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图的ISI 指数与能量的界

2022-01-10李海毓高玉斌

关键词:下界特征值顶点

李海毓,高玉斌

(中北大学 理学院,山西 太原030051)

0 引言

设G 是具有m 条边的n 阶简单连通图,其顶点集为V ( G )={v1,v2,…,vn},边集为E ( G ),| E ( G ) | =m,顶点vi的度是G 中与vi相邻的顶点数,记为di。设顶点的度序列为Δ =d1≥d2≥…≥dn=δ,其中Δ 为顶点最大度,δ 为顶点最小度。称各顶点的度均相同的图为正则图。将连接顶点vi与vj的边记为e,则边e的度定义为d (e) =di+dj- 2,并且设边的度序列为d (e1) ≥d (e2) ≥…≥d (em),则边最大度为Δe=d (e1) +2,边最小度为δe=d (em) +2。

基于顶点度的拓扑指数的研究已取得丰硕成果,被认为是化学研究中非常有用的工具。Vukičević 和Gašperov 在2010 年提出了inverse sum indeg 指数[1](简称为ISI 指数),定义为

在文献[2-3]中作者利用图的顶点数、边数、边度等图的不变量给出了若干ISI 指数上下界;文献[4]中,Pattabiraman 研究了一些特殊图的ISI 指数的上下界,如组合图、Mycielskian 图等的ISI 指数的上下界。

设G 是一个n 阶简单连通图,它的谱是指其邻接矩阵A( G ) 的所有特征值的集合,设A( G ) 的特征值为λi(i =1,2,…,n),λ1≥λ2≥…≥λn,则图G 的能量[5]被定义为

由于图的ISI 矩阵中元素形式的特殊性,到目前为止关于图的ISI 能量的研究较少;在文献[7]中Hafeez 等研究了图的ISI 能量,并给出了图的ISI 能量的一些上下界以及一些特殊图(星图、圈图等)的ISI 能量。

基于以上研究现状,本文运用一些熟知的不等式给出了图的ISI 指数与ISI 能量的一些新的上下界;还用到了一些其他拓扑指数。

1 预备知识

2 ISI 指数的界

3 ISI 能量的界

4 结论

本文利用一些熟知的不等式,考虑ISI 指数与能量和一些已知的拓扑指数、图的不变量之间的关系,分别给出ISI 指数和ISI 能量的一些新的上下界,进一步得到了图的ISI 指数、能量与不同参数之间的关系,从而刻画出更精确的图的ISI 指数与能量的上下界。

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