复杂系统等效激励谱反演方法研究

2022-01-04王敏庆廖达雄

振动与冲击 2021年24期

王帅，王敏庆，廖达雄，雷雨

(1.西北工业大学航海学院，西安 710072；2.西北工业大学深圳研究院，广东深圳 518057；3.中国空气动力研究与发展中心，四川绵阳 621000)

准确获取激励特性是开展结构振动特性分析、振动噪声分析和噪声环境预示等工作的重要基础。在实际工程中，由于结构复杂、试验实施条件有限、试验测试误差等原因，较难直接测量激励源特性。因此，开展对结构受激励载荷的识别，成为国内外学者研究热点问题之一。

结构激励载荷识别作为动力学分析的逆问题，研究方法目前主要分为频域法[1-2]与时域法[3]。Nord等[4]利用频域法对冰载荷进行识别，对比了试验实测数据，为冰结构的动力学特性的研究提供了新的视角。Sarvestan等[5]建立了频域内的谱有限元模型用于黏弹性梁的载荷分析，与传统有限元法相比大幅减小了网格数量、提高了计算效率。Liu等[6]提出了一种作用在随机结构上的动荷载的识别方法，通过将Gegenbauer多项式展开理论和正则化方法相结合，将随机结构的载荷识别问题转化为等效确定性系统，对动荷载的统计特性做出了准确估计。Liu等[7]还提出了一种时空耦合分布载荷的稀疏辨识法，基于本征正交分解表示了一系列具有独立时程函数和空间分布函数的解耦方程，利用盲源分离技术和正交匹配追踪算法完成了时程函数的获取和分布函数的稀疏识别，实现了分布动荷载相对于集中动载荷的等效。上述研究丰富了荷载的识别和评估的手段,在一定程度上解决了简单结构的低频载荷识别问题，但对于复杂系统的中高频载荷识别还存在困难。究其原因，主要是结构高频动力学特性复杂、模态密集、耦合程度高、较难精确建立高频动力学模型。同时，复杂系统由多种结构子系统和声空间子系统组成，受结构形式、尺寸、连接方式、材料特性、生产工艺等因素不稳定性的影响，其高阶模态参数变化敏感，存在较大的不确定性。

统计能量分析(statistical energy analysis, SEA)理论是解决复杂系统中高频动力学问题的有效方法[8]。通过对所要分析的系统建立SEA模型，确认SEA参数，建立能量平衡方程，完成各系统的能量响应计算，进而转换成所需的振动级、声压级、应力等动力学参数。SEA将振动能量作为描述振动的基本参数，利用功率流平衡方程描述耦合子系统间的相互作用关系。SEA采用了统计模态的概念，计算过程无需研究各模态细节，使对于系统的描述和分析得到简化，但同时SEA的应用对所考虑的频带范围内模态数量有一定要求，因此SEA更适用于中高频的动力学计算。

因此，利用SEA中高频计算快速、准确的优势，开展载荷识别成为了一个新的研究方向[9-11]。雷烨等[12]从实际工程出发，提出了一种缩减的功率流平衡方程与富余数据利用法，分析了载荷功率与能量响应的关系，提高了统计能量分析理论计算的准确性，并开展结构载荷识别理论的初步研究。谢琼等[13]基于高频载荷识别的统计能量分析法，对多子系统受激情况下的输入功率识别展开了研究，为结构高频载荷识别提供理论参考。毛伯永等[14]基于瞬态统计能量分析理论分析了冲击载荷作用位置及相应的输入能量，为冲击载荷的识别研究提供依据。上述研究为激励载荷识别的统计能量分析方法奠定了基础，但离实际工程应用仍有一段距离。

工程实践中，往往难以准确获取激励处能量响应，而受激子系统的能量响应准确获取直接制约着激励载荷识别的精准度。同时，上述研究无论单激励还是多激励工况的载荷识别，其对于受激子系统划分精度均有一定要求，这也在一定程度上限制了载荷识别的统计能量分析技术的发展。因此，考虑到现有技术方法较难准确获取复杂系统激励处能量，且受激子系统划分准确性不足的现状，本文基于统计能量分析理论，利用相干性分析法与遗传算法应用特点及优势，提出复杂系统等效激励谱反演法。

