对一道漫灰体辐射竞赛题的一题多解及深入探讨

李 惠

(湖南省株洲市第二中学 湖南 株洲 412007)

【试题】本题考虑热辐射的问题.有关热辐射的背景知识叙述如下：

若一物体表面的绝对温度为T，发射率为e，则该物体表面每单位面积在每单位时间内所辐射出的电磁波能量，称为辐射能通量，可表述为R=eσT4，式中σ=5.670×10-8J/(s·m2·K4)，称为斯特凡-波尔兹曼常量.通常e<1，但对黑体而言，e=1(即为完全辐射).如果物体周围的温度为T′，则需考虑物体表面对入射辐射能的吸收.假定入射的辐射能通量为σT′4，α为物体表面的吸收率，则该物体表面所吸收的辐射能通量为R′=ασT′4，通常α<1，但对黑体而言，α=1(即为完全吸收).因此物体表面对入射能量的反射率为1-α.如果该物体和周围的环境达成热平衡，即T=T′，则物体放射出去的和所吸收的辐射能通量应相等，所以e=α，这就是所谓基尔霍夫定律(Kirchhoff′s Law).

现考虑两片面积很大且平行相向对立的金属板A和B，其温度分别维持在TA和TB，TA>TB.A和 B两金属板面的发射率分别为e1和e2.

(1)假想在两金属板面之间有一个虚设的平行截面，试求通过该截面的净辐射能通量，以TA,TB,e1,e2表示.

(2)若是在两金属板中间放入另一块大面积的金属板C，其发射率为e，则在其达成稳定状态时的温度T为何？该温度是否和金属板C所放置的位置有关？

(3)在(2)题中，若e=e1=e2，则在稳定状态时，两金属板之间的净辐射能通量为何？

答案：

(1)

(2)

与板C位置无关.

(3)

(4)

第二种方式较佳.

1 两种方法求解(1)问

解法一：由于两金属板面不是黑体，我们必须考虑热辐射能量在两板面之间的来回反射和吸收.先单独考虑金属板A的热辐射情形，把B板看作一个只有反射无热辐射的装置；再单独考虑金属板B热辐射情形，此时，把A板看成一个只有反射无辐射的装置；最后，A,B板间实际的辐射传热，即等于二者之差.

依照上述思路，单独考虑金属板A的热辐射情形以及它逐次从板面辐射的辐出度.

首次从A板辐射

(5)

首次被B板反射回

RB1=(1-e2)RA0

(6)

A板第一次反射

RA1=(1-e1)RB1

(7)

第二次被B板反射回

RB2=(1-e2)RA1

(8)

A板第二次反射

RA2=(1-e1)RB2

(9)

第三次被B板反射回

RB3=(1-e2)RA2

(10)

上述列出的是从A板发出的一系列出射波在A,B板之间无穷多次反射的热辐射能通量，而实际上，热辐射是不间断地进行的，上述的RA0,RA1,RA2，…以及RB1,RB2,RB3，…是同时存在于两金属板之间的.因此，从A板流向B板的辐射能通量为

RA=(RA0+RA1+RA2+…)-(RB1+RB2+RB3+…)=
(RA0-RB1)+(RA1-RB2)+(RA2-RB3)+…=
e2RA0+e2RA1+e2RA2+…=
e2RA0+e2(1-e2)(1-e1)RA0+
e2(1-e2)(1-e1)(1-e2)(1-e1)RA0+…=
e2RA0[1+(1-e2)(1-e1)+(1-e2)2(1-e1)2+
(1-e2)3(1-e1)3+…+(1-e2)n(1-e1)n]

其中，n→∞，上式中括号中是一个首项为1，等比为(1-e1)(1-e2)<1的等比数列求和.故

(12)

同理可推得，从B板流向A板的辐射能通量为

(13)

则通过两金属板间某平行截面的净辐射能通量为

(14)

解法二：设金属板单位面积接收辐射能通量为G，吸收eG，反射(1-e)G，同时自身辐射eE，其中E=σT4，满足斯特凡-玻尔兹曼定律，金属板稳态平衡时，热量收支平衡，向外界辐射的有效辐射能通量为Jout.

Jout-G=e(E-G)

(15)

可见Jout与G并不是独立的两个变量，而是存在一一对应关系的，收入能通量越大，辐出能通量Jout也越大.由式(15)解得

(16)

所以，金属板向外界的净辐射能通量为

(17)

把上述结论分别应用于A,B板：A板向外界的净辐射能通量为

(18)

B板向外界的净辐射能通量为

(19)

达到稳态温度后，金属板A向外界的净辐射能通量等于金属板B向外界辐射的净辐射能通量的负值，也等于金属板A和B 的有效辐射能通量之差，即

RA=-RB=JA,out-JB,out

(20)

应用合分比定理得

(21)

2 求(2)问

可利用(1)问结论，在A,B板间插入金属板C并达到稳态温度之后，A，C板间的净辐射能通量RAC等于C，B板间的净辐射能通量RCB，即

RAC=RCB

(22)

根据式(14)结论，有

(23)

(24)

联立式(22)～(24)解得

(25)

3 求(3)问

利用式(22)～(24)，并代入e=e1=e2,可得

(26)

联立式(23)、(26)得插入金属板C后的净辐射能为

(27)

4 求(4)问

图1 A,B板间插入n块相同的金属板

由于各金属板达到稳态平衡时温度不变，净辐射能通量相等，根据式(14)，代入e=e1=e2，可得

(28)

其中RAB是A,B板间没有其他金属板时的净辐射能通量，R是A,B板间插入n片金属板时的净辐射能通量，可见，多层金属板相叠，间隙数目越多，单位时间内的辐射传热就越少，保温效果就更好.

5 拓展与提升

笔者给这道题再加两小问(5)和(6)，从其他方向启发学生对此类热辐射问题进行深入思考.

拓展1:(5)常用的隔热布是多层金属薄膜构成，两两之间以网状的、聚酯纤维间隔开来.设金属膜的发射率和吸收率都为e.有一种隔热布共由11层这样的金属膜彼此平行放置构成，用它包裹一个半径为r，比热为c，质量为M的均质球形仪器(仪器本身不发热)，放在距离太阳为d处，设太阳表面积为S，太阳表面温度为Ts,达到稳态时，该仪器的温度To是多少？

解：隔热布的功能并不是阻断热辐射，而是降低进出物体的辐射能通量，因此对稳态平衡的温度没有影响，而只是让稳态平衡较慢达成而已.所以，我们可以不用考虑隔热布的存在，将球形仪器当成黑体，根据球形仪器能量守恒

(29)

得

(30)

拓展2:(6)若该球形仪器本身会发热，功率为常量P，它和多层隔热布的最内层(第11层)紧密接触而保持同温，隔热布的总厚度远小于球形仪器的半径r.达到稳态时，多层隔热布最内层的温度Tin及最外层(第1层)的温度Tout分别是多少？

解：先考虑最内层热平衡,则

(31)

式中T10是第10层隔热布的温度.接着考虑最外层热平衡

(32)

式中T2是第二层隔热布的温度.又由于各层的辐射净能通量相同

(33)

联立，可得

(34)

(35)