考虑混合不确定性的复合层合板基频优化设计

(浙江工业大学 机械工程学院，浙江 杭州 310023)

复合材料层合板具有比重小、比强度和比模量大等特点，在航空航天、汽车工业、机械装备和建筑等领域得到了广泛的应用[1-5]。由于加工制造误差、测量数据不准和工况环境变化等因素的影响，层合板中存在大量的结构、材料等不确定性因素，通过尺度不确定性的非线性叠加传播，对固有频率不确定性产生重要影响。明确这些不确定因素对固有频率的影响规律，对减少层合板共振及变形具有重要的现实及工程意义。针对复合结构层合板中材料与结构参数不确定性的表征问题，国内外学者提出了一系列概率化或者区间不确定性表征模型与方法：Giunta等[6]通过概率化不确定性传播分析，实现了考虑材料性质和几何参数的不确定性，层合板基频的均值、标准差、置信区间和累积分布函数随机的定量化度量；Dey等[7]采用模糊法进行了层合板固有频率、频率响应函数和振型的不确定性传播分析；陈亮等[8]提出了新的区间不确定性分析方法，进行了固有频率的区间不确定性传播计算。针对随机变量和区间变量同时存在的情况，国内外学者提出了一系列考虑混合不确定性的复合材料层合板的性能分析计算方法：魏俊红等[9]进行了随机变量和区间变量混合下的复合材料可靠性设计；Peng等[10]提出了一种复合材料层合板的多尺度不确定度量化框架，实现了复合材料多尺度屈曲强度、固有频率和可靠度的计算。在结构和材料不确定性精确表征基础上，研究人员提出了许多优化算法进行复合材料层合板的优化设计：Bloomfield等[11]提出了一种考虑强度和屈曲约束的各向异性复合材料层合板的优化方法，对层合板的铺层顺序进行优化设计；Xu等[12]提出了一种多纤维增强复合结构的拓扑优化设计方法，改善了复合结构的性能稳定性；Chen等[13]提出了一种基于可靠度的复合材料层合板的双层优化方法，在轻量化设计的同时提高了复合结构的可靠性；彭文辉等[14]以复合材料层合板结构的振动稳定性为优化目标，采用遗传算法实现了层合板的铺层顺序优化。

传统的使用复合结构优化方法进行铺层厚度和铺层顺序的同步优化，由于铺层厚度的变化会导致铺层角度的整体变化，该优化问题是一个变量非连续、优化参数可变的非线性优化问题，耦合了各类不确定性因素，计算困难、难以收敛。针对上述问题，笔者提出了一种考虑结构与材料参数混合不确定性的复合材料层合板基频优化设计方法，将随机和区间混合不确定因素考虑到双层优化设计模型中，对铺层厚度和铺层顺序进行分步优化，在保证计算精度的同时提高了计算效率。

1 优化问题描述

1.1 结构与材料参数不确定性描述

长为a，宽为b，总厚度为h的对称层合板示意图如图1所示。虽然理论上纤维取向可以是任意角度，但在实际工程应用中，由于制造的限制，纤维取向只能取几个离散值，常用的铺设角度分别为0°，±15°，±30°，±45°，±60°，±75°，90°。

图1 层合板几何示意图Fig.1 Schematic diagram of laminate geometry

根据文献[15]的试验数据，两个不同方向上的弹性模量E1和E2、剪切模量G12为正态随机变量，而泊松比υ12为区间变量，如表1所示。

表1 弹性混合变量的不确定性信息

复合材料层合板在每个迭代阶段的区间优化可以分解为不同区间数之间的不确定传播分析和区间比较。不确定传播分析使用改进的子区间分析法实现，而区间比较采用文献[16]提出的改进区间数排序方法，假设有两个不同的固有频率区间值为aI和bI，则两个固有频率区间比较值表示为

(1)

式中：P1，P2，P3分别代表3 种不同的区间数排序位置得到的数值。

复合材料层合板一阶固有频率是由材料性能的不确定性引起的区间数，将分析得到的一阶固有频率与给定的固有频率进行比较，然后在满足频率要求的情况下，对铺层厚度和铺层顺序进行两级优化设计。

