基于李雅普诺夫和相平面图的车辆失稳机理研究

陈 赟， 陈 勇， 阙瑞义， 么鸣涛， 管继富， 王旭鹏

(1中国南方工业研究院，北京102209;2北京理工大学 机械与车辆学院，北京 100081)

为了研究车辆在极限工况下的失稳机理，基于车辆当前状态或者预估状态进行车辆稳定性分析是十分必要的[1-3].基于李雅普诺夫稳定性理论研究系统平衡点处的稳定性，从而获得车辆的局部稳定点.在不同初始状态无控制输入情况下，获得状态变化相平面图轨迹，进而分析车辆平衡点处的局部稳定性[4-5]是稳定性控制的重要依据.基于轮胎非线性动力学模型，利用相平面图对车辆运动状态进行可视化.判定车辆稳定性常用的两种相平面图[6-7]分别为：质心侧偏角-质心侧偏角速度相平面图和质心侧偏角-横摆角速度相平面图.Inagaki和Hoffman等[8-9]基于实车测试绘制了质心侧偏角-质心侧偏角速度不同稳态转向条件下的相平面轨迹，从而获得了稳定性界限.Inagaki提出的稳定性分析结合了平衡点几乎都在质心、侧偏角速度为零的工况.随着高精度组合测试技术的发展，横摆角速度、质心侧偏角可以通过车载传感器直接获得.质心侧偏角-横摆角速度相平面图作为车辆稳定性判断依据广泛应用到车辆稳定性分析中.

Gerdes等[10]证明了质心侧偏角-横摆角速度相平面图鞍点(the saddle points)是引起车辆失稳的本质，并指出鞍点是由于车辆轮胎侧向力饱和引起.根据平衡点的位置可以区分出稳定性区域和非稳定性区域.在质心侧偏角-横摆角速度相平面图的基础上，划分了平行四边形稳定性区域，上下边界是由路面附着和车速条件下的最大横摆角速度决定，左右边界则由轮侧偏角保持在非线性边界和线性边界的约束决定.Klomp等[11]将基于相平面图分析的稳定性边界用于车辆电子控制系统和主动转向控制系统.Gerdes等[12]通过由最大稳态转向角确定的横摆角加速度零点的最大和最小后轮侧偏角进一步扩展了稳定性区域，实现了横摆角速度超调不稳定的控制.

文中首先介绍带有非线性轮胎模型的车辆动力学模型，然后，基于现代控制理论求解车辆非线性系统的平衡点，并基于李雅普诺夫第一法分析平衡点的稳定性，最后，分析不同车速和前轮转角下初始状态的相轨迹变化，从而得到车辆的稳定性区域和非稳定性区域.

1 非线性车辆动力学模型

基于车辆二自由度单轨模型，如图1所示，利用质心侧偏角-横摆角速度相平面图分析稳态转向下车辆的稳定性.假设车辆具有恒定车速且考虑轮胎非线性特性，则考虑横摆和侧向运动的二自由度车辆模型可由如下微分方程描述.

图1 车辆二自由度模型

(1)

(2)

式中：m表示车辆的质量；Izz为横摆转动惯量；lf和lr分别是前轮到车辆质心的距离和后轮到质心的距离；u,β,r分别为车辆纵向速度、质心侧偏角和横摆角速度；Fyf和Fyr分别为前轮和后轮胎侧向力.

(1)、(2)两式的状态空间形式为

(3)

Fy=Tire(α,Fz,u,μ),

(4)

式中：Tire(·)为Fiala轮胎模型；Fy为车辆轮胎侧向力；Fz为轮胎垂向力；α为轮胎侧偏角；μ为路面附着系数.

前轮侧偏角αf和后轮侧偏角αr可由轮胎运动状态获得.

(5)

(6)

式中：δf为前轮转角.

忽略左右轮之间的载荷转移,则轮胎垂向载荷可由如下公式得到.

(7)

(8)

因此，所研究的车辆非线性状态方程为

(9)

2 车辆系统平衡点分析

假设非线性系统的平衡状态为xeq，则需要满足

f(xeq,δf,u,μ,t)=0.

(10)

即通过以下方程获取车辆平衡状态，

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：上标eq表示各个状态量的平衡态.

利用以上方程求解在不同车速、前轮转角和路面附着系数下的车辆平衡状态.

平衡状态的稳定性问题，即平衡点处的稳定性问题，是现代控制理论中一个重要的分支.对于线性系统来说，一般平衡点只有一个，所以，平衡点处的稳定性问题也就是线性系统的稳定性问题.但是，非线性系统可能存在多个平衡点，不同的平衡点表现出不同的稳定性，因此，分析各个平衡点的稳定性是必要的.基于李雅普诺夫第一法判断系统在不同平衡点处的稳定性，即通过非线性系统的状态方程的数值解判断其稳定性.

