磁约束问题中守恒量的讨论

鲁 斌 冯子江

(浙江省余姚中学 浙江 宁波 315400)

“磁约束”在高中物理中常有涉及.人教版物理选修3-5“核聚变”一节中提到：“带电粒子运动时在均匀磁场中会由于洛伦兹力的作用而不飞散，因此有可能利用磁场来约束参加反应的物质，这就是磁约束.”并有“环流器” 的配图(图1).对于环流器的原理，我们往往从“磁镜”的角度入手.本文提供两个方案推导磁约束问题中的守恒量，并给出需要满足的条件.

图1 环流器(即tokamak )

1 从高斯定理到磁矩守恒

1.1 高斯定理

如图2所示，空间中有“磁镜”结构的磁场分布，在任意位置取一高斯面S.

图2 磁场分布

将图2中的高斯面S放大如图3所示，磁场沿z轴方向的分量为Bz，沿半径方向的分量为Br，根据高斯定理

图3 高斯面

Br2πrdz+Bz+dzπr2=Bzπr2

(1)

即有

得到

(2)

1.2 带电粒子的运动

假设此时带电粒子在磁场中运动的轨迹为虚线1(图4).

图4 磁镜

在半径方向，有

得到

(3)

(4)

在z轴方向，有

(5)

将式(2)、(3)代入式(5)

(6)

又

(7)

式(7)代入式(6)后两边同乘以vz，有

(8)

根据能量守恒

(9)

将式(9)代入式(8)，有

(10)

1.3 磁矩

根据磁矩的定义

(11)

将式(3)、(4)代入式(11)，得到

(12)

1.4 磁矩守恒

将式(12)代入式(10)，有

(13)

则磁矩μ为常量.即在此过程中，磁矩为守恒量.即有

(14)

1.5 关于守恒量的讨论

在上述推导中存在一定的近似.主要问题在于要保证带电粒子绕磁场运动的曲率半径r和高斯面的r保持一致.这样才可将式(2)代入式(5)求解.实际上，由于磁场为非均匀场，导致带电粒子的运动并非等距、等半径的螺旋线，而是在高斯面附近的螺旋运动(图5).

图5 轨迹与高斯面

2 从涡旋电场到守恒量

2.1 涡旋电场做功

参照图4，粒子在1位置运动时，从右往左观察，粒子运动方向、磁感应强度方向如图6所示.

图6 磁场方向与涡旋电场

可以将粒子从1位置运动到2位置的过程等效为粒子的运动平面不变，磁场逐渐减小的过程.由于磁通量的变化，在空间中产生涡旋电场，其方向如图6中E旋所示.此时涡旋电场的方向与电子运动方向相反，绕行一圈的过程中，根据动能定理，有

(15)

2.2 近似处理

(16)

绕行一周所需的时间T满足式(4)，m的数量级为10-31，q的数量级为10-19,磁约束问题中，Bz一般也不会太小，故满足

则有

dz=vzdt≈vzT

(17)

2.3 守恒量的推导

将式(4)、(16)、(17)代入式(15)，得到

(18)

两边同时积分，有

(19)

则有

(20)

此式即为磁矩守恒.

2.4 关于守恒量的讨论

2.5 另一个方法

我们也可直接从动量定理进行考查

则

(21)

此时从涡旋电场的方向与电子运动方向相反，有

-Eqdt=mdv⊥

(22)

将式(3)、(21)代入式(22)，得到

两式同时积分，有

(23)

式(23)与磁矩守恒等价.此方法要求涡旋电场线和运动轨迹严格重合.实际上，由于磁场的非均匀性，这两者存在微小偏差.

3 关于角动量守恒的条件

许多文献利用角动量守恒来导出守恒量.如图7所示，洛伦兹力的方向指向轴线，则在z轴方向角动量守恒，有

图7 角动量

L=mv⊥r=C

(24)

将式(3)代入式(24)，有

(25)

对于确定的粒子，m和q都是常数，则角动量守恒与磁矩守恒是等价的.此推导的前提是洛伦兹力始终指向轴线，圆心总落在轴上.

如图8所示，由于粒子所做的是螺旋运动，其受力不总是指向轴线，其圆心也不总是落在轴线.但如果磁场随空间变化缓慢，则螺旋线与圆周的偏差不大，可保证受力与轴线偏差不大，从而保证角动量近似守恒.

图8 螺旋线运动

4 结束语

磁约束问题还有着广泛的运用.如图9所示，带电粒子(如宇宙射线的带电粒子)被地磁场捕获，绕地磁感应线做螺旋线运动，在近两极处地磁场增强，做螺旋运动的粒子被折回，结果沿磁力线来回振荡形成范阿仑辐射带.

图9 范阿仑辐射带

由于地球体积很大，地磁场随空间的变化非常缓慢，宇宙粒子在运动过程中近似满足“磁矩守恒”或者“角动量”守恒.

若带电粒子无法满足折返条件，粒子在两极处的磁力线引导下，在两极附近进入大气层，与大气中的原子和分子碰撞并激发，产生光芒，形成极光.