1.2 两级优化模型构建

1.2.1 第1级优化模型

在对复合材料层合板进行第1级优化过程中，采用文献[13]提到的辅助层合板(超级层)取代真正的目标层合板。简单地说，复合材料层合板的设计变量会随着超层厚度的变化而变化。在实际工程应用中，为了保证复合材料层合板的对称性和平衡性，15°对应的厚度t2应该与-15°对应的厚度t3相等，30°对应的厚度t4应该与-30°对应的厚度t5相等，45°对应的厚度t6应该与-45°对应的厚度t7相等，60°对应的厚度t8应该与-60°对应的厚度t9相等，75°对应的厚度t10应该与-75°对应的厚度t11相等，这是由于拉伸-弯曲耦合效应和拉伸-剪切耦合效应可以避免固化后的翘曲变形。因此，优化模型表示为

(2)

式中：ρ为复合材料层合板的密度；W为复合层合板的重量；φ为对频率要求的满足程度，一般φ∈[0,1]，本研究φ=0.97。

1.2.2 第2级优化模型

在第1级已经优化超级层厚度后，对以复合材料层合板固有频率最大化为目标的铺层顺序进行优化设计。优化模型表示为

(3)

式中：f1表示复合材料层合板第一阶固有频率；设计变量d表示铺层顺序。同样，在复合材料层合板铺层顺序优化的过程中，也需要遵循制造约束条件，可参考文献[17-18]。例如：为了减少或消除边缘分层和减少层间的渐进损伤，不允许有超过4 个相同角度的连续层；由于损坏容限要求，为提高复合材料层合板的抗压性能和抗冲击性能，至少有一层角度为±45°或者±75°。

2 基频最优的铺层厚度和铺层顺序两层优化设计

2.1 第1级优化——超层厚度优化

步骤1种群初始化。因为相同角度的厚度相同，因此厚度变量个数为7 个，将4个最常用的角度0°，45°，-45°，90°的厚度值区间值设为[0.125，1]，即认定在超级层中这4 个角度必然存在，其余角度的厚度值区间设为[0，1]。初始化种群规模设为100。

步骤2固有频率不确定性分析。通过不确定性传播分析进行固有频率的不确定性计算，得到固有频率的不确定性区间。

步骤3频率约束构建。采用改进的区间数排序方法对计算得到的固有频率与给定的频率区间进行对比，得到频率满意程度值φ；满足频率约束φ≥0.97的种群被保留下来，不满足的则被舍弃。

步骤4厚度适应度函数分析。计算保留下来种群的复合材料层合板厚度的适应度W=ρ(t1+2t2+2t4+2t6+2t8+2t10+t11)，即W越小，适应度越好。

步骤5选择操作。采用精英选择策略，先将计算得到的适应度值进行排序，对满足约束的种群进行初次判断，判断其10%是否为整数，是则直接进行下一步操作，反之则将10%的数进行四舍五入操作，获得进行变异、交叉操作的所有个体。

步骤6交叉操作。采用单点交叉算子，即任意选择两个不同基因的相同位置的厚度值，将这两个厚度值的位置进行互换，交叉概率取0.7，交叉示意图如图2所示。

图2 厚度基因交叉示意图Fig.2 Schematic diagram of thickness gene crossover

步骤7变异操作。采用单点变异操作，将种群中个体基因串上的某个基因用其他等位基因进行替换，形成一个新的个体，其中变异概率取0.05。

步骤8填补操作。将之前不满足频率约束舍去的种群重新补上，使得新的种群数量与最原始的种群数量相等。

优化可以得到7 个不同的厚度值，对结果进行判断，判断规则为

(4)

式中：n为相应的铺层角度对应的层数，当得到的厚度值没有达到最小厚度0.125 mm，即认为该角度对提高固有频率并没有太大的帮助，因此将其舍去。将满足厚度约束的铺层角度重新构造成新的超级层。例如，满足条件的新铺层角度为[0°,45°,-45°,60°,-60°,90°]，则新的超级层如图3所示。

图3 新的超级层示意图Fig.3 New super layer schematic

2.2 第2级优化——铺层顺序优化

步骤1种群初始化。将这些铺层角度放在一个一维矩阵里，打乱其顺序得到初始的铺层顺序种群，其初始种群的规模可以适当地提高，因为在第2步考虑制造约束时将舍去部分种群，所以设种群数目为3N，其中N为实际种群数目。

步骤2制造约束分析。表面层需要±45°以及不能有4 层是相同的度数。因此在下一步计算适应度时要对初始铺层顺序种群进行判断，判断规则如下：判断种群的表层是否为±45°以及是否有4 层为相同的角度，如果是，则将其种群变成0，反之则为1；将种群为0的舍去，将种群为1的保留下来；从得到的种群中选取N个作为实际的初始铺层顺序种群。

