落实数学抽象素养为本的概念教学——以“函数的单调性”教学为例

浙江省安吉县孝丰高级中学 (313300) 黄 锋

当代世界著名数学家、菲尔兹奖的获得者M·F·阿蒂亚曾经提出:要处理复杂性骤增的数学问题，就必须建立和发展相应的抽象数学概念.而任何概念的形成都要经历抽象到科学抽象再到数学抽象三个过程，那么从抽象到数学抽象如何在教学中落实到位呢？笔者以《函数的单调性》第一课为例，谈谈如何在概念课教学中落实“数学抽象”这一核心素养的实践与思考．

1.数学抽象的抽象过程

数学的概念和形式都呈现出高度的抽象性，对于高度抽象化的数学概念的引入，一定从生活中真实的事物出发[1]．教科书中函数单调性的引入虽然是以具体函数的图像形象的切入，但是它的高度抽象，学生很难理解．因此在教学中，应注重引导学生充分经历这个抽象过程，通过思考、讨论、探究，理解单调性的含义、感受“任意”的思想．笔者认为“函数单调性”从抽象到数学抽象的抽象过程需要经历三个步骤．

1.1 抽象的具体化生成了抽象的定性化

函数是描述事物变化规律的数学模型，因此我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识，通过研究函数值随自变量值的变化规律，可以获得函数所刻画的现实问题的变化规律.

教学片段1创设情境，引入课题

观察下列图片，回答如下问题：

图1

问题1 你能结合天气预报给我的好朋友一些建议吗？

问题2 如果把时间设为x，最高气温设为y，y是x的函数吗？

问题3 如果y是x的函数，那么函数图像反映了哪些变化规律？

设计意图：以生活实例为情景，激发学生的学习兴趣，通过问题2，体现数学建模过程，培养学生建模意识，通过问题3，让学生直观感知图像“上升(下降).

教学片段2对比分析 定性刻画

观察下列函数图像，回答如下问题：

问题4 比较图2和图3，它们函数图像分别具有什么样的变化趋势？

图2

图3

生：图2特点是函数图像从左到右保持上升趋势，图3特点是图像从左到右有升也有降.

问题5 图2对应的函数图像“从左到右保持上升趋势”，这一不变性是函数的什么性质呢？

师：从左到右函数值有什么变化呢？

生：增大.

师：函数值随着谁的变化而增大呢?

生：y随着x的增大而增大(减小).

师：在初中，我们把这样的性质称为函数的单调性.

问题6 对比图3和图4，这两个函数具有什么样的共同特点？

图4

生：图像都是有升也有降.

师：还有吗？

生：都是在某一段上上升或下降.

师：非常好！严谨的说，在某个区间上函数图像保持上升或下降.

师：从图3和图4的共同特点，我们不难发现函数的单调性是一个局部的概念，即“在某个区间上函数图像保持上升或下降”.

设计意图：学生在初中学习过函数的单调性，采用描述“y随着x的增大而增大(减小)”这就是我们从函数图像上看到的函数的变化趋势，即变化中的不变性，所以学生借助于初中的经验还是能够说出这种规律的教学.

教学片段1和2，使学生感受研究函数性质的必要性，结合初中所学，从而做到数学抽象的抽象的具体化生成了抽象的定性化.

1.2 抽象的定性化促进了抽象的定量化

从函数图像观察到的函数单调性是“定性”的，需要进一步进行“定量化”，即用“定量”的方法对这一性质准确刻画.

教学片段3具体实例 定量分析

问题7 我们以f(x)=x2为例，你能从函数的对应关系出发说出图5中点A的两个坐标的意义吗？

图5

生：1.02为自变量取1.01时的函数值.

问题8 我们以f(x)=x2为例，你是理解“y随着x的增大而增大(减小)”的？你能说说它的数量特征是什么吗？

通过几何画板(如图6)，在y轴右侧的沿x增大的方向拖动点A，让学生观察点A的坐标变化，引导他们得出函数值的变化规律：函数值随自变量的增大而增大.

图6

设计意图：上述程序实现将函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上“图像上升”这一不变性转化为“函数值随自变量的增大而增大”的数量描述.尽管仍是“定性刻画”，但是它离用精确的数量关系进行“定量刻画”已经近一步了.

问题9：“x增大了”怎么用符号语言表示？“对应的函数值y增大”又该如何表示呢？我们以f(x)=x2为例，认真填写表格，你给出具体定量描述吗？

…123456…f(x)=x2……

生：当x从1增大到2时，则f(x)从1增大到4，当x从2增大到3时，则f(x)从4增大到9，当x从3增大到4时，则f(x)从9增大到16，当x从4增大到5时，则f(x)从16增大到25，当x从5增大到6时，则f(x)从25增大到36.

问题10 这种函数值随自变量的增大而增大的变化过程能写的完吗？

生：不能，因为在区间(0,+∞)中自变量为实数，有无数个.

问题11 你能借助当从5增大到6，归纳出上述具体例子的共同特点吗？

师：当x从1增大到2时，则f(x)=x2从1增大4，我们用不等式如何描述？

生：当1<2时,f(1)

师：以此类推，当x从2增大到3，当x从3增大到4，当x从4增大到5，当x从5增大到6，我们可以得到f(2)

生：只要x1

设计意图：当把函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性聚焦在“函数值随自变量的增大而增大”后，学生对“定量刻画”函数性质的必要性与数学意义该有所体验.但如何用数量关系精确刻画这种定量关系，对学生来说还是很抽象的，因此设计时由具体到一般，让学生逐步生成这种定量关系.