目前，偏相干分析法在噪声源识别问题上已具备研究基础[15]，可对结构各部件之间的传递和相互影响关系开展分析[16]。遗传算法作为一种基于生物界规律和自然遗传机制的并行搜索算法，也是目前求解优化问题最有效的方法之一。近年来随着遗传算法的发展，其在工程设计优化领域得到广泛应用[17-18]。

本文所提出的复杂系统等效激励谱反演法首先利用偏相干分析法对子系统划分进行优化，进而建立统计能量分析模型，提出子系统间的能量传递导纳，分析输入能量与响应部分输出能量间的关系，并以此为基础利用遗传算法快速全局搜索优化的优势，对等效激励谱反演进行寻优计算。

1 问题描述

合理的子系统划分与激励载荷的准确获取直接影响统计能量分析的准确性。在实际工程中，激励源载荷往往无法准确测量，通常简单地将接近振动源区域的振动响应视为受激子系统能量，代入统计功率流能量平衡方程开展计算。事实上，这种简单处理可能带来较大误差。圆柱壳振动响应图谱如图1所示。计算显示激励源(箭头处)与附近区域的振动响应相差较大，直接利用近源区域响应作为激励载荷会导致较大的输入能量计算误差。将近源区域作为特殊部位从受激子系统中剥离，细化受激子系统与非受激子系统对解决此问题具有一定的理论合理性。但实践中发现，受激子系统往往较难细化，受到测点布置数量和空间布局的限制，细化后受激区往往面临着没有振动响应数据的现状。

图1 圆柱壳振动响应图谱

为解决上述问题，本文提出了复杂系统等效激励谱反演法，旨在反演出受激子系统的动等效激励，以表征整个系统能量输入，降低子系统划分与振动能量响应测量所带来的影响，提高激励谱获取的准确性。

2 复杂系统等效激励谱反演法

复杂系统等效激励谱反演法，如图2所示。从统计能量分析理论出发，首先构建复杂系统耦合模型，根据试验测得的子系统能量响应与远场声功率级，利用偏相干分析方法建立输入振动测点到输出声场之间的偏相干分析模型，判断动激励输入能量及作用位置，优化子系统划分。进一步，利用统计功率流能量平衡方程获取剩余子系统的能量响应，在此基础上建立子系统间的能量传递导纳与等效激励谱反演的目标函数，并利用遗传算法对目标函数进行寻优求解，最终实现等效激励谱反演。

图2 等效激励谱反演基本方法

需要说明的是，统计能量分析理论中的能量是子系统上的平均能量，因此，本方法所反演的等效激励谱的作用位置并非结构上的具体点，而是等效激励谱所作用下的受激子系统。

2.1 统计功率流能量平衡方程

统计能量法的基本思想是将复杂系统划分成不同的模态群，并从统计的角度把大系统分解成若干个便于分析的独立子系统。利用振动能量描述各个子系统的特性，能量通过惯性元与弹性元进行储存，经阻尼元进行耗散，通过耦合在各个子系统间进行传递。基于各子系统间的能量流动关系，推导出统计能量功率流平衡方程，进而获取各子系统的振动响应及振动声辐射。对于包含n个子系统耦合结构而言，各子系统遵循能量守恒原理，每个子系统输入功率和输出功率保持平衡

(1)

式中：Pi，Ei，ηi分别为结构第i个子系统平均输入功率、时空均方响应能量和系统的内损耗因子；ηij为第i、第j个子系统间的耦合损耗因子；ω为分析频段的中心频率。在实际工程中，由于时空均方响应能量不能直接测量，通常将能量转换成加速度、位移、速度等工程设计上常用的响应变量。通过下面的式子可分别换算得到结构子系统的平均速度响应、平均加速度响应与时空均方响应能量的关系。

(2)

(3)

式中：ai，vi，Mi分别为结构第i个子系统振动加速度、速度、质量。

2.2 偏相干分析

对于一个多输入单输出的系统，当各个输入源之间互相影响时，可利用偏相干方法对各个输入源与输出信号之间的相关性进行评估。建立一个多输入单输出的线性系统，输入信号X1，X2·1，…,Xq·(q-1)和输出信号Y组成的多输入单输出系统条件分析模型，如图3所示。图3中：下标i·(i-1)!为去掉前i-1个输入的线性影响之后的第i个条件输入；Lqy为最优条件输入函数，联系了输入Xi·(i-1)和输出Y，其所确定的系统输入信号互不独立，且外界噪声功率谱Gnn最小。最优条件输入函数可写成[19]

