直觉梯形模糊数与熵权-TOPSIS的可靠性分配*

赵永胜，丁紫远，杨聪彬，程 强，刘志峰

(北京工业大学 a.先进制造与智能技术研究所；b.先进制造技术北京市重点实验室，北京 100124)

0 引言

可靠性分配是产品设计和开发阶段最重要的内容，是将系统中重要的任务指标，采用合适的方法分配给组成系统的各个子系统及元部件，其过程是由整体到局部的过程。选取合适的方法是至关重要的。常见的可靠性分配方法有等分配法、评分分配方法、AGREE分配方法、FOO分配方法[1-3]。其中AGREE分配方法是由美国防部的电子设备可靠性分配小组提出，考虑了各个单元的重要度和复杂度以及运行时间上的差别。在此基础上工程设计指南《可靠性设计手册》采用了FOO方法(目标可行性)考虑了4个影响因素。CHANG等[4]将OWGA算子与犹豫模糊语言相结合解决FOO一些缺点。

另外随着模糊理论的发展，黄洪钟等[5]提出一种模糊综合判断的可靠性分配方法并将其应用到机械系统中；LEE等[6]从层次分析的角度出发，考虑专家意见和客观逻辑推理，来完成可靠性分配。

然而这些方法不能解决模糊区间信息，没有考到影响因素各自权重。本文提出可靠性分配方法是通过将专家语言变量转化模糊数，通过ME-OWA算子计算影响因素的权重，运用TOPSIS方法得到产品的可靠性指标。

1 方法介绍

1.1 FOO方法

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 直觉梯形模糊数集

直觉梯形模糊数集可以表示了不同维度的决策信息，运用这些梯形模糊数可以避免大量判断矩阵运算，能将专家的决策信息反映出来，由文献[7]可定义如下。

定义1:设Ai=〈(ai1,ai2,ai3,ai4),(bi1,bi2,bi3,bi4)〉(i=1,2)为两个直觉梯形模糊数，则:

A1+A2=〈(a11+a21,a12+a22,a13+a23,a14+a24),

(b11+b21,b12+b22,b13+b23,b14+b24)〉

(7)

λA1=〈(λa1,λa2,λa3,λa4),(λb1,λb2,λb3,λb4)〉λ>0

(8)

根据文献[8]可以设Ai(i=1,2,…,n)是一组直觉梯形模糊数集合，ω=(ω1,ω2,…,ωn)T是Ai的权重向量，则直觉梯形模糊加权平均算子(TrIFWA)定为：

(9)

对于TrIFWA算子集结还是直觉梯形模糊数。根据文献[9]可以得到直觉梯形模糊数A=〈(a1,a2,a3,a4),(b1,b2,b3,b4)〉的期望值可以从以下公式获得：

(10)

1.3 最大熵有序加权算子(ME-OWA)

有序加权平均算子(OWA)可以通过聚合后的权重向量等级得出属性的最佳权重，被广泛应用到决策理论，根据文献[10]定义如下。

(11)

根据文献[11]结合最大熵原理得到以下公式：

(1)若φ=0，则α=[0,0,…,1]T，φ=1，则α=[1,0,…,0]T；

(2)若n=2，则，α1=φ，α2=1-φ；

(3)若n≥3，0≤φ≤1则有：

(12)

(13)

α1[(n-1)φ+1-nα1]n=((n-1)φ)n-1[((n-1)φ-n)α1+1]

(14)

其中，n为分配影响因素；φ为给定的情景参数。

1.4 逼近理想点排序法(TOPSIS)

TOPSIS是一种常用的多属性决策方法，运用该方法选择出最优方案与正理想点之间距离最近与负理想点距离最远，根据贴近度确定可靠性分配过程中权重大小。由文献[8]和文献[12]可以得出理想排序法步骤如下：

(1)确定加权矩阵Ck。

(15)

(2)确定正理想解决方案C+和负理想解决方案C-。

(16)

(17)

(18)

(4)对于两个梯形模糊数为：

(19)

则梯形模糊距离计算为[13]：

(20)

(5)计算贴近度λk。

(21)

(6)按贴近度选出最理想方案。

1.5 基于直觉梯形模糊数与熵权-TOPSIS的可靠性分配

军事和工业上使用FOO方法来进行可靠性分配，其需要清晰的语言值，但是无法解决设计和开发的模糊区间信息，另外考虑可靠性分配因素过少，造成结论偏差。因此为了解决这些问题。提出了基于直觉梯形模糊数与熵权-TOPSIS的可靠性分配方法，来提高产品可靠性分配的准确性。

