对称性结论在多元函数积分中的应用

袁玉强 杜 仲

（1.中国矿业大学（北京）理学院 北京 100083；2.华北电力大学数理系 河北·保定 071003）

利用对称性化简积分求解问题是高等数学中最常见的一种应用。教材中鲜少提及应用对称性解决积分问题的结论，但在教学中，能否应用对称性却是解题最开始要做的判断。已报道的相关结论，特别是重积分的情况，需要同时考虑积分区域的对称性和积函数关于哪个变量的奇偶性，学生们普遍反馈难以记忆这种结论。基于这种考虑，本文提出对称性求解积分问题的一种统一形式，便于对结论的记忆和理解，提高解题效率，也为习题的编撰和试题库的建设提供思路。此外，我们发现第一型的曲线和曲面积分本质上与定积分、重积分一致。因此，该结论也可以推广到第一型的曲线和曲面积分。

1 定积分和重积分的对称性结论

以上定理在很多文献中都有报道及相应的证明，如参考文献[1，2，3]，因此本文将不再赘述有关的证明。从以上定理我们看到对称性的确可以简化很多积分计算，但是对于多元函数，考虑的是关于轴（或平面）的对称，而被积函数则要求是关于剩余那个变量的奇偶性，这与一元函数定积分应用对称性的结果不一致。

那么为了统一这几种对称性的形式，我们不妨换一个角度来看：（1）对一元函数的定积分，原点在数轴上可以表示为x=0，因此积分区域关于原点的对称性可以看作积分区域关于x=0的对称性，此时考虑被积函数f( x)关于变量x的奇偶性；（2）对二元函数的二重积分，y轴在平面区域中可以表示为x=0，因此积分区域D关于y轴的对称性可以看作是D关于x=0的对称性，此时只需考虑被积函数f (x,y)关于变量x的奇偶性；（3）同样地，对于三元函数的三重积分，平面yoz在空间中可以表示为x=0，因此积分区域关于yoz平面的对称性可以看作是关于x=0的对称性，此时只需考虑被积函数f( x,y,z)关于变量x的奇偶性。总结对称性在定积分和重积分计算中的结论即可简化为——考虑积分区域关于某个变量等于0的对称性，再看被积函数关于这个变量的奇偶性：若函数关于该变量是奇函数，则积分结果为0；若函数关于该变量是偶函数，则积分结果为函数在一半区域积分的两倍。

2 第一型曲线和曲面积分的对称性结论

我们看到第一型的曲线和曲面积分仍然是由黎曼和定义的[4]，因此这两种积分的性质与定积分、重积分是一致的，从而以上对称性在定积分和重积分中的结论对第一型的曲线和曲面积分也成立。以下我们将以结论的形式给出相关叙述。

定理4.对于第一型曲线积分（不妨假设为平面曲线），当积分曲线L关于x=0对称，设f (x,y)在L上连续，则