具吸收项及非局部边界条件的多孔介质方程解的存在性和爆破

潘荣婷，高云柱

(北华大学数学与统计学院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

本文考虑如下非局部初边值问题

(1)

方程(1)描述的是流体通过多孔介质的数学模型.许多物理现象被表述为非局部数学模型，包括不含吸收项的多孔介质模型[1-2]，以及含有吸收项的多孔介质模型[3-7].

本文做如下假设：

(2)

本文研究了问题(1)的上解、整体解的存在性和解在有限时刻的爆破性.

1 预备知识

定义1称非负函数u是问题(1)在QT上的一个上解，如果u∈C2，1(QT)∩C(QT∪ΓT)，并满足

(3)

类似地，若u≥0且满足式(3)不等号相反的顺序，则称u∈C2，1(QT)∩C(QT∪ΓT)是问题(1)的一个下解.如果u既是问题(1)在QT上的下解，也是问题(1)在QT上的上解，则称u是问题(1)在QT上的一个解.进一步地，对任意T>0，如果u是问题(1)在QT中的一个上解，则称u是问题(1)的一个整体解.

2 主要结果

定理1设l≤1，max{m，r+p}≤1 且假设(2)成立，则问题(1)存在上解.

证明：设T是任意正数.由假设(2)成立，我们在QT中构造问题(1)的一个正上解.对于l<1，只需取

则其为(1)的一个上解.

对于l=1 的情况，考虑如下的特征值问题

设λ1表示它的第一特征值，选择相应的特征函数φ满足(0<ε<1)：

则不难得到

是问题(1)的一个上解.

事实上，由于

其中，

则易知v(x，t)是问题(1)在QT上的一个上解.证毕.

定理2设r+p>q，0

证明：设φ(x)是如下椭圆问题的解：

要使上式大于等于零，只需

(4)

进而

于是有

从而式(4)成立.

综上所述，取

考虑下列常微分方程

(5)

通过解上述简单的常微分方程，容易得到下面的引理：

引理2(ⅰ)如果r+p

(ⅰ)如果1≤r+p

证明：考虑如下微分方程

(6)

显然方程(1)的解u(x，t)=v(t)是方程(6)的下解，而由引理2可得，v(t)是方程(6)的整体解，故由引理1比较原理即得证.证毕.

证明：考虑如下微分方程

(7)

显然方程(1)的解u(x，t)=v(t)是方程(7)的上解，而由引理2，方程(7)的解v(t)在有限时刻爆破，故由引理1比较原理即得证.证毕.

由引理2不难推得如下定理5：