该可靠性分配方法步骤如下：

步骤1：根据机床的结构原理，对其划分子系统并列举出来。

步骤2:确定机床系统可靠性要求和运行时间。

步骤3:确定机床系统的可靠性分配原则和机床可靠性分配的影响因素n个。有6个影响因素分别为:复杂度(C),维修(M),技术水平(T),工作环境(W),成本(Co),工作时间(H)。

步骤4:确定m个专家对各个子系统的决策意见。

步骤5:利用式(22)集结所有专家决策。

(22)

步骤6：根据维度,可以运用式(12)～式(14)计算可以得到ME-OWA的权重。并根据以往故障数据和专家经验确定影响因素的重要性顺序。

步骤7：根据式(16)确定方案的正负理想点，本文以整机可靠度为基准，即子系统对整机影响度小，复杂性低，技术水平高，工作环境好，维修性高，成本低，工作时间长为理想目标解。根据文献[14]可以确定正负理想解为：

C+=([1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1])

C-=([0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0])

步骤8：根据式(17)和式(18)计算正负距离测度，然后通过式(23)和式(24)集结所有影响因素对子系统正负加权距离。

(23)

(24)

其中，αj为影响因素权重；

步骤9：根据式(21)计算所有子系统对应方案的贴近度为λ。

步骤10：根据式(25)计算可靠性分配的系数Z。

(25)

步骤11：将得到可靠性分配系数，根据式(26)完成数控机床的可靠性分配计算，得到各个子系统的可靠性指标。

(26)

式中，RS为整机的可靠度；Ri为第i个子系统的可靠度。

2 实例分析

在本章节中，某系列数控机床为示例，来说明所提出方法的有效性。数控机床分类如表1所示，有8个子系统。根据任务要求和运行环境，数控机床整机可靠度为0.875，运行时间为1000 h。

表1 机床子系统划分

表2 语言变量转化模糊信息

表3 三位专家评价意见

2.1 基于FOO方法分析

FOO方法使用I,S,P,E值进行可靠性系统分配，不考虑专家成员之间的分歧，存在主观差异,进行分配主要依靠平均权重，没有考虑到不同影响因素下权重并不一样，存在局限性。

对于ISPE取值来说，根据以下原则决定。对于复杂度(I),越复杂的系统等级评定越高；对于技术水平(S)，越不发达的评定等级越高；对于性能时间(P),工作时间越多评定等级越高；对于工作环(E),环境越恶劣评定值越高；它们取值范围是1～10。根据式(1)～式(6)可以计算各个子系统的评价等级，权重因子和分配可靠度，如表4所示。

表4 FOO方法可靠性分配结果

2.2 基于模糊分配的可靠性分配方法

模糊分配的方法[15]的可靠性分配因子必须是准确的语言变量，所以根据公式需要对表中的数据进行去模糊化处理求得各自专家对影响因素评价，再根据式(22)汇总专家各个意见得到各个因素对子系统影响因子。

在运用式(27)求得模糊分配的比列因子FZ，再根据式(28)求得子系统分配可靠性权重因子P，最后根据式(29)求得模糊分配的各个子系统的可靠度，如表5所示。

表5 模糊分配法结果

(27)

(28)

Ri=(R)Pi

(29)

2.3 基于所提出方法可靠性分配实例

提出的方法整合了直觉梯形模糊数与ME-OWA算子和TOPSIS方法来灵活完成机床系统的可靠性评估，具体步骤如下：

步骤1：根据机床的结构原理，将数控机床划分为8个子系统，分别为：主轴系统，进给系统,冷却系统，伺服系统，自动换刀系统，液压系统，数控系统，润滑系统。其对子系统分配为表1。

步骤2:确定机床系统可靠性要求和运行时间。根据专家意见整机运行时间为1000 h，数控机床可靠度为0.875。

步骤3:确定机床系统的可靠性分配原则和机床可靠性分配的影响因素n个。有6个影响因素分别为:复杂度(C),维修(M),技术水平(T),工作环境(W),成本(Co),工作时间(H)。

