深度学习视角下的教学设计与实施——以《数系的扩充和复数的概念》为例

广西南宁市第三中学 (530021) 邹信武 林 凡

1 引言

深度学习理念下的学习过程是对“现学知识”与“先前知识”之间关系的深刻理解，是学习者对于学习过程的调节和监控，进而生成意义感和价值感的过程.深度学习作为落实数学核心素养的重要路径，对发展学生“理性思维”及“科学精神”有着重要推动作用.本文以《数系的扩充和复数的概念》一课为例，讨论在深度学习视角下数学教学设计与实施的关键环节.

2 高中数学教学实现深度学习关键环节

2.1 关联与结构化

在课堂中，数学知识不是零散的、碎片化的、杂乱无章的信息，而是有逻辑、有结构、有系统的知识.数学教学前，教师应关注“先前知识”与“现学知识”之间在数学系统内的整体性、逻辑关系上的连贯性和思想方法上的一致性.实际教学中，教师需把握好教学内容的：单元结构和课堂教学结构.

2.1.1 单元结构

关于数学“单元”，喻平教授归纳为“问题解决过程线索”、“建立个体CPF结构”、“概念生长”和“数学思想方法解决问题”四种模式.本课时属于“概念生长”模型，在《普通高中数学课程标准》(2020修订版)(以下简称《标准》)中的该内容的要求是：帮助学生通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义.人教版普通高中教材《数学》必修第二册中，复数章节单元知识结构可以归纳为图1：

图1 复数章节单元知识结构

2.1.2课堂教学结构

课堂教学结构是为完成教学目标，对构成教学的各种因素进行统筹规划，进而形成的稳定、有序的组合形式和活动方案.教学结构有一定稳定性，但也需“因势制宜”.“势”指学生认知基础和教学内容.数学知识具有高度的抽象性、确定性和应用的广泛性，因而数学课堂教学更依赖教师依据教学内容及学生实际恰当地调整教学系统结构，统筹配置教学要素及其关系.如本课时中，如图2，构建复数概念，大致可分为问题情境→过往经验→构建复数系→应用与迁移四个阶段，其中过往经验是构建复数系的关键，同时也是后续进一步学习几何意义与运算的思维基础.此外，教师还应考虑使用各种信息技术使学生在活动中师生、生生交流更加便捷与高效.

图2 《数系的扩充和复数的概念》课堂教学结构

2.2 素养导向目标

教学目标是教学活动的起点和终点，是教学活动的“定海神针”.深度学习中的教学目标应该是教学内容、学生的发展和教师的活动统一体，是引导教学活动、实施持续性评价的依据.简言之，教学目标的作用就是“导教、导学、导测评”.在本课时中，设置如下教学目标：

(1)通过问题情境，体会引入复数的必要性.

(2)回顾实数系的扩充过程，发现扩充“规则”，实现实数系向复数系的扩充，体会“理性思维”在扩充中的作用.

(3)经历复数及复数集概念的构建过程，理解复数的代数形式及相关概念，并能进行简单应用，发展数学抽象素养和逻辑推理素养.

(4)对比实数系的扩充过程及规律，了解复数研究的基本路径，预测后续研究的相关内容.

2.3 重整教学素材与情境

在深度学习观念下，教学素材既包含数学知识的具象，也包含教师为学生的学习活动设计的活动方式、路径、环节等引领学生素养形成的过程设计.在数学教学中，数学课堂的推进依赖于问题解决，而问题又来源于数学情境.在数学教学中常见情境有：现实情境、数学情境及科学情境.依据前文“联系与结构”的观点，数学课堂的情境应尽可能选择数学情境.数学情境的选择，需考虑以下几个方面：关联教学内容、反映数学本质、尊重学生认知和体现德育要素.在本节课中，可以创设以下情境作为引入：

1572年，意大利数学家邦贝利在他的《代数》一书中，讨论过一元三次方程x3=15x+4解的问题.

2.4 注重教学知识背后的方法论价值

在深度学习理念下，学生不仅获得具体的数学知识，还经历和体会了数学知识的过程.基于学生知识获取的角度，教师不仅要运用研究数学问题的一般方法教学，更重要的是教给学生研究问题的一般方法.所谓一般方法，弗里德曼认为，创建研究对象的概念，分析研究对象的性质、寻找研究对象运动变化中的不变性质、把若干不同对象联系起来概括出它们之间的关系——是科学认识活动的一般方法，它是现代科学理论思维的本质特征[2].在数学教学中，运用研究问题的一般方法设计教学路线，使学生体会一般方法既是对一种现实现象的数学研究，也是对一种现实现象产生的一类或几类现实问题进行数学解决的普遍方法.在本节课中，恰好是运用研究问题的一般方法教学的典型体现.以下是本节课设计的几个重要环节(简述).

