图的ISI 指数与能量的界

李海毓，高玉斌

（中北大学 理学院，山西 太原030051）

0 引言

设G 是具有m 条边的n 阶简单连通图，其顶点集为V ( G )＝{v1，v2，…，vn}，边集为E ( G )，| E ( G ) | ＝m，顶点vi的度是G 中与vi相邻的顶点数，记为di。设顶点的度序列为Δ ＝d1≥d2≥…≥dn＝δ，其中Δ 为顶点最大度，δ 为顶点最小度。称各顶点的度均相同的图为正则图。将连接顶点vi与vj的边记为e，则边e的度定义为d (e) ＝di＋dj－ 2，并且设边的度序列为d (e1) ≥d (e2) ≥…≥d (em)，则边最大度为Δe＝d (e1) ＋2，边最小度为δe＝d (em) ＋2。

基于顶点度的拓扑指数的研究已取得丰硕成果，被认为是化学研究中非常有用的工具。Vukičević 和Gašperov 在2010 年提出了inverse sum indeg 指数［1］（简称为ISI 指数），定义为

在文献［2－3］中作者利用图的顶点数、边数、边度等图的不变量给出了若干ISI 指数上下界；文献［4］中，Pattabiraman 研究了一些特殊图的ISI 指数的上下界，如组合图、Mycielskian 图等的ISI 指数的上下界。

设G 是一个n 阶简单连通图，它的谱是指其邻接矩阵A( G ) 的所有特征值的集合，设A( G ) 的特征值为λi(i ＝1，2，…，n)，λ1≥λ2≥…≥λn，则图G 的能量［5］被定义为

由于图的ISI 矩阵中元素形式的特殊性，到目前为止关于图的ISI 能量的研究较少；在文献［7］中Hafeez 等研究了图的ISI 能量，并给出了图的ISI 能量的一些上下界以及一些特殊图（星图、圈图等）的ISI 能量。

基于以上研究现状，本文运用一些熟知的不等式给出了图的ISI 指数与ISI 能量的一些新的上下界；还用到了一些其他拓扑指数。

1 预备知识

2 ISI 指数的界

3 ISI 能量的界

4 结论

本文利用一些熟知的不等式，考虑ISI 指数与能量和一些已知的拓扑指数、图的不变量之间的关系，分别给出ISI 指数和ISI 能量的一些新的上下界，进一步得到了图的ISI 指数、能量与不同参数之间的关系，从而刻画出更精确的图的ISI 指数与能量的上下界。