2016年5月初将取回的3种沉水植物进行预培养，到6月从中选取长势良好，大小基本一致的幼苗进行移栽。实验装置选取上口径62cm、下口径52cm、高45cm的白色塑料圆桶进行3×3分组，9组简称分别为苦泥、苦草、苦沙、黑泥、黑草、黑沙、马泥、马草、马沙，放置于空旷区域，如图1所示。2016年7月10日至2017年6月10日，共采集样品12次，每次采集均随机选取3株沉水植物，将对应的水、泥、沉水植物全部采出。沉水植物分离出底质后用少量超纯水洗净植株上附着的底质；底质采集后充分混匀，风干，研磨过筛(100目筛)用于营养盐测定。

步骤4:确定专家对各个子系统的决策意见,并且利用公式化简梯形模糊数，如表3所示。

步骤5:利用式(19)和式(22)集结所有专家决策，如表6和表7所示。

表6 综合决策

表7 综合决策

步骤6：根据影响因素为6,并根据以往故障数据和专家经验确定影响因素的重要性顺序[16]，可以运用式(12)～式(14)计算可以得到ME-OWA的权重，如表8所示，为不同情景参数φ下权重。

表8 不同情景参数下的ME-OWA权重

成本>技术水平>工作时间>维修>工作环境>复杂度。

举例于情景参数φ为0.6，其对应成本权重影响因素为0.246 8，技术水平权重为0.207 2，工作时间权重为0.173 9，维修权重为0.146 1，工作环境权重为0.122 6，复杂度情景参数为0.103 1。

情景参数φ值取值范围取值为0.5～0.9范围，其表示当前决策者对于当前可靠性分配的乐观状态，当φ为代表抉择者表示可靠性分配成中立状态。当φ越来越大，表示决策者对当前可靠性系统分配越来越乐观。当φ=1为表示绝对乐观，基本不再考虑范围之内。

步骤7：根据式(16)确定方案的正负理想点，本文以整机可靠度为基准，即子系统对整机影响度小，复杂性低，技术水平高，工作环境好，维修性高，成本低，工作时间长为理想目标解。可以确定正负理想解为：

C+=([1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1])

C-=([0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0])

步骤8：根据式(17)和式(18)计算正负距离测度，然后通过式(23)和式(24)集结所有影响因素对子系统正负加权距离，举例情景参数为0.7，如表9所示。

表9 情景参数为0.7

步骤9：根据式(21)计算所有子系统对应方案的贴近度为λ。

步骤10：根据式(25)计算可靠性分配的系数Z。

步骤11：将得到可靠性分配系数，根据式(26)完成数控机床的可靠性分配计算，得到各个子系统的可靠性指标，如表10所示。

表10 各自方法对比

2.4 方法比较讨论

为了证明提出方法的正确性和优越性，将FOO分配方法，模糊分配方法和本方法放入同一个表10中便于观察，同时对比了三种方法的优缺点，如表11所示。

表11 方法优缺点

根据表对比可以得出，所提出的方法具有以下优点。考虑多方面的影响因素从复杂度,维修,技术水平,工作环境,成本,工作时间等6个方面考虑对子系统的影响，FOO方法只是简单的考虑了4个影响因子，不够全面；考虑了多位专家的决策信息，根据他们各自的领域权威赋予不同的权限，将语言变量转化梯形模糊区间，避免了主观经验造成误差分配，FOO方法没有考虑多位专家的意见并且语言变量上只是单个数值不能很好表达专家的意见，容易造成分配的错误；考虑了有序的加权权重，通过确定各个影响因素的重要程度排序，以最大熵的形式赋予不同影响因素不同的权重，客观表达影响因素对子系统影响的重要性，方便决策者对不同情景参数可靠性分配赋值，这一点是FOO和模糊分配法没有考虑到；最后考虑与理想解的差异性，保证分配结果向着理想解靠齐，这更能展现方法的客观性和准确性，对于此FOO和模糊分配法也没有考虑到。

3 结论

本文针对机床可靠性分配问题，提出直觉梯形模糊数与熵权-TOPSIS的可靠性分配方法，考虑了多个复杂因素的影响，运用直觉梯形模糊区间表达专家的判断，减少主观经验，采用理想逼近的方法寻找最佳分配方案，最后在不同的情景参数下进行灵活分配。该方法不局限机床系统，也可以对于任意的复杂系统。文中以数控机床为例，跟FOO和模糊分配法比较，验证提出方法的有效性。