光的直线传播在地球测量中的应用

祁灏昕 牛全福

(兰州理工大学土木工程学院 甘肃 兰州 730050)

1 引言

2002年，美国两位学者根据在全美物理学家的调查结果，提出了有史以来最出色的十大物理实验，结果刊登在了美国《物理世界》杂志上，埃拉托色尼测量地球圆周实验位列第七.

古希腊的埃拉托色尼第一次比较准确地测出了地球的半径，对人类认识地球产生了巨大影响.1037年比鲁尼采用另外一种方法测量了地球的半径.近代也有两种方法测量地球半径，一种是DannisRawling在大海上观察两次日落(或者日出)的方法；另一种是在大海上观察远处已知高度的桥梁的方法.这些方法都是建立在地球为一个球体，光的直线传播等基础之上的，与精准测量的地球半径非常接近.

2 测量方法

2.1 埃拉托色尼方法

图1 埃拉托色尼用来测量地球半径的示意图

图2 百度地图显示的从阿斯旺到亚历山大的

使用百度地图来看，阿斯旺城位于北纬24.507 910°，东经32.987 997°，亚历山大位于北纬31.215 227°，东经29.914 360°.路程约为1 000 km，而两地的直线距离为838 km.埃拉托色尼的方法有3个误差来源：(1)阿斯旺在北回归线(23.6°)的北侧24.5°，夏至日太阳光线与地面夹角不是90°.(2)阿斯旺和亚历山大经度相差大约3°.(3)从阿斯旺到亚历山大实际路程比直线距离大162 km.

对埃拉托色尼方法进行修正，即可减小误差.任意在不同纬度上选两个点，它们之间的距离用纬线大圆距离来代表.或者选两个经度相差不多的两个城市.在正午12点的时候由两人分别测量太阳的天顶角，就可以得到两地对地心的张角.然后像埃拉托色尼一样计算地球的周长，进而得到地球的半径.如图3所示，在同一天的正午12点，测量两地的天顶角α和β，则它们对地心的张角γ=α-β.用百度地图量出两地之间的直线距离(实际上就是两个维度之间的弧长)，则可以计算出地球周长及半径.

图3 用任意天顶角测量地球的半径

可用细线吊着合适的重物做成一个简单的重锤，待细线停止摆动，则细线垂直于水平面，在地面标出垂点.中午12点，在地面标出细线顶端的投影，量出此时投影的长度，与细线之长相比得到天顶角的正切，进而可以计算出该处的天顶角.

例如，成都和兰州的经纬度分别为：成都为北纬30.570 314°，东经104.067 363°；兰州为北纬36.081 793°，东经103.836 419°;经度相差0.23°，直线距离相差609 km.如果更精确一些，可在地图上找到两个位置，它们的经度几乎一样，比如兰州大学榆中校区的位置为北纬35.947 098°，东经104.157 694°;成都北湖公园的位置为北纬30.722 985°，东经104.153 240°,两地经度相差0.004 45°，直线距离相差580 km.精确确定两地距离后，再利用埃托拉尼方法测量地球半径和周长即可减小误差.

2.2 比鲁尼方法

比鲁尼(Al-Biruni)于1037年利用观察远处大海水平面倾角的办法，也测出了地球的直径[2]，如图4所示.在山顶A处观察海平面，相对于当地水平面的倾角为α，因为视线AC和地球相切于C点，所以AC⊥OC,OC=OB=r，r是地球的半径.山高AB=h，根据三角函数的定义

图4 比鲁尼用来测量地球半径的方法

用三角法来测量难以直接测量的长度，如图5所示，山高AB可通过下面的方法测量求得.欲知山高AB，在远处Q点和P点观察山顶A的仰角，分别得θ和φ，PQ长度可直接测量.由三角关系得

图5 三角法测量山高示意图

倾斜角θ可以通过一个长方形水槽来测量.如图6所示，首先在水槽中装满水，调节水槽的角度使得水槽上边缘和水面齐平.然后，通过在水槽底部垫入纸张的办法逐渐倾斜水槽，部分水从水槽中流出.同时沿着水槽上面边缘观察远处的海平面，当海平面和水槽上边缘的延长线相交时，保持水槽不动，标出一段水面下降的位置，计算出水槽的倾角θ.

图6 水槽法测量海平面的倾斜角

2.3 Dennis Rawling方法

1979年，Dennis用一只秒表，在海边测量站着和躺下观察两次日落(日出)的时间差，就可以计算出地球的直径[3]，具体做法如图7所示.将眼睛贴近地面的F点，观察到太阳的上缘刚好没入海平面的时候站立起来，同时按下秒表开关；此时眼睛的位置为E，离地面的距离为h.当再一次观察到太阳没入水面时，停止计时，这段时间差记为Δt.从几何学知，两次观察到太阳没入水面时的视线夹角θ和从地心O引到两个切点H和F的夹角相等.地球自转一圈用时86 400 s，所以Δt时间内地球转过的角度

三角形HEO是一个直角三角形，根据三角函数的定义

(h+r)cosθ=r

观察点纬度越高，误差越大；空气折射也会产生误差.

1978年，Dennis在加利福尼亚海岸，北纬32°51′的位置，趴在地上和站在7.2 m高的台阶观察了两次日落的时间差是(19.6±0.2) s.，根据上述公式计算出地球半径为4 760 km，比准确值小25%.

图7 用秒表测量两次日落时间差确定地球转过的角度

2.4 Bob Kibble方法

Bob Kibble在2011年用观察远处铁桥被水面遮挡住的高度计算出了地球的半径[4]，方法如图8所示.人眼置于高度h1，观察位于D=D1+D2处的物体，被观察物体下部高度为h2的部分因为位于水平面以下而不可见，O是地球的球心.根据

同理得到

两式相加得到

从而给出计算地球半径R的公式

图8 通过观察隐没在水平线以下的物体高度来测量地球半径

h1可以直接测量，D可通过船只行驶的距离得到，他使用了地图给出的数据30 km.桥的高度h2利用一根长绳来测量.他用望远镜来观察铁桥以弥补裸眼看不清楚的不足.最后他的测量结果为：地球半径约为6 200 km，比准确值小了不到3%[5].

3 结论

以上几种物理测量方法，可以分为两类，一类是埃拉托色尼的方法，他利用了太阳和地球之间巨大的距离，这样照射到地球上的太阳光可以被认为是平行光.另一类的3种方法都利用了海平面，海水形成一个较完美的球面.他们巧妙地利用光的直线传播，简洁的几何光学计算即可得到地球半径.