技能为主题的学习单元和以思想方法或学科素养为主题的学习单元.单元主要有三种组织方式：按照知识主线对教材章节进行较少的改造组织起来的教材单元，按照思想方法或学科核心素养的进阶对教材进行跨章节跨年级重组的学习单元，按照活动主题任务对一个或多个学科进行重组的跨学科单元[4].

由此，以知识主线为主，活动主线为载体，渗透数学思想方法，发展数学学科核心素养，分为知识主线、活动主线、思想方法主线、素养主线.知识主线与活动主线是明线，思想方法主线与素养主线为暗线，明线是数学教学中的外显内容载体，是具化的数学表达，暗线是明线的引领，是数学教学中内隐本质，是抽象化综合化的数学能力.明暗主线交织，深刻分析知识主线发生发展脉络以及承载的育人价值，提高教师对数学的深刻理解.明确知识主线分析要素以期更好地感悟知识与活动中蕴含的思想方法，为挖掘更深层次数学学科核心素养作铺垫.其中值得注意的是，明暗主线之间是怎样的结构关系，或者说是如何相辅相成发展的，并且在实践教学中又是如何从知识主线分析教学内容促进数学理解的.

一、主线结构

(一)从主线内涵分析结构

通过剖析主线内涵得出，知识与活动为教学明线，知识是教学的基础，是教学的“形”，活动主线是知识学习的重要载体，是学生感悟思想方法的必经途径；思想方法与核心素养是暗线，思想方法是技能，是教学的“神”，素养主线是顶端引领，如图1.

图1 主线关系结构图

从教学设计的角度来看，知识主线是思想方法主线的基础，思想方法主线是活动主线的指导，活动主线是知识主线的活动载体.教师高效开展教学的前提是提前做好预设优化教学设计，首要的一步就是分析静态的数学知识，只有教师深度理解数学知识才能进一步分析出数学知识中蕴含的数学思想方法，理解数学知识的本质，布局暗线，根据思想方法的暗线指导设计数学活动，数学知识的学习不是教师直接给学生的，而是学生在某个体验中生成的，数学活动便是知识生成的最佳载体，学生通过活动直接体验在“做”中感悟习得数学知识.因此从教学设计的角度来看知识、思想方法与活动形成外循环.

从学生学习的序来看，知识主线是活动主线的内容根基，活动主线是感悟思想方法的必经途径，思想方法是数学知识的本质表达.数学活动本质上也是数学知识，它是以数学知识为内容上的依据进行设计的，目的是使得学生在活动中获得经验进而习得数学知识，活动作为外显载体是感悟思想方法的必经途径，思想方法是内蕴与数学知识内部的隐性知识，更能反映数学本质但也更加抽象，需要通过数学活动使得学生通过“做”感悟思想方法.因此，从学生学习的角度来看，学生首先学习知识，而后通过活动感悟思想方法，在回归知识理解数学本质，由此知识、活动、思想方法形成内循环.

数学学科核心素养的发展需要数学知识的积累，数学活动的体验，数学思想方法的感悟.《课标(2017年版2020年修订)》指出学科核心素养是育人价值集中体现，是学生通过学科学习逐步形成的正确价值观、必备品格和关键能力.由此可见，数学学科核心素养的培养实际指向数学能力和数学素养的培养；而能力和素养目标一般不能通过一节课教学来实现，需要一个中长期的培养过程[4],其发展必须综合多个方面的积累，更是超越知识、活动、思想方法的更深层次的感悟.例如数据分析素养的培养一定要以知识为依托，在掌握知识的同时发展数据分析能力，在运用能力解决问题的过程中形成和发展数据分析素养[5].通过借助具体数学知识学习的过程，锻炼数学思维利用数学思维剥离事物非本质属性，形成解决问题的方法技能，积累宝贵的活动经验，有了这一系列“量”的积累，才会发生“质”的转变，最终发展学生数学学科核心素养.

(二)从课程标准看主线关系

从课程目标认识主线.课程目标指出，通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，提高四能，发展数学学科核心素养.从这个角度讲，知识处于最突出的地位，是数学教学的根源与载体；数学活动附着于数学知识，根据知识内容性质设计恰当的活动主线，将“静态”的知识转化为“动态”活动呈现给学生，激发学生兴趣，引导学生参与数学学习.在活动中理解基础知识、习得基本技能、升华基本思想、积累基本活动经验，与此同时，在各种活动中运用“四基”提高发现提出问题、分析解决问题的能力.在此过程中，核心素养连续不断地进阶提升，既在引领知识发生发展，也随着知识的发生发展在提高，最终外显表现在会用数学的眼光观察世界、数学的思维思考世界、数学的语言表达世界，综合促进学生思维能力、实践能力、创新意识的发展.主线的表现关系，如图2.