环节1：提出问题

环节2：寻找解决问题的方法

(1)在以前学习中有没有遇到过相似的问题？

(2)如果遇到过，当时解决了什么问题，是如何解决的？

环节3：探索数集扩充的规则

(1)解决的过程中有什么共同的特点？

(2)在原有的数集中加入某些“新数”，它不是一个孤立的个体，“新数与新数” 之间，“新数与旧数”之间会发生什么呢？你能归纳出它们规律吗？

环节4：构建复数的概念和复数集

(1)这些规则对我们解决x2=-1有何借鉴之处？

(2)引入i就可以和实数进行运算，会产生哪些“新数”呢？它们能不能用统一的形式表示？

(3)一个集合需要满足什么条件？我们想构建复数集需要先定义什么？我们应该如何开始呢？

(4)复数与实数有什么关系？你觉得复数可以分成几种不同形式？你能用图形表示出它们的关系吗？

环节5：简单应用

环节6：小结与展望

(1)本节课我们碰到了什么问题？我们是如何解决这个问题的？

(2)我们引入i，又带来了什么新问题？我们是怎么研究的？得到了哪些关系与结论？

(3)你觉得下一步我们还需要研究什么？

在这个过程中，学生经历了——形成问题、建构概念、寻找方法、提出假设、验证猜想、语言表述、构建理论的过程.这个过程就是运用一般方法解决问题的过程.

2.5 问题链发展思维

问题是课堂活力的源泉.学生发现问题、提出问题、分析问题和解决并产生新问题的过程，就是获得数学相关知识的过程.数学知识作为解决问题的工具被探索、被发现的过程，就是实现深度学习的过程.课堂中的数学问题对学生应该是有挑战性的，问题与问题之间应该有逻辑性，问题的设问应该有层次性，问题对学生应该有启发性和可模仿性.例如，本课教学中，回顾和归纳了数的扩充规则之后，提出以下问题：

问题1 按照刚才的方法，我们要解决x2+1=0在实数系中无解的问题，我们该怎么办？

追问1：根据“规则”，我们希望新引进的数i与实数间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，这样就会增加哪些数呢？你能把它们写出来吗？你能不能写出一个形式把你写的数全部包含在内吗？

追问2：我们希望将a+bi(a∈R,b∈R)这样的数组成一个集合，集合有什么性质？那我们就需要先明确什么关系？

追问3：你觉得a+bi(a∈R,b∈R)和c+di(c∈R,d∈R)相等的条件是什么？

追问:4：你能写出新数构成的集合吗？

问题2 我们已经将实数集扩充到复数集，根据复数z=a+bi(a∈R,b∈R)的结构特征，与之前的实数有什么关系？你觉得应该怎样对复数进行分类？

追问1：请用Venn图表示它们之间的关系.

追问2：请你列举一些虚数和纯虚数.

设计意图：问题1是复数概念的构建与形成过程.从引进新数i到构建复数集，通过层层设问，学生经历比较、分析、综合、类比、归纳、推断等思维活动，从特殊到一般，从自然语言到符号语言，发展了学生数学抽象和逻辑推理两大核心素养.问题2则是概念深化过程，挖掘复数概念的内涵与外延.在数学的一般思维引导下，我们获取了研究对象的定义，往往就要研究它的性质、分类，而分类的方式往往是将研究对象的组成部分特殊化.在层层追问中，学生在经历一般——特殊思维方法、经历符号语言、文字语言与图形语言的交替转化与使用，发展了学生数学抽象与直观想象两个核心素养.

2.6 教师主导的课堂互动

深度学习的显著标志，是学生能够将学到的知识、技能、方法运用到真是世界的问题解决之中，以及学生表现出主动探索未知世界的好奇心和求知欲[3].数学是一门重思维的学科，学习者的分析、综合、比较、抽象、概括判断和推理等思维活动，都是内省的思维.《标准》也指出，提倡课堂上采用独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式相结合.深度学习的数学课堂中的提倡的互动方式是教师组织与主导，师生之间、生生之间、学生与学习任务间的深度交流.

