高维小扭转映射不变环面的存在性

李宏田, 所彧乔

(1. 中国刑事警察学院 基础部, 沈阳 110854; 2. 长春理工大学 理学院, 长春 130022)

1 引言与主要结果

Moser[1]给出了作用变量和角度变量为1维情形下保体积映射的KAM定理, 该定理指出: 当扰动项足够小时, 近可积保体积映射存在一族不变闭曲线. 该定理是KAM理论的三大基石之一[1-3]. 文献[4-5]考虑含有一个作用变量、 多个角度变量的近扭转映射, 给出了类似的KAM型定理. Cong等[6]得到了高维近可积映射的KAM型定理. 受上述工作启发, 本文考虑作用变量和角度变量具有不同维数的小扭转映射, 当映射满足Rüssmann非退化条件及相交性条件时, 小扭转映射存在一族不变环面. 该结论可用于Arnold-Beltrami-Childress流等保体积映射的误差分析[7-8].

考虑映射Ft:B×Tn→m×Tn:

p1=p+tf(p,q),q1=q+tω(p)+tg(p,q),

(1)

其中B是m中的有界开集, Tn表示n维环面,t∈(0,1]为扭转参数,ω(p),f(p,q)和g(p,q)于B×Tn上实解析.本文主要结果如下：

定理1若式(1)满足如下条件:

(2)

(ii) 扭转映射(1)于Bρ×Σρ上具有相交性质, 即对任意的p*∈Bρ, 均存在q*∈Σρ, 使得f(p*,q*)=0, 其中

Bρ={p∈m: Rep∈B, |Imp|<ρ},

Σρ={q∈n: Req∈Tn, |Imq|<ρ},

ρ>0为常数.

则存在ε>0, 使得当‖f‖+‖g‖<ε时, 对任意的t∈(0,1], 下列结论成立:

1) 近可积小扭转映射(1)存在一族不变环面Tp(p∈B(ε,t)), 其频率向量tω∞(p,t)关于t于(0,1]上一致满足

|ω∞(p,t)-ω(p)|=O(ε);

2) 在(0,ε*]×(0,1]上, 不变环面测度的估计为

meas(BB(ε,t))=O(ε1/(7max{m,n}(n+τ+3))),

其中B(ε,t)为B的非空Cantor子集,ε*为某正常数.

本文用|·|和‖·‖分别表示欧氏范数和上确界范数.

2 引 理

引理1已知h(p,q)于Bρ×Σρ上实解析, 对于给定的p0∈D, 考虑定义于D×Σρ上的差分方程

V(p,q+tω(p0))-V(p,q)=t(h(p,q)-(RNh)(p,q)-h0(p)),t∈(0,1],

(3)

其中D={p: |p-p0|0为给定的常数,

表示h(p,q)的Fourier级数形式的N-1阶截断项的余项,V(p,q)待定.若ω(p0)满足带参数的Diophantus条件:

(4)

则式(3)有且仅有一个满足V0(p)=0的实解析解V(p,q), 其中:δ>0;τ>(max{m,n}+1)×max{m,n}-1; (p,q)∈D×(Σρ-δ), 0<δ<ρ,Σρ-δ={q∈Σρ: dist(q,∂Σ)≥δ}, 满足

c0={22n-2}π2(n+τ+1)n+τ+1exp{-(n+τ+1)}/3.

证明: 因为V0(p)=0, 不妨设V(p,q)具有如下Fourier级数形式

由式(3)得

由Cauchy积分公式及式(4), 当(p,q)∈D×(Σρ-δ)时, 有

3 KAM迭代

设式(1)的频率向量及扰动项于Dρ×Σρ上满足:

‖f‖+‖g‖<ε,

(5)

(6)

其中M0为常数,ε足够小.设i=0,1,…, 定义迭代参数如下:

j=0,1,…,i-1.记

Di={p∈Bρ: |p-p0|

设

(7)

其中c1,c2,…表示与扰动参数ε、 扭转参数t以及迭代步骤i无关的正常数.

因为t为小扭转参数, 所以不失一般性, 可简记ωi(p,t),fi(p,q,t),gi(p,q,t)为ωi(p),fi(p,q),gi(p,q).设在第i次迭代中, 映射(1)转化为Fti:

p1=p+tfi(p,q),q1=q+tωi(p)+tgi(p,q),

(8)

其扰动项满足

‖fi‖+‖gi‖<εi,

故存在常数M0, 使得

‖ωi‖≤2ε

(9)

定义

由文献[6], 关于其测度有如下估计:

(10)

定义Di+1×Σi+1上的坐标变换Ti+1:

p1=p+Ui+1(p,q),q1=q+Vi+1(p,q).

(11)

(12)

p1=p+tfi+1(p,q),q1=q+tωi+1(p)+tgi+1(p,q),

(14)

其中Ui+1,Vi+1待定, 其新的扰动项

(17)

(18)

(19)

(20)

由式(17),(19)知

(21)

由式(13)知

(22)

(23)

由文献[3]中的引理以及截断项Ni+1的选取, 对式(24)中的最后一项, 有如下估计:

‖RNi+1fi‖≤ε9/7.

(25)

于是, 关于新扰动项, 有

同理

(27)

由式(26),(27)知,

(28)

取Li=T1∘T2∘…∘Ti, 于是Fi=Li-1∘Ft∘Li.在Di×Σi上, 设变换Li为

p1=p+Pi(p,q),q1=q+Qi(p,q),

(29)

则

p1=p0,q1=q+tω∞(p0,t),

(30)

|ω∞(p0,t)-ω(p0)|≤2ε.

至此完成了定理1的证明.