将《周易》适当地融入《大学数学文化》课程中的探讨

□薄洪波 赵利云 翟丽丽

《大学数学文化》是高等数学知识体系中特别重要的组成部分，为使学生对大学数学产生学习兴趣，深切感受数学学科的魅力，现我校已经将《大学数学文化》作为选修课开设[1]。在《大学数学》课程中引入数学文化教育思想，发挥《大学数学文化》的作用，突出《大学数学文化》教学的整体指导效果。

“大千世界，繁衍有度，苍茫宇宙，错落无垠。”中国古人用以描述无限运动过程的符号数序，是对自然法则的高度抽象和概括。早在五千年前，令人奇异莫测的神秘数图，就启发和开凿了炎黄祖先超凡的灵感和智慧，并创造了《周易》这样震撼古今中外的宏篇巨制，从而形成中华民族文化得以世代传衍的“易道”思想体系。其中《周易》与数学的联系是相当紧密的，例如：李光地(清1642～1718年)以勾股解河洛图；莱布尼兹(德1646～1716年)发现邵雍(宋1011～1077年)的易卦系统与他的二进制数表的一致性；焦循(清1763～1820年)由《周易》推导出代数比例和二项式定理；秦九韶(宋1202～1261年)，在当时提出了相当完备的正负开方术和大衍求一术，并系统地总结了“一次同余组解法”和“高次方程数值解法”，并达到了当时世界数学的最高水平。时至今日，仍有一大部分人坚持研究《周易》，试图从易学中寻求启迪未来的素材。

一、《周易》符号系统的数学内涵

《易传·系辞上传》记载——易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。太极为一，分出一奇一偶，阴阳两面；阴阳之上各加一奇一偶，则为太阳，少阴，少阳，太阴；其上再加一奇一偶，则为乾、兑、离、震、巽、坎、艮、坤八卦。

为了便于符号记忆，古人编出《八卦取象歌》：乾三连、坤六断、震仰盂、艮覆碗、离中虚、坎中满、兑上缺、巽下断，其中前一个字是卦名，后面两个字则是对该卦形象生动的描述。

由“八卦”推导出来的“六十四卦”，“三百八十四爻”这一特殊的符号系统，其组合变换可以给人以无穷的想象余地。这种符号系统的变换复杂程度，似乎在现代科学中都难以找到能与之相媲美的符号系统。

历代易学家发明的符号系统主要有两种：一为《周易》系统(包括焦赣(西汉 生卒不详)在其《易林》中提出的由六十四卦相重而得的四千零九十六卦系统)，另一为扬雄(汉 前53～前18年)的《太玄》系统(包括九天玄女卦)[2]。前者是二元符号系统，后者是三元符号系统。除此之外，还有汉代道教易学的四元系统《灵棋经》，南宋蔡沈(1167～1230年)易学的九元系统《洪范皇极》，北宋司马光(1019～1086年)易学的十元系统《潜虚》。以现代数学语言讲，它们都是有限重集排列，《太玄》的三元符号系统从一开始表现为一个完整的三进制数表，而二元符号系统到北宋时期也由邵雍(宋1011～1077年)的《先天图》发展为完整的二进制数表，并且还把二元有限重集排列推广到排列数n为任意自然数，即N=2n。

八卦图的方圆排列问题具有很强的对称性，它作为原始的坐标系统被广泛地应用于天文、历法、气象、农业生产等各方面。这些都反映了《周易》符号系统的数学内涵。

二、《周易》与中国古代数学的理论范式

在中国的传统文化体系中，有《周易》就是历史的重要观点，从《周易》是历史的方面出发，可以解析《周易》与中国传统数学思想史的关系。《周易》虽然没有直接将某个数学定理和数学公式直接展示出来，但是它所提出的数学方法和数学思想，在中国传统数学中，一直发挥着作用[3]。秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰等中国传统数学家们所取得的杰出数学成就，均显示出《周易》的影响。

大约成书于西汉时期的《周髀算经》和东汉时期的《九章算术》，其中的数学思想在很大程度上确定了中国传统数学的理论范式。虽说这两部书都将数学的根源指向画八卦的伏羲氏不一定正确，但其易学的阴阳观念和思维模式对于传统数学理论范式的形成确实提供了思想基础[4]。

《周易》的“阴阳”经过奇偶次数可以转化为几何的“圆方”，通过赵爽(三国 生卒不详)和刘徽(魏晋 约225～约295年)的发现，开辟了中国数学研究“圆方论”的独特方向。

《周髀算经·卷上》记载——昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺(伏羲)立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？。”商高曰：“数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”三国时期的赵爽对于这段话有详细的注释：“圆径一而周三，方径一而匝四。伸圆之周而为勾，展方之周而为股，共结一角，斜适弦五，此圆方斜径相通之率。故曰数之法出于圆方。圆方者天地之形，阴阳之数。然则周公之所问天地也，是以商高陈圆方之形，以见其象，因奇偶之数，以制其法。所谓言约旨远，微妙幽通矣。”赵爽这段话有两个要点：一是对勾三股四弦五的勾股弦定理给出了解释；二是圆周率取近似值三，虽然不精确，但毕竟在整数范围内，借阴阳原理建立了形与数的比率关系。