师生间的深度互动，是促成深度学习的重要保障.在数学课堂上，往往有两类问题：一类是前文已经阐述的“问题链”；还有一类是为更好地解决“问题链”中的数学问题过程中，“师生对话”中提出的问题.前者中的问题设置大都指向结果，后者“对话”中的问题往往指向问题解决的过程.在课堂中，教师根据课堂生成，往往需要临时搭设支架，指导学生厘清思路、提炼方法，帮助有困难的学生逐步解决问题；为了引导学生多角度思考问题、拓展思路，需要适时质疑和引导其他学生质疑，进而促进其批判性思维和创新能力发展.因此，“师生对话”中的问题更多指向学生的“元认知活动”，落实在计划、监控、评价自己的思维过程，审慎地选择解决问题的策略等.

例如，在本节课中的实际教学中，形成了如下教学过程：

环节2：寻找解决问题的方法

(1)在以前学习中有没有遇到过相似的问题？

(2)如果遇到过，当时解决了什么问题，是如何解决的？

生1：方程2x-1=0无整数解，我们引入分数.

师：很好，引入了分数后，我们原来的整数集发生了什么变化？

生1：变大了，变成有理数集.

师：非常准确，其他同学还能联想起什么吗？

生2：在正方形对角线不能用有理数表示，引入了无理数，变成实数集.

(两位同学发言之后其他同学模仿说出了：解决等分问题引入分数、方程没有实数解等，教师一一记录在黑板上)

师：同学们都说得很好，这些都是我们以前碰到的相似问题，但是现在我们列举的问题有些杂乱，我们可以把它们梳理一下吗？依据是什么？

生3：可以分两类，一类是实际问题，另一类是解方程问题.

师：×同学观察很仔细，他们的属性不一样，可以分为现实需求和数学内部发展两类.在每类问题中，我们还可以进一步梳理吗？依据是什么？

生4：可以按集合的“大小”为线索从小到大整理.几个集合间有包含关系.

师：你觉得需要列举哪些集合？

生4：自然数集、整数集、有理数集和实数集.

师：×同学为我们找到了刚才列举的问题的内在线索，请同学们结合刚才的例子，完成现实需求线索图.

(师生一起按集合扩充顺序梳理如图3)

图3 数系扩充的现实需求

师：我们用了一个线索图梳理了现实需求的线索，下面我们梳理数学内部发展的需要.我们还做一个线索图吗？还是有更好的方式？

生5：不一样，方程2x-1=0在有理数集内有解，其实在实数集也有解.我们得多考虑一些.

师：×同学的发现非常有价值，大家想个办法能不能把×同学思路用具体形式表达出来.

(学生没有回应)

师：其实可以首先考虑需要表述的有几个方面？分别是什么？

生：(集体)方程和数集.

师：那使用什么样的形式记录这样二维数据呢？

生：(部分学生)表格.

师：那怎么设计表格呢？如何分行分列呢？

生6：我设计了一个表格，竖列是方程，横列是集合关系.

师：×同学设计很好的兼顾了一个方程组不同数集内解的情况.请同学们以他的设计为模板梳理数学内部发展需求.

(师生共同完成表1)

表1 数系扩充的数学内部发展需求

环节3：探索数集扩充的规则

(1)解决的过程中有什么共同的特点？

(2)在原有的数集中加入某些“新数”，这些“新数”不是一个孤立的个体，“新数与新数” 之间，“新数与旧数”之间，会发生什么呢？你能归纳出它们的共同特征吗？

生：(集体)运算.

师：那请大家举例说明它们“运算”上有哪些共同特征.

(师生一起归纳数系扩充中“运算法则”协调一致)

这是本节课中关键的教学活动.在这个教学片段中，教师没有直接告知学生结果，而是引导学生们相互帮助，相互启发，教师承担了“引导者”的作用，使教学在“三个互动”中推进，整个过程充满了大量的“数学性思考”.在学生面对陌生、复杂度较高的问题时，能够创造性地分析、较快形成解决思路、迅速进行决策、快速整合资源解决问题的可迁移的素养，是深度学习学科育人的追求.

3 结束语

在新技术日新月异、社会高速发展的时代，学生的学习从倾听、记忆、模仿和练习为主的复制型学习，转为以实践、体验、理解和迁移为特征的“深度学习”既是学习者的内在需求，也是社会发展的必然.教育工作者应重视这样的“转变”，培养更多的“独立、会思考、会批判、会创造又有合作精神”的学习者.