图3 多输入单输出系统条件分析模型

(4)

多输入单输出系统偏相干函数可定义为条件互谱与对应条件自谱之比

(5)

基于此可利用实测声辐射数据确定对噪声量值影响大的振动测点，以实现在无法获得激励源信息条件下确定SEA模型中受激子系统范围和加载情况。

2.3 能量传递导纳

对于具有n个子系统的耦合模型，式(6)给出的是子系统1、子系统2、…、子系统r受激时系统功率流平衡方程矩阵形式。假设受激子系统振动响应已知，即响应列向量中E1,…,Er已知，但相应输入功率P1,…,Pr未知。子系统r+1,…,n为非直接受激结构，其振动响应未知，且对应输入功率为零。

(6)

式(6)中联立后n-r个方程即可剥离受激位置输入功率P1,…,Pr未知参数，进而直接建立受激子系统能量与非受激子系统能量之间的关系，给出具体表达式为

(7)

再经分离、变形后得到非受激子系统能量响应与受激子系统能量响应之间的如下关系

(8)

若限定整体结构只有一个受激子系统i，那么任意非受激子系统k的能量响应为

(9)

式中，Hk,i为H中的某一元素，Hk,i为受激子系统i对应指定非受激子系统k的能量传递导纳，导纳计算公式为

(10)

由式(8)可知，H实际是整个系统的能量传递导纳矩阵。上式表明，子系统间的能量传递导纳只与受激部分输入能量和响应部分输出能量有关。当整体耦合系统确定时，各个部分的质量也随之确定，那么能量传递导纳只与系统的振动响应有关。

2.4 遗传算法的应用

在众多寻优计算方法中，遗传算法具有可避免陷入局部最优、防治未成熟收敛、求解效率高、收敛速度快等优点。实际工程中经常会遇到多变量、多极值、多约束条件的最优化问题，利用遗传算法可以快速搜索到满足精度要求的结果。因此，本文将遗传算法应用于复杂系统等效激励谱反演方法中。

等效激励谱反演的优化设计不但应考虑复杂系统实际受激情况，而且还必须满足响应子系统参数的约束，因此这是一个受多个约束条件限制的多目标优化问题，具体形式可以表述为

(11)

式中，x,y,z分别为不同约束条件。

基于2.3节能量传递导纳的推导，可以直接建立受激系统与非受激系统间振动传递关系。针对单个受激与响应子系统，建立动等效激励谱反演优化表达式为

f(Ex(ω))=(HxEx(ω)-E′)2

(12)

式中：Hx为受激与响应之间的能量传递导纳；E′为实测振动数据；Ex为需要优化的激励能量谱。

要使式(12)在各频点下的值最小，只需要对其求一阶导并令导数等于零即可求得相应极值点。而激励设备工作时的受激子系统不止一个，响应子系统依据振动测点而来，其数量远比受激子系统多，将每一个受激子系统与响应子系统对应起来，结合式(10)即可形成方程组，方程组中的未知变量为每一个受激子系统的激励能量谱。

当响应个数与激励个数相等时，可利用最小二乘法计算外界激励大小。但实际工程中结构振动响应个数与外界激励源个数常相差较大。因此，本方法的优化计算选用了遗传算法。遗传算法具有多目标优化特性，当响应子系统的数量远比受激数目多，且充分考虑各振动测试数据，建立子系统间的能量传递导纳与等效激励谱反演的目标函数时，依据优化参数超定方程组的最优解可实现对受激子系统激励谱的准确反演，减小因个别测点数据测试不准带来的误差，进而提高复杂耦合结构的噪声预报精度。所建立的方程组为超定方程组，其表达式可以写成

r(x)=[f1,f2,f3,…,fn]T

(13)

式中：变量x=[x1,x2,…,xm]，m为受激子系统数目；n为响应子系统数目。fi(x)具有以下形式

fi(x)=fi(x1,x2,…,xm)i=1,2,…,n

(14)

由此，可以建立优化目标函数表达式为

(15)

