从“平均分”的进阶中看数感的形成与发展
2022-01-08檀钱胜
檀钱胜
摘要:小学阶段是学生数感形成和发展的关键时期。“数感”的培养不像知识与技能那样较为系统,作为一种直觉和感悟,建立数感要依托于具体的内容。计算贯穿于整个小学的数学学习,因此提供了很多培养数感的生长点,本文将围绕平均分与除法的联系,结合整数、小数和分数除法的学习过程,挖掘除法运算中培养学生数感的途径。
關键词:数感 平均分 除法 小学数学
中图分类号:G4 文献标识码:A
在核心素养中,数感是最重要的能力之一,其主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟[1]。作为一种感悟,数感的建立需要有效的载体,这与除法运算的教学过程不谋而合,丰富的内容和形式有助于数感的培养。接下来笔者将以北师大版数学教材内容为主线,以除法的学习脉络为载体,借助对平均分的理解阐述在除法学习中数感的形成与发展。
一、除法学习的几个重要阶段
1.从分物游戏到整数除法
小学数学的学习起点大多基于生活已有的认知经验。学生在课堂中通过分物游戏,实际体验了“分”的过程,建立“平均分”与除法的联系,逐步从平均分的角度认识除法及除法意义。这是一个从直观到抽象的思维发展过程,是学生数感发展的重要载体。
有了初步感知,学生进一步学习“有余数的除法”、“多位数的除法”等知识,并建立除法横式、竖式、直观图等之间的联系。学生逐渐地脱离具体的数量,只从“数字”的角度进行运算并学会解释每一步的含义。例如当学生面对154÷22时,可以把154盆牡丹花平均分成22份,也可以把154看做154元、154人、154厘米……,不管154代表什么,对应的数量关系并没有发生变化。而在计算某一类型的题目时,数感在孩子们选择最佳解题方法的过程中起着至关重要的作用[2],例如计算154÷22时,学生需要先估算试商,再调商,此时学生会得到运算结果估计等方面的理解与感悟。
2、从整数除法到小数除法
纵观从整数除法到小数除法的学习,这是一个联系紧密,正向迁移的过程。例如在教学12.6÷6时,学生能列好竖式,得出结果2.1,只需提醒把商的小数点和被除数的小数点对齐。而通过借助元角分的对应关系和小数意义对运算过程进行解读,其实是把12.6分成了“12个1”和“6个0.1”,分别除以6后再相加,其中真正与小数相关的就是把6个0.1平均分成6份,每份是0.1。后面的学习中,不管是“商中补0”,还是“除数是小数”的情况,本质还是从整数计数单位向小数计数单位的延伸。对小数意义的丰富和理解过程就是学生数感发展的重要节点。
3、从整数除法到分数除法
在正式学习分数除法之前,学生对分数除法的思维起点主要是分数的意义,在把一(多)个整体平均若干份的学习体验中,建立分数与除法的联系。而在学生的认知经验里,平均分的对象大都是一个整体,现在需要对“部分”进行“平均分”,这是对学生理解的一次冲击,也是对学生数感形成与发展的一次挑战。
例如尝试计算4,时,在学生的固化印象里,单纯从算法“除以一个不为零的数等于乘它的倒数”来看并不难,但对于分数的“均分”,学生在理解上有很大困惑.怎么引导学生走出这样的认知困境,达到认知和实践相统一的状态。我想答案还是在“平均分”的过程中,比如,我们可以认为是把“平均分成份,每份是多少”或者“以为一份,看里有多少份”,归结起来就是“里有多少个”。此时可以通过画线段图表达, 把变成,就是看“里有多少个”如果这两个分数同时乘8,就是看“6里面有多少个5”的问题,再次回到分数的意义,通过分数与除法的联系,得出6÷5=,这与的运算结果是一致的。
二、从数发展的角度看除法
1.整数、小数和分数之间的联系
小数和分数的产生都是对“不完整”需求的表达,它们与整数之间联系紧密,例如,整数除法构建了分数与小数之间的联系,分数和小数既能表示结果也能表示两个量之间的关系。如果把,2÷5,0.4都再平均分成两份,得到,1÷5,0.2,再平均分成两份,得到,1÷10,0.1,继续分,得到,1÷20,0.05…在这个过程中,它们始终有着相等关系。
2.代数中的除法
学生学习了用字母表示数与数量关系,从此就从算术思维衔接到代数思维。根据分数与除法的转化:这是一个高度概括的除法模型。
三、结论
“数的运算”过程常常是小学生巩固、发展数感的过程[3]。借助平均分的直观演示和反复运算的过程,既可以帮助学生更好地理解除法的意义,丰富对数的认识,也能有效促进学生数感的形成和发展。“数感”作为一种直觉、直观的感受,除了除法运算,还有更多的生长点值得探索和深思。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2012:3-12.
[2]朱莉娅·安吉莱瑞, 安吉莱瑞, 徐文彬. 如何培养学习的数感[M]. 北京:北京师范大学出版社, 2007:80-81.
[3]曹培英. 跨越断层,走出误区:“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M]. 上海:上海教育出版社, 2017:11-13.