为了讨论非线性系统在平衡点xeq处的稳定性，将非线性矢量函数f(x,δf,u,μ,t)在平衡点xeq临域内进行一阶泰勒展开.

(15)

设Δx=x-xeq，对非线性系统线性化可得到

(16)

基于非线性系统稳定性判定依据，通过一次逼近，将平衡点处的雅克比矩阵可以近似为

(17)

矩阵A0的特征方程为

s2+ps+q=0，

(18)

从以上公式计算平衡点处的p和q，由公式(18)可知，p始终是正值.平衡点处的稳定性仅有q的稳定性决定.随着质心侧偏角变大，q由正值变为负值，使得平衡点出现不稳定.当q<0时，有下列关系式成立.

(19)

由李雅普诺夫第一稳定性可知，如果一个系统平衡点处的雅克比矩阵的所有特征值都具有负实部，则系统在该平衡点处是渐进稳定的.如果一个平衡点的雅克比矩阵的特征值中至少有一个具有正实部，非线性系统平衡状态是不稳定的.

3 车辆系统相平面图

图2(a)-(d)表示了车辆速度为10 m/s，路面附着系数为0.55，不同前轮转向角度下车辆的平衡状态.图中有两类平衡点，记作第一类平衡点和第二类平衡点.它们分别用五角星和菱形表示：五角星表示了第一类平衡点，即稳定平衡状态；菱形表示第二类平衡点，即非稳定平衡点.质心侧偏角随着车轮转角增大而增大，但是前轮胎侧向力和后轮胎侧向力在第一类平衡点没有饱和，因为平衡点处的轮胎侧向力没有超出轮胎摩擦极限，平衡点对应于正常转向下的稳定状态.当后轮胎侧向力饱和，并且在这些平衡点处是常数，前轮侧向力与后轮侧向力成比例增大，从而也达到了饱和状态.如果转向角继续增加，质心侧偏角急剧增大，横摆角速度达到极限值，这是由于侧向轮胎力饱和导致发生侧滑，而无法提供足够大的侧向力.

图2 质心侧偏角-横摆角速度相平面图的平衡点

非线性系统不同于线性系统，它的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，还与系统的初始条件和外界扰动有关.因此，给定不同的初始条件，在无控制输入下，基于李雅普诺夫方法分析车辆非线性系统稳定性.通过给定初始条件，结合平衡点区分车辆的稳定性区域和非稳定性区域.

作为非线性系统包络控制的依据，质心侧偏角-横摆角速度相平面图是车辆动力学稳定性控制研究重要内容.车辆纵向速度和车轮转角对质心侧偏角-横摆角速度相平面图有着非常重要的影响，通过在给定初始条件下，研究车辆纵向速度和车轮转角对质心侧偏角-横摆角速度相平面图的影响.

图3(a)-(d)表示了在无车轮转角情况下，车辆纵向速度对质心侧偏角-横摆角速度相平面图的影响.两类平衡点同图2保持一致，用五角星和菱形表示.随着车速的增加，两个不稳定平衡点(unstable saddle points)逐渐移动，距离变小，稳定性区域也同时变小.稳定点stable point始终在坐标原点，方向盘转角为零，表明车辆处于直线行驶工况.

图3 无车轮转角下车辆纵向速度对质心侧偏角-横摆角速度相平面图

车轮转角为零时，稳定性平衡点刚好在原点，车辆能够从初始状态沿着一定的轨迹收敛到渐进稳定平衡状态.

图4(a)-(d)表示了车速为10 m/s时的相平面图.给定一定的方向盘转角，稳定点的位置并不在原点，并且两个不稳定平衡状态与平衡状态的距离也不同，随着车轮转角的增大，其中一个不稳定点向稳定点移动.当车轮转角为10°时，两个平衡状态结合成一个，并且在车轮转角为15°时，稳定性平衡点消失.在车轮转角为15°，车辆从任意初始状态都变得不稳定.图4(a)和(d)表明在车轮转向相同，方向不同时，相平面图的平衡状态具有对称性.

图4 车速为10 m/s时,不同前轮转角下的质心侧偏角-横摆角速度相平面图

4 结 论

基于质心侧偏角-横摆角速度相平面图进行车轮稳定性分析，为车辆稳定性控制提供了一个切实可行并且快速判断的方法.当通过传感器或者非线性状态观测车辆状态超出稳定的包络范围时，利用非线性控制方法对车辆施加主动控制防止车辆失稳，提高车辆主动安全性能.

分析结果表明：当车轮转向角小于分叉点对应的角度时，车辆状态沿着图中的实线移动，即车辆能够很好地执行驾驶意图；当车轮转向角大于分叉点对应的角度，稳定平衡点消失，车辆状态发散.在无控制情况下，则不能获得比分叉点处的稳定横摆角速度更大的横摆角速度.