图2 从课标看主线关系

二、知识主线分析的要素

知识主线，即教学要突出数学知识发生发展的过程，体现数学知识的来龙去脉；知识主线是数学教学的核心内容，是在教师深刻理解数学知识本质基础上梳理出的符合学生认知发展规律的教学内容.主要从以下三个方面分析：

(一)分析知识主线核心概念

宏观上分析核心概念，确定主线锚点.核心概念在数学课程中的重要性已经引起国际上的重视和研究，核心知识应理解为一个拥有“核”的“知识群”，它是由核心概念及其生长出的子概念组成的知识体系[2].数学核心概念是一个拥有“核”的“概念群”，是由核心概念及其生长出的子概念组成的知识体系[6].从操作上可以从两点入手分析：(1)分析主线中概念的基础性，哪些概念是逻辑生长点，具有奠基作用，能深度启发学生产生数学思考；(2)主线中概念的发展性，概念学习延伸点广泛，具有强大联系性，能丰富学生的数学理解与数学认识.确定主线的核心概念也就明确了主线的关键定点，从“点”上认识主线，后续的知识分析全部紧紧围绕这一核心点展开设计.

(二)分析知识内部推理发展

中观上分析连通知识点，辐射形成网线.中观角度上，围绕着核心概念梳理性质要确定知识主线包含的知识内容及其知识结构.数学教材中的知识链条中按照轻重缓急分为重点知识块与从属知识块，重点知识块就是学生学习的重点，在学生理解其它数学知识是起到主导性作用，从属知识块就是为学生学习重点知识的铺垫知识，为学生理解重点知识内容奠定基础，搭建桥梁.因此，在分析知识内部推理发展时首先明确知识线中的，哪些知识块是重点学习的内容或者说是学生学习的重难点、关键点，哪些知识块又是学生学习的辅助性知识，做到了解即可.其次是着重分析重点知识块与从属知识块之间的联通，也就是知识之间是如何发生发展的，部分与部分之间是如何相互配合形成逻辑缜密的数学知识的.在操作方法着手两点分析：(1)梳理主线所含的知识点(块)、涉及的方法，分清楚重点知识与从属知识.(2)寻找各知识点(块)之间的关联，总结其知识结构，形成知识点的网络结构图[7]，明确知识块之间的关系，理清知识逻辑发展脉络.分析知识主线内部发展，是在定点核心概念的基础上，为了完整主线知识整体性，形成知识辐射的网状结构，从“面”上推进主线认识.

(三)分析知识关键应用模型

纵观上综合知识核心概念与知识发展，回归数学本质解决实际问题.综合分析数学知识的关键应用与典型模型，分析在实际问题中，是如何用数学的眼光将问题数学化，如何用数学的思维思考问题，如何用数学符号表达数学问题，重点放在通过分析知识关键应用模型，蕴含什么数学思想方法，着重发展学生的哪些数学学科核心素养.在操作上注意两点：(1)可以分为数学情境下的模型、科学情境下的模型、生活情境下的模型，着重分析数学知识与实际问题建立模型的桥梁点，建立模型解决实际问题的可操作性步骤.(2)分析问题解决过程中渗透的重要思想方法，在综合应用是如何发挥作用指导问题解决的，不仅是重要思想方法更进一步的是通过综合问题的解决过程着重发展了学生的什么数学学科核心素养.意在从“体”的角度综合理解数学知识，提高对数学知识认识的站位，综合全面的理解数学本质，明确知识主线发生发展过程，提高学生的数学应用意识与能力，提升数学的眼光观察世界能力、数学思维思考能力、数学语言描述能力.

三、三角函数知识主线分析

三角函数主线的教学应当整体把握三角函数的概念、逐步掌握三角函数的性质、掌握基本的三角函数模型，学会运用三角函数研究数学问题和解决实际问题，感悟运用三角函数内容中蕴含的数学思想方法，从而促进学生数学学科核心素养的发展.新教材注重知识的发生发展过程，意在讲清知识从哪里来有延伸到哪里去，因此三角函数章节起始便是关于天体运动的图片，使得学生在原有现实经验中初步感受周期变化现象的特点.圆周运动是周期性变化现象的理想载体，三角函数是基于此抽象出的数学知识，因此教科书中充分借助单位圆研究三角函数，换句话来说三角函数的性质就是圆的几何性质的解析表达[8].本章节知识发展脉络与以往函数章节学习顺序一脉相承，按照函数概念、函数性质、基本函数、函数应用布局，如图3.