步骤3固有频率适应度函数分析。采用不确定分析方法对保留下来的种群进行固有频率不确定性区间计算。采用改进区间数排序方法对计算得到的固有频率与给定的频率区间进行对比，得到相应的频率满意程度值φ，将φ作为适应度函数，即φ越高，越符合条件。

步骤4选择操作。采用锦标赛选择方法，即每次从种群中取出一定数量个体，选择其中最好的一个进入子代种群。重复该操作，直到新的种群规模达到原来的种群规模。

步骤5交叉操作。由于铺设角度为离散变量，因此选择整数编码方式。编码中每个数字代表一个铺设角度，称之为基因，基因在基因串上的排列顺序代表层合板的铺层顺序。采用两点交叉法，即任意选择两点，将两点之间的基因进行交换交叉，并对交叉后的种群重新进行约束判断，满足约束的被保留下来，不满足约束的一直进行交叉操作，直到满足条件为止。例如A和B两铺层顺序基因如图4所示。

图4 铺层顺序基因交叉示意图Fig.4 Schematic diagram of layering sequence gene crossover

步骤6变异及优化。采用两点变异操作，即任意选择两点进行互换变异，其中变异概率取0.05。通过迭代得到层合板固有频率最大化时的最佳铺层顺序。

3 实例验证

以48 层的复合材料层合板的设计为例说明笔者方法的优势。单层板的最小厚度均为0.125 mm，密度ρ=1 380 kg/m3。复合材料层合板的弹性参数为分布参数已知的随机变量和区间变量混合变量，初始铺层顺序为[0°/15°/-15°/30°/-30°/45°/-45°/60°/-60°/75°/-75°/90°]2s。

将超级层设为[0°/15°/-15°/30°/-30°/45°/-45°/60°/-60°/75°/-75°/90°]s，考虑到其中有些角度对提高固有频率没有帮助，对初始超级层进行角度选择优化。为了避免优化的偶然性，重复优化20 次，可以发现[±15°，±30°]优化后得到的厚度值均低于最小厚度0.125 mm，因此在超级层中将这4 个角度舍去，得到的新超级层如图5所示。

图5 更新超级层图Fig.5 Update super layer graph

对新的超级层进行厚度优化，厚度优化迭代图如图6所示。通过厚度优化后复合材料层合板的总厚度变为5.499 8 mm，其中0°，±45°，±60°，±75°，90°的厚度分别为0.142 3，0.481 2，0.296 7，0.411 1，0.229 6 mm。对优化后得到的厚度值和最小厚度的比值进行四舍五入操作，不同的角度对应的层数是1，4，4，2，2，3，3，2，新的层合板的厚度为5.25 mm，比初始厚度降低12.5%。

图6 混合变量厚度优化迭代图Fig.6 Mixed variable thickness optimization iteration graph

超层厚度优化确定了各个角度对应的层合板厚度，对固有频率最大化的铺层顺序进行优化设计，结果如表2所示。最优铺层和最劣铺层的第一阶固有频率的对比结果如表3和图7所示。通过优化得到的最优铺层层合板的第一阶固有频率区间远远大于最劣铺层层合板的第一阶固有频率区间，通过区间序的比较可以得到其基频满意度为100%。

表2 铺层顺序优化结果Table 2 Laying sequence optimization results

表3 不同铺设方式基频对比

图7 层合板随机和区间混合变量材料参数类型基频区间Fig.7 Laminated board random and interval mixed variable material parameter type fundamental frequency interval

对两种不同铺层结构的层合板进行模态试验验证分析，模态振型图如图8所示，使用笔者所提方法优化得到的层合板铺层顺序能够有效改善层合板的振动性能。

图8 层合板不同铺设方式模态振型图Fig.8 Mode diagrams of different laying methods of laminates

4 结 论

笔者考虑随机和区间混合的材料不确定性参数，实现了基频最高的不确定性优化设计。首先，建立了考虑概率与区间不确定性的层合板基频不确定性计算模型；其次，进行了以层合板重量最小化为目标、固有频率为约束的层合板厚度优化设计；最后，进行了以层合板固有频率最大化为目标的铺层顺序优化设计。在48层复合材料层合板的设计中进行了应用验证，将复合板总厚度降低了12.5%，基频满意度提高到100%，有效改善了层合板的振动性能。