几何直观下的函数“取点”探究*

广州大学附属中学 (510006) 陈经纬

函数零点问题是高考重点考查内容，特别是判断零点存在或个数时具有很高的区分度，备受命题者青睐.在解决此类问题时，常常需要我们找函数值大于0或者函数值小于0的点，再结合零点存在性定理来判断零点个数，广大师生对取点的方法和技巧比较困惑，本文通过函数图像直观地阐述取点当中的本质问题，希望能抛转引玉.

一、由三类函数图像关系提炼出常用的不等式

函数取点问题本质是放缩，读者更关心的关键问题是如何放缩，一般来讲在取点过程中，不可避免地需要考查指数函数y=ex，对数函数y=lnx和幂函数y=xα(α为常数)的大小关系，我们先来看指数y=ex和部分幂函数y=xα(α为常数)及衍生函数的图像，如图1.

图1

再来看对数函数y=lnx和部分幂函数y=xα(α为常数)及衍生函数的图像，如图2.

图2

二、放缩的基本手法

通过软件展示函数图像提炼出不等式，主要是为取点放缩做铺垫，理解和掌握某种数学方法往往需要通过解题来表达和完善，笔者认为函数取点的方法多种多样，只要是符合题意的都可以，结合自己多年教学实践以及对高考真题和模拟题的研究，笔者认为函数零点取点放缩有以下几个基本手法并结合具体题目进行分析:

基本手法一：将有界函数大胆放缩成常数；

基本手法二：当函数有多项时，根据第一部分中提炼出的不等式进行部分项放缩.

例3 (2017年全国高考新课标I卷理21题节选)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(00

基本手法三：当函数有多项时，有时需要添项、并项、拆项后放缩.

基本手法四：利用不等式来限制取点

例6 (2016年全国Ⅰ理21题节选) 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2(a>0)有两个零点．求a的取值范围.

三、启示

在函数零点取点过程中，手段是恰当地放缩，本质是函数间的关系，本文通过几何直观把解题中经常使用的不等关系展示出来，这种不等式关系不是冰冷的，而是活生生的图像关系，以便让读者有一个形象的认识，数形结合百般好，隔离分家万事休.在解题教学中，教师仅仅展示解题过程和结果是不够的，要深刻地分析题目的内在原因，在日益突出核心素养考查的当下，我们需要将解题需要的数学思想和方法传递给学生，让学生对问题的认识上升到一个新的高度，解题活动结束后要求学生对自己的解题活动加以回顾、分析与研究，把解题的主要思想、关键因素进行概括，从而帮助学生从具体的题目中抽象出来，达到彻底掌握一类问题的解题思想与方法.