基于SPH 粒子化的重心变化模型研究

孙一凡，崔 杰，张宁宁，王天宇，赵乾宇，代雨辰

（沈阳航空航天大学理学院，辽宁 沈阳 110136）

0 引言

本文围绕实际生活中的水箱问题进行相关的研究。已知长方体以及两固定水箱的长度、宽度等几何参数，给定长方体始态“平放”和终态“竖放”的放置方式。探究注入水箱中水的比例不同（两水箱的比例是相同的）对于长方体的形心与重心位置变化关系的影响[1-2]。同时为了能使长方体在“平放”到“竖放”过程中，形心与重心之间的距离最小，分别探究两个固定水箱共同的倾斜角度和两个水箱斜放角度不同时的情况，找到最合适的倾斜角度。

1 重心轨迹模型构建

左下水箱边长长度关系：

将左下水箱向上转动φ 角度，主视图如图1、图2 所示，水箱内虚线为最开始的水平面，黑色实线为水平面，高于初始水平面的水量为初始虚线下的黑色实线上的水量的移动[3-5]，选取原始水平面中点，通过研究该点的运动轨迹来反映整个水箱转动过程的运动方程。

图1 左下水箱转动φ 角度

图2 右上水箱转动φ 角度

半径长度一定得到的条件，见式（1）、式（2）。

其中：h1——初始水位；Δx——代表点x 轴坐标增量。

利用角度得到的条件，见式（3）、式（4）。

右上水箱边长长度关系，见式（5）。

半径长度一定得到的条件，见式（6）。

利用初始水平面得到的条件，见式（7）、式（8）。

初始水位不同会导致粒子数不同，如表1、表2 所示。

表1 左上水箱水位不同情况下的粒子数

表2 右上水箱水位不同情况下的粒子数

长方体重心坐标，见式（9）。

2 模型求解

通过对上下水箱的横纵坐标改变量的整理可以得到左右各水箱的Δx，Δy 结果，并得到重心轨迹变化曲线。

这里以比例0.25 为例，如图3 所示。

图3 比例0.25 时重心的轨迹

3 形心轨迹模型

3.1 模型建立

形心轨迹如图4 所示。

图4 形心轨迹

根据形心相对位置不变条件得到半径，见式（10）。

根据角度的条件得到式（11）。

3.2 模型的求解

根据两点间距离见式（12）～式（14）。

d=-0.002046θ4+0.07112θ3-0.992θ2+6.172θ-11.91； （12）

d=-0.003081θ4+0.1028θ3-1.351θ2+8.509θ-1.51； （13）

d=-0.001418θ4+0.05115θ3-0.7564θ2+5.48θ-9.602。 （14）

重心与形心间隔随φ 的变化如图5～图7 所示。根据图像来看，在比例为0.25 时，两心之间的距离都是随着角度φ 的增大先减小后增大；在比例为0.5 时，两心之间的距离都是随着角度φ的增大先增大后减小；在比例为0.75 时，两心之间的距离都是随着角度φ 的增大持续减小。

图5 比例0.25 时重心与形心间隔随φ 的变化

图6 比例0.5 时重心与形心间隔随φ 的变化

图7 比例0.75 时重心与形心间隔随φ 的变化

4 结论

本文围绕实际生活中的水箱重心变化问题进行建模分析研究，基于SPH 粒子化思想和曲线拟合手段，将液体水看做若干等大等距的粒子来模拟了水流动过程。首先研究水箱中水比例相同时随长方体反转角度不同增大时该比例对重心与形心之间距离的影响，在求取距离同角度变化的函数时，以粒子的运动来代替流体的运动。最后对所有点进行求和操作，得到最终的重心运动轨迹。