一类不等幂次的Waring-Goldbach问题的例外集

朱豆豆

(华北水利水电大学 数学与统计学院， 河南 郑州 450046)

1 引言与主要结果

混合幂Waring-Goldbach问题主要研究将正整数n表示为

式中：

2018年，文献[3]等将结果改进为

此外，文献[6-11]在这类问题的研究中取得了重要结果。同时，一些新的方法也发展起来，为此类问题的研究提供了更为有效的途径。本文主要应用圆法并结合文献[12]的思想，得到如下结果：

2 预备知识

为了清晰地说明定理1的证明思路，下面给出一些必要定义:

对于i=1，3，k，定义

则∀Q>0，有

取

(1)

根据Dirichlet有理逼近定理，

有整数a，q满足1≤a≤q≤Q和(a，q)=1，有

定义主区间M和余区间m如下：

(2)

其中

则

则有：

式中：S(n)是由式(6)定义的奇异级数，该奇异级数绝对收敛，且对于任意的奇数n和固定常数c*，有

0

(3)

I(n)定义为

并且满足N1/3+1/k≪I(n)≪N1/3+1/k。

命题1的证明将在第4节给出，对奇异级数性质的讨论将在第5节给出。为了得到定理1，还需要以下引理：

引理1若P，Q满足式(1)，余区间m如式(2)定义，则对k≥4，有

(4)

这里α满足条件

因为对于Q*的选取满足Q*

这2种情况均有q(1+N|λ|)≫P，所以式(4)可以化简为

最后的≪只依赖于式(1)中的P的选取。

定义可乘函数ωi(q)如下：

对于整数i≥3和集合A⊆(U，2U]∩N，定义

(5)

引理2[12]对于γ∈R以及X≤U，定义

则L(γ)≪X2U-i(logU)Ai，其中ci和Ai是依赖于i∈N的常数。

引理3[12]对于1≤a≤q≤Ui·21-i以及(a，q)=1，定义

M(q，a)={α：|qα-a|≤Ui(21-i-1)}

设M是区间M(q，a)的并，取

若G(α)和h(α)是周期为1的可积函数，g(α)=gA(α)如式(5)定义，m⊆[0，1)是一个可测集，则

3 定理1的证明

由命题1，

记

应用引理1可得

其中M如引理3中定义。应用引理2可得

J0≪Lc

又因为

则

4 命题1的证明

在证明命题1之前，首先引入一些符号。当i=1，3，k时，对于Dirichlet特征χmodq，定义

其中δχ=1或者0取决于Dirichlet特征χ是否为主特征。进一步，设

Ci(q，a)=Ci(χ0，a)

C1(χ1，a)C3(χ3，a)Ck(χk，a)

记

(6)

定义集合Lj(j=1，2，…,8)如下：

则

I1+I2+I3+I4+I5+I6+I7+I8

(7)

其中

这里I1可以用常规方法估计，需用到如下引理：

引理4[14]当(a，q)=1时，对于Dirichlet特征χmodq，有

引理5对于i=1，3，k，设χimodri是原特征，χ0modq是主特征，r0=[r1，r3,rk]，则

(8)

证明类似于文献[15]引理6.7的证明，式(8)左侧远小于

这里χ0modur0是主特征，并且

通过引理4，可得

因为

则

接下来估计I1。对于i=1，3，k，根据文献[16]引理4．8，

(9)

将式(9)代入I1得

(10)

由估计

(11)

并且令r0=1，由引理5，式(10)中的余项远小于

其中ϖ>0。因此，式(10)可表示为

(12)

则接下来只需证明对于j=2，3,…，8，

用文献[17]中的迭代方法估计I2，I3，…，I8的贡献。为此，对于i=1，3，k，设

关于Ji(g)和Ki(g)的估计，有如下结论：

引理6当P、Q满足式(1)时，有

引理7当P、Q满足式(1)时，有

引理8当P、Q满足式(1)时，有

J1(1)≪NL-A

引理6～8的证明与文献[18]引理 2．2～2．4的证明类似，在此略去。

首先从I8开始估计，这是最复杂的一项。

其中χ0modq是主特征，r0=[r1，r3，rk]。对于i=1，3，k，当q≤P，Xi

|W3(χ3,λ)|·|Wk(χk,λ)|dλ

在最后一个积分中运用柯西不等式，则

因为r0=[r1，r3，rk]=[[r1，r3]，rk]，应用引理6及引理8可得

(13)

在对I2，I3,…，I7估计时，需结合由式(9)、(11)得出的以下估计：

利用处理I8类似的方法,可得

(14)

结合式(7)、(12)、(13)、(14)，命题1得证。

5 奇异级数

首先给出本节所需引理。对于i≥1，定义

引理9[19]若(p，a)=1，则

引理10对于(p，n)=1，有

(15)

证明记式(15)左侧为S，通过引理9，有

若i∈{3，k}时,有|Ai|=0，则S=0;否则，

由引理9知,二重的外部和不超过

((3，p-1)-1)((k，p-1)-1)≤2(k-1)

因为对于主特征χ0modp，t(χ0)=-1，所以

综上，

引理11设同余方程

解的个数为Mp，则对于p≥11及任意的正偶数u，有Mp>0。

由引理9，

所以当p≥11时，|Ep|<(p-1)2，故Mp>0。

引理12设同余方程

(x1x2x3，p)=1

解的个数为L(p，n)，则对于任意的正奇数n，有L(p，n)>0。

证明由引理11，当p≥11时，对于任意的正奇数n，同余方程

至少有一个解，故得L(p，n)>0;当p<11时，可以直接逐一验证知L(p，n)>0。

引理13A(n，q)是关于q的可乘函数。

证明由式(6)知只需证明B(n，q)是关于q的可乘函数。设q=q1q2,(q1，q2)=1，则

B(n，q1q2)=

(16)

因为(q1，q2)=1，则

Ci(q1q2，a1q2+a2q1)=

Ci(q1，a1)Ci(q2，a2)

(17)

把式(17)代入式(16)，得

引理14设A(n，q)如式(6)所示，则

2) 存在绝对正常数c*>0，对于任意的正奇数n，有

S(n)≥c*>0

证明由引理12，B(n，q)是关于q的可乘函数。则

(18)

(19)

式中：

记R(p，a)：=C3(p，a)Ck(p，a)-S3(p，a)Sk(p，a)，则

(20)

(21)

另外，若直接运用引理4，则

因此,

(22)

令c3=max(c2，48k)，则对于无平方因子的q，

(23)

因此，由式(19)可得

则引理14中1)成立。并且由式(23)可得

(24)