式(15)中的等效激励谱反演相当于求解非线性最小二乘解。利用遗传优化算法的迭代计算可使目标函数中的未知参数达到最小值，即为等效激励谱反演结果。

3 计算实例

本文以双层圆柱壳复杂耦合系统为研究对象，利用本文所提的方法，对其等效激励谱进行反演，之后利用所反演的等效激励谱开展振动声辐射计算。双层圆柱壳复杂系统的远场辐射声功率计算公式为

W=ρ0cSσrad

(16)

式中：S为表面辐射面积；ρ0，c分别为流体介质的密度和声速；为与流场接触的子系统振动速度平方的时间平均值，可由式(3)求解得到；σrad为子系统向外界空间的辐射效率。

基于式(16)中子系统振动速度与辐射声功率所建立的关系，将激励反演前后的辐射声功率与试验测试的结果进行比对，验证所提出的复杂系统等效激励谱反演方法的准确性与可行性。

3.1 计算模型

双层圆柱壳耦合结构如图4所示。根据统计能量分析理论与建模基本原则，建立了双层圆柱壳结构的SEA模型如图5所示。

图4双层圆柱壳横剖面模型

图5 双层圆柱壳结构的SEA模型

依据相似模态振型群划分原则，结合双层圆柱壳结构特点及动力学边界条件，子系统划分为端板、外壳、内壳、隔板、声空腔，并且沿轴向分为两段。同时，在子系统划分基础上，依据各子系统属性及彼此的连接形式，利用耦合损耗因子的计算公式和试验测试法[20]，获取各子系统间的耦合损耗因子，表征各子系统连接处的能量损耗，以保证双层圆柱壳结构各子系统的能量向外流场传递。

双层圆柱壳结构材料及相关属性如表1所示。其中，钢质结构密度为7 800 kg/m3，杨氏模量为2.1×1011Pa，泊松比为0.31。空气介质密度为1.21 kg/m3，声速为343 m/s。流体介质密度为1 000 kg/m3，声速为1 481 m/s。

表1 双层圆柱壳结构材料属性

3.2 基于偏相干分析法的受激子系统划分

为获取充分且有效的试验数据，在双层圆柱壳内壳表面布置了多个加速度传感器，传感器布置分左右两侧，上下两层布置，传感器编号为奇数的布置在上层，传感器编号为偶数的布置在下层，其中A舱段布置共18个，B舱段布置共12个。各个测点位置分布如图6所示。

图6 内壳表面加速度传感器测点位置示意图

试验测试中，激励设备安装在A舱段的设备基座上，由于设备基座与内壳相连接，当激励设备运行时，激励设备通过设备基座对双层圆柱壳内壳施加分布载荷。根据激励设备安装位置，初步判断可能对声场产生较大影响的测点，确定激励设备附近的4号、6号、14号、16号、18号、27号6个测点为研究对象，建立一个六输入单输出的偏相干分析模型。

为简化分析过程，偏相干函数计算200 Hz以下频率范围的数值。测量得到的辐射噪声频谱曲线200 Hz以下频率范围内主要包含4个主要峰值频率，分别是39 Hz，88 Hz，138 Hz和187 Hz。在这4个频率附近，声辐射量值较大，相应地对总声功率贡献也就比较高。因此主要考察这4个频率处的偏相干函数值，以此为基准对能够近似表征激励源特征的有效测点进行筛选，进而划分受激子系统。对6个振动测点数据与声场信号进行偏相干分析，结果如表2所示。

表2 主要频率处偏相干函数

各测点偏相干函数值对比可知，测点14、测点16和测点18的数值普遍较大，尤其是测点14在88 Hz处的值高达0.38，体现出较强的相关性。以88 Hz为例，偏相干函数值由大到小依次为测点14>测点18>测点16>测点27>测点6>测点4。线性叠加值为6个测点的偏相干函数值之和，其值普遍接近1表明选取的6个测点建立的偏相干分析模型是完备的，不存在漏选测点导致输入输出模型不完整的现象。

综合各个频率处的计算数值，利用偏相干函数值大小可确定测点14、测点16和测点18所在区域为受激励源直接影响的区域，依照测点所在位置细化受激子系统后，在统计能量分析模型中确定了受激子系统的个数及分布，本文计算实例的受激子系统为图6中虚线线框区域。在这个区域范围内，由激励源产生的机械振动通过各种传递路径直接引起壳体结构振动进而向周围传递。