1.3 抽象的定量化推动了抽象的符号化

教学片段4精准定量 生成符号

问题12 当x1

生：如图7，我们知道不可以取某些特殊数.

图7

问题13 你觉得更严格的表达应该是怎样的？

学生小组讨论

生：任取x1，x2.

师：你能精确的描述这种不等关系吗？

生：任取x1，x2∈(0,+∞)，当x1

师生共同归纳：在定义域D的某个区间I上任意取的两个数x1,x2，当x1

设计意图：这个环节是本节课的重点、难点，其核心是通过具体到抽象的过程，让学生学会用严格的语言符号刻画函数的单调性，通过问题串，设法让学生体会“任意”，引导他们符号语言表达，从而初步做到抽象的定量化到抽象的符号化.

教学片段5类比探究 抽象定义

问题14 类比增函数的探究方法，探究函数在区间上随着的增大而减小？

问题15 我们应该如何类比探究呢？

生：只需要在函数图像上任取两个点比较它们自变量和函数值的大小即可.

师：下面请大家通过几何画板上在函数图像上任取两个点比较它们自变量和函数值的大小它们有何关系？

探究完成后老师引导学生完成下列问题：

(1)学生用符号语言描述y随x的增大而减小：________________.

(2)学生类比增函数定义得出减函数的定义：________________.

师生共同归纳：在定义域D的某个区间I上任意取的两个数x1,x2，当x1f(x2)，我们称函数f(x)在区间I上单调递减.

设计意图：设计让学生体会“类比”方法的作用，问题15帮助学生找到类比探究方向，同时通过学生在电脑上用几何画板探究，再次体会“任意……都……”的含义，进而归纳抽象出减函数的定义.

教学片段6概念辨析 巩固新知

辨析1：若定义在区间[-2,3]的函数f(x)满足f(-2)

辨析2：函数在区间(1,3) 和[3,5]都是增函数，则函数在区间 (1,5]上一定也是增函数吗？

设计意图：通过三个辨析让学生再次体会“任意……都……”的含义，加深学生对定义的理解，通过辨析2、3体会正因为单调性强调“任意……都……”从而导致了单调性是函数的局部性质这一特征，通过辨析3让学生对初中三大函数单调性有了完整的认识.

2.数学抽象的教学反思

搞好概念教学是实现数学抽象的落脚点[2]，数学概念是数学知识的基础，是数学思维的基本形式．因此，概念课教学中不能忽略概念，把概念课上成习题课，要注重概念的生成，在概念形成的学习中让学生学会数学抽象．那么，概念的生成体现在哪些方面呢？我们需要关注哪些？

2.1客观原型是引入抽象概念的出发点

对于数学概念来说，它最基本的原型就是生活经验.因此，数学核心素养的提出，目的在于强调数学源自生活而又应用于生活.基于核心素养，教材的对抽象抽象概念的编写也是以“生活情境——建立模型——解释应用”.如概率统计中的正态分布密度函数是由大数学家高斯根据生活中大量的数据抽象出来的数学模型，正态分布密度函数是一个很好的适用于现实生活中许多事物和现象的概率法则，又比如牛顿依据苹果落地这样一生活事实抽象出万有引力定律数学模型.因此，可以这样说，生活经验是数学抽象发展的重要载体.

该设计以形象的函数图像为出发点引出“函数单调性”这一抽象数学概念，而函数单调性的概念是则由于舍弃了其他成分而仅仅着眼于量的关系的分析获得了更为普遍的意义，因此函数单调性的概念是这些众多生活经验的共性的提炼.可以说，数学抽象的关键是从众多生活经验的诸多性质中提炼出其本质属性.

2.2逻辑发展是渗透数学抽象的着力点

数学抽象概念的发展是具有层次性的，它是由低向高逐步发展的.因此，在教授数学抽象概念时，应该重视新旧数学抽象概念之间的逻辑相关性[3].使原认知结构中的有关知识与新学习的内容相互作用，经过 同化和顺应，逐步完善和发展学生的数学认知结构.

由初中阶段的用“随着的增大而增大(减小)”来刻画函数图像从左到右的上升(下降)到高中的精确的定量关系，把这表面上看起来似乎不是特别有关系的抽象概念有机结合起来，通过逻辑发展，建立起薪的理论结构.

2.3符号语言是描述抽象概念的核心点

当今的数学世界是一个优美壮观的符号世界，数学符号是在数学抽象化的基础之上由数学家们在研 究工作中逐步引入的，并且以此为基础把数学对象的研究转化为数学符号的研究[3].在函数单调性的概念教学中，通过逻辑发展，学生能够理解“随着的增大而增大(减小)”来刻画函数图像从左到右，但是用自然语言的表述函数单调性的概念显然使学生思维不够清晰和流畅，此时，如果坚持用自然语言来表述的话，势必导致学生思维上的紊乱，因此，在数学抽象概念教学中，数学符号的引入就显得尤为重要了.

但是数学符号有层次、有结构、有系统，其中基本符号是用以表示简单的抽象概念，由若干基本符号而构成的组台符号，可以之表示较复杂的抽象概念，通过类比思想，我实现从数学的形式化推动了数学的符号化，至此我们完整的经历抽象到科学抽象再到数学抽象三个过程，学生在知识形成过程中逐步体会和理解知识，并能应用数学语言表达，进而逐步形成抽象思维能力．学生体会从量变到质变的辩证思想，实现概念的飞跃．

总之，数学抽象是一个量变到质变的过程，在教学中我们要学生经历具体化到抽象化在到符号化的生成过程，真正的让核心素养落到实处.