渐开线圆柱外齿轮磨前滚刀加工齿形计算*

2022-01-14郑守帮杨顺成周立轩乔永钦李仕林付蔚萍

机械研究与应用 2021年6期

郑守帮，杨顺成，周立轩，乔永钦，李仕林，付蔚萍

(1.郑州机械研究所,河南郑州 450001; 2.长安大学工程机械学院，陕西西安 710000)

0 引言

齿轮是极重要的机械元件，在机床、汽车、航空、造船、兵工、仪表等众多工业领域都大量使用。齿轮的精度和质量可以直接影响整台机械的性能[1]。随着新装备、新工艺的出现，弯曲强度和接触强度极佳的硬齿面齿轮得到日益广泛应用的同时，滚齿加热处理加磨齿的工艺也越来越多的被使用[2]。为保证齿轮齿面具有良好的接触性能，同时不影响弯曲性能，磨齿时应避免齿根磨削，这就要求齿轮在滚齿时要有一定的沉切量，为此滚齿刀具应采用考虑留磨量和凸起量的磨前滚刀[3]。

根据以往生产经验，有客户要求成品齿轮渗碳层深度需有较高一致性，尤其对于某些军品，其相应等级要求更高。但由于齿廓各处曲率差异，使得不同位置渗碳层深度具有不均匀性[4]。为满足既定要求，应具体剖切分析不同位置处的渗碳层深度[5]，使磨前齿轮齿廓不同位置留有不同的磨削余量。而由于磨前滚刀法向齿廓含有两段齿形角不等的刀刃部分[6]，其啮合线与用标准滚刀切制时有较大差异，而且其刀刃连接尖点处的具体切制原理相关研究较少，故文中依托实际生产，综合考虑留磨余量、凸起量以及变位系数的复合影响[7]，详细探讨了此给定各种生产参数的磨前滚刀切制渐开线圆柱外齿轮的切制原理，使用参数化方程推导其整个过程，力求为研究者提供更贴近实际的理论模型，以便解决实际生产。

1 磨前滚刀法向基准齿廓

齿轮滚刀是按展成法加工齿轮的刀具。它可以用来切制直齿轮，也可以切制斜齿轮，可以加工非变位齿轮，也可以加工变位齿轮。加工方式如图1所示。

图1 齿轮滚刀加工齿轮图2 滚刀基本蜗杆与齿轮啮合

滚刀的法向齿形相当于一齿条，滚刀加工齿轮的过程其本质就是齿条齿轮的啮合过程。后面为了方便理解与推导，这里将滚刀的回转运动转换成齿条的水平移动来进行详细的探究，如图2所示[7]。

在某些特殊要求下(例如航空工业中)某些磨齿的齿轮要求高抗弯强度，齿根过渡曲线应有最大曲率半径，这种磨前齿轮可用齿顶为大曲率圆弧的滚刀加工[8]。这种磨前滚刀加工出的磨前齿轮表面处应有留磨余量，同时齿根处还需有少量根切以使得磨削齿形时砂轮的顶部不参与磨削工作[9]。这种带圆头的滚刀刀齿，可采用图3所示的齿形作为滚刀法向基准齿形[10]。

图3 带圆头滚刀的法向齿形

该齿形分三部分，一部分是齿形角为α的直线齿形部分，即图中的K1K3段齿形，这一段与一般齿轮滚刀的齿形是一样的；第二部分是半径为r0的齿顶圆弧部分，即K4K6段齿形，该齿形用来切制齿轮的槽底曲线，由啮合原理可知，切制出来的曲线为延伸渐开线的等距线[11]；中间K3K4段齿形为以上两部分的连接线，这部分直线的倾斜角为αy，根据齿形角α的数值，一般来说αy=7°～12°，以便使这一段刀刃具有必要的后角。

2 刀具参数

现将刀具法向齿廓放大，如图4所示。

图4 滚刀的法向齿形放大图

2.1 滚刀齿顶为全圆弧

变位齿轮的分度圆齿厚为：

(1)

(2)

(3)

在三角形AK6K5和BK6K5中分别使用余弦定理可得：

(4)

(5)