魏晋南北朝时期的刘徽(约225～约295年)对《九章算术》的批注“观阴阳之割列，总算术之根源”也遵循阴阳原理[5]。

许多圆方问题从平面发展到立体，计算过程都用到了分割，连续分割正方形和立方体作为开平方和开立方的几何原理。刘徽(魏晋 约225～约295年)著名的“割圆术”，在圆内作内接正多边形即为分解圆方术的第一次成功发展。

《周易》的模型论思想经《九章算术》开辟了中国传统数学的模型算法。《九章算术》中包括“勾股九章”“方程”“盈不足”“均输”“商功”“少广”“衰分”“粟米”“方田”等九大部分内容，基本包含了现在初等数学中“几何”、“算术”、“代数”中的绝大部分内容。

三、《周易》数学派与科学的数学

汉朝时期的“象数学”至宋朝时期分裂为“数学”和“象学”两支。陈抟(宋 879～989年)以“数学”授穆修(北宋 979～1032年)，以“象学”授种放(宋 955～1015年)，穆修传李之才(宋 980～1045年)，李之才再传邵雍(宋1011～1077年)，从而形成《周易》的数学派。

一般来说，中国古代数学系统确立的标志性著作是“九章算术”。刘徽标注“九章算术”时，有一个重要的“序”放在开头，其第一句为——“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术，以合六爻之变。”其中的“包牺氏”、“八卦”、“九九之术”、“六爻”等，是与《周易》联系非常紧密的[3]。

数学作为一个科学学科在中国古代长期被叫做“算术”或“算学”，其名称是从《周易》中借用而来的。算学家荣綮(南宋 生卒不详)在其《黄帝九章·序》中使用了“数学”二字，而秦九韶(南宋 1208～1268年)在其著作《数学大略》中，首次将“数学”二字放入书名。

四、《周易》与中西方数学的会通

《易传·系辞上传》记载“圣人有以见天下之动而观其会通。”“会通”思想是中国学者接受外来文化的观念基础。

中西方会通首先是从“算术”和“历法”两方面开始的[6]。其中最著名的代表人物是徐光启(明 1562～1633年)，他一方面与利玛窦(意大利 1552～1610年)合译《几何原本》，把西方数学介绍给国人；另一方面发挥易学“革故鼎新”的思想，主张“治历明时取象于革”(选自《崇祯历书·恒星历指》)，将西方历法引入明朝的《大统历》，主持编撰《崇祯历书》。

此后，比较有影响的人物是方以智(明 1611～1671年)[7]。他出身三代易学世家，博学多通，立志要把古今中外的知识熔于一炉，对中国传统自然科学和西方科学作了详细的记述、考辨，把整个科学技术按其对象，区分为“质测”(自然科学)、“宰理”(社会科学)和“道几”(哲学)三大类，实践了中西方数学的会通。

在明清时期，西方学者也很快对中国《周易》作出了反应。德国数学家和哲学家莱布尼茨(1646～1716年)，于1679年完成《论二进制》论文的初稿，后来他受法国在中国的传教士白晋(Joachim Bouvet，1656～1730)的影响，开始注意到《周易》，发现邵雍(宋1011～1077年)的先天易图与其二进制数表有惊人的相似之处。

数学这门学科，在清朝前期和中期得到非常大的重视，使其大量的发展，据史料记载，当时达官贵族的主流都在学习数学知识，重新整理和校勘了大批数学的典籍。其中《四库全书》里的《算书之属》一书收集了——“数学钥”、“几何论约”、“数理精蕴”、“缉古算经”、“张邱建算经”、“勾股矩测解原”、“弧矢算术”“测圆海镜分类释术”、“测圆海镜”、“少广补遗”、“勾股引蒙”、“通编”、“同文算指前编”、“数术记遗”、“九章录要”、“庄氏算学”、“数度衍”、“几何原本”、“益古演段”、“数书九章”、“五曹算经”、“夏侯阳算经”、“五经算术”、“海岛算经”、“孙子算经”、“九章算术”等26部数学书籍[8]。

《周易》与现代数学虽然没有发生过有历史性意义的整体关系，但源于科学内部的新自然观和新科学观却预兆了《周易》与后现代数学整体相关的美好前景。

综上所述，《周易》作为一部术数学的原始典籍，为术数学大厦奠定了理论基石。《周易》被称作“万经之首”，是中国人民最早认识世界的智慧结晶[9]。

在对《大学数学》教学进行改革创新的过程中，积极发现数学文化的点滴渗透，在讲解《大学数学》知识的同时，引入数学故事、数学中的经典问题和与其相关的文化内容，不仅能丰富《大学数学》课堂教学内容，而且可以对学生实施积极有效的教学指导，从而引导学生对数学知识进行更加系统全面的探究，激发学生学习数学的经验，彰显数学教学改革的价值[10～11]。