图3 三角函数知识结构图

(一)分析三角函数知识主线核心概念

三角函数部分共有7小节，涉及到的概念有20个左右，包含任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式、三角函数的图象与性质、三角恒等变换、函数y=Asin(ωx+φ)、三角函数的应用.其中三角函数的概念包括正弦函数、余弦函数、正切函数，这三个三角函数的概念是本章的重头戏，前面的任意角与弧度制都是为三角函数的概念引出作铺垫，后续的图象与性质也是在三角函数概念基础上进行研究分析的，一般的三角函数模型y=Asin(ωx+φ)是在基础的正弦函数延伸出的更一般的匀速圆周运动模型，整个章节均是围绕着三角函数的概念逐步展开.因此，三角函数的概念是本章的核心概念，是三角函数的学习过程中的奠基点，也是三角函数后续学习的生长点，具有强大的生长力.

三角函数概念的基础性.其一，概念学习的基础性，三角函数的概念是在现实生活中的圆周运动抽象出来的单位圆中定义的，与一般数学概念学习的引入方式类似，经历生活情境——抽象数学模型——归纳数学概念的过程.其二，概念研究方法的基础性，三角函数概念与前面幂指对函数研究方法类似，经历概念后研究图象与性质，学生可继续沿袭之前研究函数的方法研究三角函数概念.其三，三角函数模型的基础性，三角函数概念承接前面学习的函数内容作为最后一种基本函数类提出，不同的三角函数是反映生活中周期现象的基本数学模型.因此，三角函数作为本章的基础概念，教学中应注意引入的合理性，设计三角函数概念学习时要着重概念学习活动设计，将学生逐步从现实生活带入数学概念研究中，精心设计问题串，首先要明确给定一个角，如何得到对应的函数值的操作过程，然后在引出定义.这样三角函数概念的学习水到渠成，而且三角函数对应关系具有独特性，在此要引导学生认识函数本质.

三角函数概念的发展性.其一，作为后续学习的研究工具具有发展性.三角函数概念的学习是借助单位圆为载体，单位圆也是一直贯穿三角函数学习的始终.因此三角函数作为基础的核心概念为后续诱导公式、三角恒等变换、三角函数的图象与性质的学习提供重要载体，是后续学习的生长点.其二，与其它主线内容联系的发展性，正切函数与直线的斜率相关、复数可进行三角表示、圆是三角函数的几何表达，此外三角函数与初中的锐角三角函数相联系，延伸到高等数学中的欧拉公式和傅里叶展开等，可见三角函数概念学习有极强的拓展延伸，发展到数学学习的诸多分支.

(二)分析三角函数知识内部推理发展

梳理三角函数重点知识和从属知识.本章节重点围绕着三角函数概念这一核心点展开学习，前有任意角与弧度制，后有图象性质、综合应用.任意角与弧度制是三角函数概念学习的基础知识，要求学生了解任意角与弧度制的概念，作为重点知识学习的铺垫知识为后续学习三角函数概念打基础.诱导公式和三角函数图象属于三角函数的性质组块，该部分知识的学习是三角函数知识学习的重点，而且性质的学习均是基于概念的基础上生长出来的，既是对概念的进一步理解也是研究三角函数的重要抓手.函数y=Asin(ωx+φ)看做是三角函数经过运算变换得来的，属于三角函数的应用部分，对学生综合解决问题的能力有更高的要求.

图4 三角函数知识块关系图

(三)分析三角函数关键应用模型

数学中的模型，新教材三角函数内容更加重视y=Asin(ωx+φ)的本质意义，用该模型刻画一般匀速圆周运动，考虑在A、ω、φ赋予实际意义的情况下对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响，整体思路为“实际情境问题——建立数学模型——获得函数y=Asin(ωx+φ)——利用为什么y=sinx研究函数性质与图象——推广到更广泛的周期运动问题”新教材编写渗透了数学源于生活的本质，在此过程中着重引导学生从生活过渡到数学解决问题，首先明确实际问题中涉及到的对象有哪些，其次将其数学化建立数量关系，形成数学表达，最终利用转化思想方法，通过与简单正弦函数建立联系，经过四则运算与函数变换研究A、ω、φ对y=Asin(ωx+φ)的影响.通过关键数学模型的学习使得学生更加重视数学与实际生活联系的桥梁，力求让学生体会到学习数学是有用的，是有现实需要的.

在主线分析中，“如何整体把握教学内容，从不同角度进行主线分析，使知识整体化、结构化”这个问题既是重点也是难点.在教学中学生是主体，因此教学一方面要注意知识的发生发展的过程，一方面也要符合学生心理认知规律.基于此应深刻分析知识明线的发生发展，为学生的学与教师的教作奠基.另一角度，在教学中不仅关注知识明线的逻辑发展，更应关注暗线中渗透的思想方法与素养，使得学生在学习知识的同时领悟思想方法，发展学生数学学科核心素养，促进学生更深层次的思考.着重发展学生的关键能力，深入理解数学知识的本质.