(6)

K3J=K4G-K4H

(7)

2.2 滚刀齿顶为非全圆弧

滚刀齿顶圆弧的半径r0需给定。

(8)

(9)

(10)

K4G、K4H及K3J的求法同全圆弧，这里不再赘述。

3 动态切制过程

3.1 坐标系的建立

图5显示了磨前滚刀切制外齿轮的动态加工过程[13]。

设齿轮的中心为O2，分度圆半径为r2，节点为P，以P为原点作空间固定坐标系(P(O)-x,y)，y轴与O2P方向一致，如图5中的y轴，x轴则与它垂直，如图5中的x轴，再作一个与滚刀固连并随滚刀一起移动的坐标系(O1-x1,y1)，在初始位置，y1轴与y轴重合，由变位系数确定O1点沿y轴移动的距离。以O2点为原点，作与齿轮2固连并随它一起转动的坐标系(O2-x2,y2)，在起始位置，y2轴与y轴重合，x2轴与x轴平行[14]。

图5 动态切制过程

设齿轮2由起始位置沿顺时针方向转过φ2角，与此同时，滚刀由起始位置移动的距离为r2·φ2。则：

由(O1-x1,y1)变换到(P(O)-x,y)的变换矩阵M10为：

(11)

由(P(O)-x,y)变换到(O2-x2,y2)的变换矩阵M02为：

(12)

由坐标变换性质经矩阵运算可得：

M01=M10-1，M20=M02-1

M12=M10·M02，M21=M12-1

具体推导过程不再赘述。

N1N2为齿形角为α的K1K3段直线齿廓与齿轮的啮合线，由啮合原理分析可得，由于传动比不变，齿形角为αy的过渡刀刃直线在切制时与齿轮的啮合线应通过节点P，且啮合线的压力角与过渡刀刃齿形角相等，图5中线段N3N4即为过渡刀刃K3K4与齿轮啮合的啮合线。

3.2 滚刀齿廓的方程建立

在滚刀坐标系(O1-x1,y1)下；

令齿顶圆弧圆心在y1轴上，如图5中的位置(0)，刀具齿顶圆弧中心A点的坐标为：

(13)

此时，滚刀齿顶圆弧与齿轮啮合点M的坐标为：

(14)

式中：α0是齿顶圆弧中心A点与节点P的连线与x轴的夹角，如图6所示，且-π/2≤α0≤-α，具体推导过程可参看齿轮啮合原理。这也是滚刀齿顶圆弧的方程。

图6 滚刀齿顶圆弧啮合点位置

齿顶圆弧与过渡刀刃的切点K4的坐标为：

(15)

由点斜式方程可得K3K4段齿形方程为：

(16)

同理可得K1K3段齿形方程为：

(17)

其中：

O2J=r0·cosαy+K4H·tanαy

(18)

3.3 切制临界点的确定

压力角为α的啮合线N1N2与齿轮齿顶圆交于N1点，滚刀上K1K3段齿形从N1点(图5位置(1))位置开始切制齿轮上压力角为α的渐开线部分，当K1K3齿形上K3点与啮合线N1N2相交于N2时(图5位置(2))，压力角为α的渐开线部分切制结束。由齿轮啮合原理知，传动比不变的前提下，啮合线的压力角等于齿条齿形角，且啮合线始终过同一节点P。由此可知过渡刀刃K3K4齿形上K3点与啮合线N3N4相交于点N3时(图5位置(3))开始切制齿轮上压力角为αy的渐开线部分，当K3K4齿形上K4点与啮合线N3N4相交于N4时(图5位置(4))，压力角为αy的渐开线部分切制结束。

当齿条坐标系(O1-x1,y1)的y1轴与固定(P(O)-x,y)的y轴重合时(图5位置(0))，滚刀齿顶圆弧最低点K6开始切制齿根过渡曲线，刀具继续移动，直到齿顶圆弧与过渡曲线的切点K4与啮合线N3N4相交于N4时(图5位置(4))，齿顶圆弧K4K6切制过渡曲线完毕，滚刀与齿轮毛坯在此处脱离啮合，完成全部切制过程。