一类二阶微分系统解的存在唯一性

康 慧 君

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

微分系统在物理学、 工程实践和生物学等领域应用广泛. 目前, 对于非线性微分系统边值问题的研究已取得了许多结果[1-9]. 文献[1]用不动点指数理论研究了二阶常微分系统

正解的存在性, 其中f1,f2∈C(I×+×+,+),I=[0,1],+=[0,+∞), 在非线性项f1,f2满足超线性、 次线性的条件下, 证明了该系统至少存在一个正解.

状态依赖时滞微分方程应用广泛, 如感染疾病传播模型[10]和人口模型[11]等.迭代微分方程是状态依赖时滞微分方程的一种特殊类型, 近年来得到广泛关注[12-20].例如: Eder[12]用收缩原理证明了一阶迭代微分方程

x′(t)=x(x(t)),x(t0)=t0,t0∈[-1,1]

x′(t)=f(x(x(t))),x(0)=0

局部解的存在性.

本文考虑非线性项中带有迭代项的二阶微分系统边值问题是否也具有解的存在性、 唯一性、 单调性, 用Schauder不动点定理研究一类二阶迭代微分系统边值问题

(1)

满足如下边界条件之一时解的存在性与唯一性：

x(a)=y(a)=a,x(b)=y(b)=b,

(2)

x(a)=y(a)=b,x(b)=y(b)=a,

(3)

其中x[2](t)=x(x(t)).

本文总假设:

(H1)f,g∈C([a,b]×4,);

(H2) 存在常数Ki,Li(i=1,2,3,4)满足

其中u1,u2,u3,u4∈;

(H3) 存在常数Mi,Ni>0(i=1,2,3,4)满足

其中ui1,ui2∈, 并且

1 预备知识

首先, 考虑二阶迭代微分方程

u″(t)=h(t,u(t),u[2](t)),

(4)

其满足如下边界条件之一:

u(a)=a,u(b)=b,

(5)

u(a)=b,u(b)=a,

(6)

其中h: [a,b]××→是连续函数, 由于迭代项u[2](t)=u(u(t)), 因此对于t∈[a,b], 满足a≤u(t)≤b.

设u∈C2[a,b]是问题(4)-(5)的解, 则可将边值问题(4)-(5)转化为不动点问题证明其解的存在唯一性.将方程u″(t)=h(t,u(t),u[2](t))两边从a到t积分, 得

(7)

将u(b)=b代入式(7)得

(8)

则有

(9)

将式(9)代入式(7)得

(10)

将式(10)写成如下形式：

结合式(10)和式(11)可得

因此u∈C2[a,b]是问题(4)-(5)的解.u∈C[a,b]满足积分方程

其中格林函数

同理, 将u(b)=a代入式(7)可得

因此u∈C2[a,b]是问题(4)-(6)的解.

其次, 考虑二阶迭代微分系统边值问题(1)-(2)或边值问题(1)-(3)解的存在性与唯一性.

定义Banach空间Φ=(C[a,b]×C[a,b],‖·‖C), 其上的范数为

定义积分算子T1,T2:C[a,b]×C[a,b]→C[a,b]如下:

F(x,y)(t)=(T1(x,y)(t),T2(x,y)(t)).

讨论问题(1)-(2)的解即转化成讨论方程F(x,y)(t)=(x,y)在Banach空间Φ上的不动点问题.注意到T1(x,y)(a)=a,T1(x,y)(b)=b,T2(x,y)(a)=a,T2(x,y)(b)=b, 此外,

并且

T1(x,y)″(t)=f(s,x(s),x[2](s),y(s),y[2](s)),

T2(x,y)″(t)=g(s,x(s),x[2](s),y(s),y[2](s)).

则问题(1)-(2)有确定的解, 只需(x(t),y(t))∈C[a,b]×C[a,b],t∈[a,b].

易见有下列结果：

引理1(x,y)是问题(1)-(2)的解当且仅当a≤T1(x,y)≤b,a≤T2(x,y)≤b, 并且(x,y)是T1,T2的一个不动点.

引理2格林函数

满足

|G(t,s)|≤|G(s,s)|,t,s∈[a,b]×[a,b],

引理3(Schauder不动点定理)[21]设A是Banach空间中的有界凸闭集,T:A→A全连续, 则T在A中必有不动点.

2 主要结果

定理1假设条件(H1),(H2)成立, 则边值问题(1)-(2)存在一个解.

证明： 由于假设条件(H1)，(H2)成立, 因此

同理, 有

从而可知T1(x,y),T2(x,y)是单调递增算子, 由于T1(x,y)(a)=a,T1(x,y)(b)=b,T2(x,y)(a)=a,T2(x,y)(b)=b, 因此

a≤T1(x,y)≤b,a≤T2(x,y)≤b,t∈[a,b].

由Schauder不动点定理可知(x,y)是T1,T2的一个不动点.由引理1可知, (x,y)是问题(1)-(2)的一个解.证毕.

同理, 可得边值问题(1)-(3)等价于积分方程

其中T3,T4:C[a,b]×C[a,b]→C[a,b]是积分算子, 且有T3(x,y)(a)=b,T3(x,y)(b)=a,T4(x,y)(a)=b,T4(x,y)(b)=a.

定理2假设条件(H1),(H2)成立, 则边值问题(1)-(3)存在一个解.

证明: 仿定理1的证明, 首先证明算子T3(x,y),T4(x,y)是单调的, 根据假设条件(H1),(H2), 有

同理, 有

因此,T3(x,y),T4(x,y)是单调递减的.因为T3(x,y)(a)=b,T3(x,y)(b)=a,T4(x,y)(a)=b,T4(x,y)(b)=a, 所以

a≤T3(x,y)≤b,a≤T4(x,y)≤b,t∈[a,b].

由Schauder不动点定理可知(x,y)是T3,T4的一个不动点.由引理1可知, (x,y)是问题(1)-(3)的一个解.证毕.

定理3假设条件(H1),(H3)成立, 则边值问题(1)-(2)或边值问题(1)-(3)存在唯一解.

证明: 假设(x1,y1),(x2,y2)是T1两个不同的不动点, 则对于t∈[a,b], 由于假设条件(H3)成立, 因此有

假设(x1,y1),(x2,y2)是T2两个不同的不动点, 则对于t∈[a,b], 有

因此

‖x1-x2‖+‖y1-y2‖<‖x1-x2‖+‖y1-y2‖,

矛盾.从而可知T1,T2有唯一的不动点(x,y), 即(x,y)是问题(1)-(2)的唯一解.同理, (x,y)也是问题(1)-(3)的唯一解.证毕.

3 应用实例

考虑如下系统的边值问题：

(12)

这里,

f(t,u1,u2,u3,u4)=k1cos(u4),g(t,u1,u2,u3,u4)=k2sin(u2).

因为

-|k1|≤k1cos(u4)≤|k1|, -|k2|≤k2sin(u2)≤|k2|,

所以

考虑边值问题(12)解的唯一性, 由中值定理可知, 存在ξ1,ξ2∈[0,π], 使得

|k1cos(u41)-k1cos(u42)|=|k1|sin(ξ1)|u41-u42|≤|k1||u41-u42|,

|k2sin(u21)-k2sin(u22)|=|k2|cos(ξ2)|u21-u22|≤|k2||u21-u22|,

因此