基于多元线性回归模型的水质优化研究

黄克勤，吴海洋，贾德庚

（广元中孚高精铝材有限公司， 四川 广元 628000）

1 建模与参数估计

根据过去的一年中每月补水情况（采用纯水与工业水的添加比值）、排污量、月平均气温（来源为气象局网站）统计了一组影响因子的数值，收集每月对应的氯根化验结果，在模型中使用纯水和工业水添加比例的因子，实验数据如表1所示。

表1 实验数据统计表

假设因变量氯根Y与自变量纯水/工业水比例x1、月平均温度x2、排污量x3之间满足公式（1）：

式中：β0、β1、β2、β3为回归系数［2］，为了计算四个回归系数的值，需要对（x1，x2，x3，Y）进行12次观察实验，设线性方程式：（xi1，xi1，xi1，Yi），i是一个容量为12的样本，即i=1，2…11,12，可以得到如公式（2）的样本模型：

结合本设计中的实验数据，将公式（2）用矩阵表示为:

则

所以

故氯根浓度与纯水/工业水比例x1、月平均温度x2、排污量x3之间的线性回归模型为：

2 模型检验

2.1 线形模型有效性检验

如果要检验氯根浓度与纯水/工业水比例x1、月平均温度x2、排污量x3三个变量之间是否存在线性关系，只需验证β1，β2，β33个回归系数是否同时为0。如果回归系数均为0，即不存在明显线性关系，检验结果为线性回归不显著；反之则认为线性回归显著，因此，假设：

将12组观察值代入公式（6）中，检测是否成立。若12组观察值均满足公式（6）所呈现的关系式，检验结果为线性回归不显著；反之，若12组观察值不全满足公式（6），检验结果为线形回归显著。当H0成立时，有：

如果F值较大，更精确的说，即当SSR/SSE比值较大时，则说明自变量x对Y的线性作用大于回归系数对Y的线性作用，此时可以认为H0不成立；如果F值较小，则说明回归系数对Y起主要作用，因此H0成立。现给定显著性水平α为0.05，对模型进行检验：

代入计算后得F=16.19。

又因为α=0.05，所以：

因此线性模型显著。

2.2 回归系数的显著性检验

在此三元线性模型中，在经由线性模型有效性检验之后，可以得知：因变量氯根浓度Y和自变量x之间存在显著线性关系，但由于自变量的不同，每个自变量xi对氯根浓度Y的影响不尽相同。因此在线性模型进行有效性检验之后，可以忽略对氯根浓度Y产生影响微乎其微的自变量xi，只保留有效的重要因素，优化为简洁的线性模型，以便有利于实际应用。故，xi对Y的检验假设：

H0:β1=0，β2=0，β3=0

得到拒绝域:

如果检验结果接受H0,即βi=0，应将xi从回归方程中删除，如果有多个变量对Y的影响不显著时，则每次只能删除一个变量，重新建立回归方程后，再进行重复检验。

所以对β1,β3的检验结果拒绝H0，β2的检验结果接受H0，即纯水/工业水比例、排污量对氯根浓度的影响显著，环境温度对氯根浓度的影响不显著，应将其从回归方程中删除。

3 回归方程的改进

根据上一节对回归系数显著性检验的结果，删除回归方程中的环境温度影响因子，将剩下的两个影响因子重新进行建模和模型检验，得到如下结果：

回归方程为：

线性模型有效性检验：F0.05(2,9)=4.26＜20.28=F,模型显著；

回归系数显著性检验：

T12=31.24>F0.05(1,9)=5.12；

T22=7.56>F0.05(1,9)=5.12；

因此β1，β2都显著不为0，剩余的两个因子纯水/工业水比例、排污量都能够显著影响氯根浓度。

4 预测

假设获得了x1，x2这样一组新的观察值，记为（x01，x02），则可以根据公式1-1获得点预测［3］。

区间预测：

其中：

现对x01=2.2，x02=26，相应y0的置信度为0.95的区间进行预测。

根据公式2 得到y0=162.41；t0.025(9)=2.2622；σ=

即氯根离子的浓度置信度为0.99的预测区间为（155.94，168.88）。

5 验证

依据改进后的回归模型，在9月和10月份对对实际效果进行验证，如表2所示：

表2 氯根浓度的预测和验证结果对比

最近两个月的验证结果在预测区间（155.94，168.88）内，达到预期效果。

6 结论

本文主要是针对铝业公司散热器在运行中遇到的问题进行分析，针对影响散热器寿命的氯根腐蚀问题进行建模、改进，为后续维护管理提供决策依据，总结如下。

（1）结合实际，确定了温度、排污量、纯水添加比例三个对氯根浓度影响较大的因子，每月采集实验数据。

（2）根据实验数据，利用高等工程数学知识，建立了氯根浓度与影响因子之间的多元线性关系。

（3）利用改进设计后的方程进行数据预测，为详细掌握氯根浓度提供科学依据。