突现宇宙学在广义Rastall引力中的实现

原 方 方

(河北科技师范学院物理系，河北 秦皇岛，066004)

为了统一广义相对论与量子理论，可以将引力作为一种突现的现象，而不是基本相互作用之一。这种思想的实现方式有很多，最著名的理论方案是由Jacobson[1]提出的，即从热力学关系出发得到引力场方程。在宇宙学方面，Padmanabhan从全息原理出发提出假设，认为宇宙空间的膨胀可以看作趋向能量均分的过程，并给出了相应的膨胀定律。经过改进，这一方法可以适用于非平坦宇宙的情形[2]。

有一些修改引力理论具有能量不守恒的性质，这可以用来解释宇宙演化中的粒子产生等现象。相关研究使得Rastall引力被重新发现并得到重视[3,4]。Padmanabhan的突现宇宙学方法也可以应用到这种能量不守恒的引力理论中[5]。鉴于近年来这种理论有了许多推广，笔者以一种广义Rastall引力为基础，从修正的膨胀定律出发，推导出描述宇宙演化的Friedmann方程。作为这一方法的基础，需要首先得到修正的Komar能量、Friedmann方程，以及表观视界的熵公式。

1 Rastall引力及其推广

在广义相对论中，能量动量张量的协变守恒方程是一个基本和重要的组成部分。但Rastall认为，在弯曲时空中，有可能需要对此进行修改，并给出如下的假定：

(1)

近年来，有多种模型都被称为广义Rastall引力，均具有下面形式的能量动量不守恒方程：

(2)

其中，T=gμvTμv是能量动量张量的迹。

作为一种完全独立和不同的理论，f(R,T)引力已经得到了深入和广泛的研究。为与这些讨论相联系，并能更简便地回到Rastall最初的模型[6]，本次研究考虑如下的形式：

(3)

其中，α为常数。相应的广义Rastall引力场方程为

Gμv+kλgμv(R+αT)=kTμv

(4)

如约定Newton引力常数G=1，则在λ=0=α时，有k=8π，即为广义相对论的情形。参数k一般称为Rastall引力常数。

对场方程(式(4))取迹后，可得

(5)

由于R与T成正比，可以将式(3)改写为类似最初理论(式(1))的形式。但这里引入了一个新的参数α，另外由于改变了场方程的物质部分，其物理解释在一般情况下也有不同。由此，可得前述引力场方程的等价形式为

(6)

基于上式，即可仿照Rastall引力的情形，得到与理想流体对应的修正Komar能量密度如下：

(7)

2 Friedmann方程与表观视界的熵

考虑Friedmann-Robertson-Walker度规，将引力场方程(式(6))的00和ij分量经过整理后，可以得到描述尺度因子演化的Friedmann方程如下：

(8)

(9)

表观视界的半径和温度的表达式保持不变，即有

根据Clausius关系，可得熵的增量为

(10)

对于这里的广义Rastall引力，连续性方程(即0分量的不守恒方程)具有下列形式：

(11)

考虑理想流体，并利用场方程，推导可得

(12)

将这一连续性方程代入式(10)，即可得到熵的时间导数为

(13)

再利用Friedmann方程(式(8)(9))，化简可得

(14)

所以，表观视界的熵为

(15)

其形式与广义相对论的结果完全类似，但一般情况下，Rastall引力常数不为8π。另外，如果考虑Newton极限，可得k与参数λ，α的关系式，因此，也不能简单地认为熵与参数λ无关。

在以上的广义Rastall引力中，由式(8)(9)可以得到描述Hubble参数时间演化的一个等价的Friedmann方程如下：

当α=0时，即可发现，对于原始的Rastall引力(式(1))，上述方程与广义相对论的结果完全相同。这也是论证Rastall引力与具有变化宇宙学常数的广义相对论等价的原因之一。

3 由修正膨胀定律导出Friedmann方程

Padmanabhan的突现宇宙学思想可以推广到曲率因子不为零的情形，即可由如下的修正膨胀定律出发，得到含有熵修正情况下的Friedmann方程：

(16)

根据表观视界的熵公式(式(15))，可定义有效自由度数目为

(17)

另一方面，由修正的Komar能量密度(式(7)),可定义体空间的有效自由度数目为

(18)

将式(17)和式(18)代入修正膨胀定律(式(16))，化简之后可得

(19)

再根据表观视界的半径公式，即可发现，在这里考虑的广义Rastall引力中，仍然有下述关系成立：

(20)

将上式代入修正的Komar能量密度公式(式(7))，可得

(21)

由此，连续性方程(式(12))变为

(22)

经过化简，上式可改写为如下形式：

(23)

每项均乘以尺度因子的平方之后，可得

(24)

去掉积分号后，上式即为曲率因子为零情况下的Friedmann方程(式(8))。

4 结论与讨论

与Rastall最初的模型不同，本次研究考虑协变不守恒方程中含有一项正比于能量动量张量的迹的情况。首先，得到了修正的引力场方程和Komar能量密度。其次，推导出了Friedmann方程、连续性方程和表观视界的熵公式。最后，从修正膨胀定律出发，根据突现宇宙学的思想，重新得到了Friedmann方程。

作为进一步研究的方向，可以考虑这里的广义Rastall引力与f(R,T)引力在宇宙学演化、黑洞解等方面的联系。此外，值得考察的是最一般的广义Rastall引力(式(2))对热力学定律的影响，以及在宇宙学观测和致密天体性质上的具体预言等。最后，广义Rastall引力中的能量定义、Newton极限等也是值得研究的理论课题。