3.3 等效激励谱反演计算

同一工况下壳体受激部位周围振动水平基本一致，因此为降低算法复杂度，将所有受激子结构振动加速度参数设置为同一范围，介于0～0.05 m/s2。本文采用二进制方式编码，由于振动加速度数值较小，且灵敏度高，很小范围内的变化会引起声辐射数据产生很大差异，为保证计算准确性，本文取值精度为10-9，对应二进制位长是27位。运行参数如表3所示。

表3 遗传算法运行参数

本文所建立的适应度函数由目标函数式(15)变形而来，本算例中适应度函数可评估等效激励谱反演数据的好坏，与实际情况更为接近的适应度较大，即认为是可靠数据，与实际情况差异较大的适应度小，即为错误数据。目标函数即为求解最小值问题，所以采用如式(17)所示的适应度函数

(17)

基于上述方法编写程序对内壳激励谱数据进行反演，随机选取内壳上若干个响应子系统测点数据对实际受激部位开展计算，计算收敛曲线如图7所示。

图7 激励源计算收敛曲线

图7分别给出反演激励在200 Hz，250 Hz，315 Hz等1/3倍频程中心频率下的迭代进化曲线。可以看出，迭代次数超过80次后计算已经收敛，遗传至100代时结果稳定。

采用复杂系统等效激励谱反演方法对圆柱壳所受激励谱进行了反演。依据所建立的双层圆柱壳SEA模型、偏相干分析法划分的受激子系统、能量传递导纳、等效激励谱反演的目标函数和遗传算法完成了等效激励谱反演。双层圆柱壳激励谱反演与近源测量的加速度级对比结果，如图8所示。

由图8可知，反演的激励谱在200～6 300 Hz频段内加速度级较近源测量加速度级有所增大，在500 Hz与630 Hz处反演后的加速度级增大明显，除1 kHz处反演激励谱加速度级较近源测量加速度级略有下降以外，在1 200～6 300 Hz频段内，反演激励谱加速度级较近源测量加速度级均有所增大，且随着频率升高，差距有所增大。

图8 加速度级对比结果(参考加速度：10-6 m/s2)

3.4 试验验证

为验证本文所提出的复杂系统等效激励谱反演方法的准确性和工程适用性，首先开展了双层圆柱壳的声辐射试验测试，利用行吊将双层圆柱壳固定于水下指定位置，壳体中线距离水面20 m。试验测试系统由水听器阵列、多通道分析仪、测控计算机组成，信噪比满足10 dB，采用六面体包络面场点分布进行声压拾取，换算得到辐射声功率级。试验测试系统如图9所示。

图9 试验测试系统示意图

将反演后的等效激励谱作为激励数据，加载到双层圆柱壳远场声辐射计算模型中，获得了200～6 300 Hz频段内的声功率级，与试验测量声功率级、近源测量激励下的声功率级进行比对。结果如图10所示。

图10 声功率级预报对比结果

通过对比三者数据后发现：等效激励谱反演下计算的声功率级与试验测试声功率级在200～6 300 Hz频段内频谱曲线趋势较为一致，声功率级的幅值较为接近；而近源测量激励下计算的声功率级与试验测试声功率级在200～6 300 Hz频段内频谱曲线趋势相比存在一定差异，在低频段315 Hz，500 Hz，630 Hz处的声功率级差距明显，在1 000～6 300 Hz频段内较试验测试声功率级整体偏低。判断是由于近源测量振动响应无法表征实际激励载荷，二者无论从能量还是频谱特性相比，均存在一定差异。进一步证明了，本文所提出的方法可弥补将近源振动响应视为受激子系统能量这一现有技术方法的不足。

三者的声功率级对比，可明显看出等效激励谱反演下计算的声功率级与试验测试声功率级无论从频谱趋势还是能量大小，其一致性均较好，与近源测量激励下计算的声功率级相比，声功率计算精度得到了明显提高。

为进一步说明本文所提出的复杂系统等效激励谱反演方法的有效性和适用性下，图11给出了近源测量声辐射计算误差与等效激励谱反演下声辐射计算误差的对比曲线。