移动终端上利用Phyphox数值模拟求解抛体极值问题*

陈麒任 冯秀梅

(华中师范大学物理科学与技术学院 湖北 武汉 430079)

随着信息技术与物理教学的不断融合，计算机数值模拟在物理学习过程中得到广泛应用.数值模拟往往可以将物理学中一些复杂、抽象的内容以图像形式具体、形象地呈现在学生面前，从而活跃学生思维，激发学生的学习兴趣，加深学生对物理知识的理解.常见的数值模拟软件有Excel,Matlab,Mathcad等，这些软件普及率高且功能强大，但这些软件只能在个人电脑环境下运行，大大制约了数值模拟的有效利用.而将数值模拟与移动学习进行有效结合，可以充分利用移动终端的便携性和普及性，构建更为高效的开放型教学形式，提高物理教和学的效果.

Phyphox就是一款可以在移动终端便捷开发数值模拟功能的软件.目前，结合手机内部各种传感器，利用Phyphox开发各类物理实验，已经被广泛应用于物理实验教学[1～4].但是Phyphox的数值模拟功能却较少被物理教育工作者关注到.可以通过Phyphox官网进入编辑器页面(https://phyphox.org/editor/)，该编辑器包含各种常见的函数，功能强大，并且采用模块化的编程，零基础的学习者也可快速上手，通过简单编程即可实现数值模拟.程序编写完毕后，可以生成二维码，任何已下载Phyphox的移动终端都可通过扫二维码下载使用该程序.本文以数值模拟求解抛体射程的极值为例，展示如何在移动终端利用Phyphox进行简单编程，实现动态化展现求解过程，提升学生交互学习的体验.

1 问题与分析

问题：某人以初速度v0投掷铅球，若铅球出手高度为h，空气阻力不计，那么此人如何投掷可使铅球的射程最大？

分析：已知抛射点距离地面高度为h，出手速度为v0，设抛射角为θ，重力加速度为g.投掷铅球后，铅球出手后的运动为斜抛运动.由运动的合成与分解可知，铅球的水平方向的轨迹方程为

x=v0tcosθ

(1)

铅球的竖直方向的轨迹方程为

(2)

设铅球的射程为s，飞行时间为τ，那么根据斜抛的运动规律可以列出下列方程

(3)

s=v0τcosθ

(4)

由式(3)解得(舍去负值解)

(5)

将式(5)带入式(4)可以得到斜抛射程的表达式

(6)

以我国优秀运动员巩立姣在十一届全运会女子铅球项目中取得冠军的投掷情况为例来进行分析.她投掷铅球的出手速度v0=13.841 m/s，出手角度θ=33.875°，出手高度h=2.01 m[5]，她的投掷成绩为20.35 m.由式(6)可知，当铅球出手速度、高度为定值时，铅球的射程与出手角度唯一相关.那么这个射程有没有对应的极大值呢？她的投掷角度是否对应着射程的最大值？接下来我们利用Phyphox的数值模拟功能来解决这个问题.

2 利用Phyphox求解抛体极值

2.1 人机交互 展现全参数θ角抛体的运动轨迹

利用Phyphox编辑器设计人机交互界面，学生在对话框中输入任意角度(0～90°)均可得该角度的抛体运动轨迹图案，并且可以同时展示多条运动轨迹曲线，使用不同颜色进行区分，这样一来学生便可以直观地感受不同抛射角度下抛体运动轨迹间的差异，形成对抛体问题的初步认识.

图1 抛体运动轨迹程序设计与二维码

具体程序代码如图1(a)所示，图2(b)是该程序的二维码.该程序的设计思路是，首先调用sensor模块的t作为时间，edit模块是一个输入框，学习者可以在里面输入任意角度，将edit和t分别输入至第一个formula模块的1和2入口，并在其中填写公式[参照式(1)]：

13.841*cos([1]*3.141 592 6/180)*[2_]，第一个formula输出为graph模块的x，表示抛体在x方向的位移.然后，将edit和t分别输入至第二个formula模块的1和2入口，并在其中填写公式：2.01+13.841*sin([1]*3.141 592 6/180)*[2_]-0.5*9.8*[2_]*[2_]，第二个formula输出为graph的y，表示抛体在y方向的位移.最后，重复上述操作两次，实现3条抛体曲线共同显示.(注：由于Phyohox软件本身的问题，本实验程序通过扫码加载只能显示3条黄色曲线，若想要3条不同颜色曲线需要将生成的后缀名为.phyphox文件中的线条颜色代码进行修改，随后传输至移动设备中打开即可)

加载完实验程序后，在操作界面的edit对话框中分别输入30，40，50，得到如图2(a)所示的3条抛体运动轨迹图像，颜色分别为绿、红、蓝.如图2(b)所示，从抛物线与y=0.00相交点离坐标原点距离的远近可以看出，红色所代表的40°角的射程是最远的，似乎存在一个中间角度为最佳抛射角.学生形成了这样的初步认识后，为进一步分析抛体极值问题奠定了基础.

图2 抛体运动轨迹

2.2 绘制θ-s图像 利用max函数自动定位最大值

当抛体的出手速度和高度一定时，射程与抛射角度的关系如式(6)所示.本文利用phyphox编辑器实现射程的数值求解，并动态展示0～90°范围内的抛射角与射程的关系曲线，让学生直观体会最大射程确实存在.

具体程序代码如图3(a)所示，图3(b)是该程序的二维码.该程序的设计思路是，首先调用sensor模块的t作为自变量，自变量t即为式(7)中的抛射角θ，将其输入到formula模块.然后，在formula模块中填写公式：

(13.841*13.841/2/9.8)*(sin(2*[1_]*

3.1415926/180)+((sin(2*[1_]*3.1415926/180))＾2+

(8*9.8*2.01/13.841/13.841)*(cos([1_]*

3.1415926/180))＾2)＾0.5).自变量t经过该公式计算后，输出给graph模块的y作为图像的纵坐标，graph的x横坐标由sensor模块的t输入，将sensor模块的t和formula的输出分别输入至max模块的x和y，max模块的作用是自动寻找纵坐标为最大值时的横、纵坐标.最后将max找到的横、纵坐标输入至两个value模块，在软件交互界面中显示出来.

图3 θ-s图像程序设计与二维码

图4 求解极值问题的模拟过程图

巩立姣在十一届全运会上夺得冠军时的出手角度为33.875°，这比我们得到的理论最佳抛射角要小，说明巩立姣要想取得更好的成绩，需要提高铅球的出手角度.该结论与文献[5]中的结论一致.

3 总结

本文利用Phyphox软件在移动终端上对抛体极值问题进行了数值模拟，不仅精准、快速地得到了极值的具体解，而且设置了人机交互，利用全参数、动态化的图形展现了抛体的具体轨迹，使得该内容变得生动、直观、有趣，不仅方便学生随时学习，而且有利于加深其对该问题的理解，提高物理学习的兴趣.