“大概念”视角下数学新概念教学说课的实践与思考*——以“复数的三角表示”为例

江苏省苏州市太仓市明德高级中学(215400) 江海华

受课堂时间及学生知识储备(缺乏整体观)的限制,教师很难在课堂中完整的展现知识发生、发展、形成的真实过程和知识概念间的横纵联系,必然会造成教师在课堂中“不会说,不宜说,不敢说”的尴尬局面,说课就是为了突破这一局限而产生的教研改革手段.需要指出的是,数学新概念教学说课不同于其他类型的说课,它考验教师对本学科知识脉络的认知水平,更能展现教师在教授新知识过程中突破重难点背后不易发觉的小心思(思考与设计).虽然说教无定法,但是,数学新概念说课需要以“理”引领,富有数学味道,绝非单纯的教授课本中正确的知识概念,而需把主要精力放在突破概念发生、发展、形成的关键节点之上,使其教学更加生动、自然、饶有趣味,让最终的课堂教学成果不再是繁杂的知识片段和拼凑的零碎概念,使学生能够自主构建完整的知识结构,理解最本质的规律方法.虽然科学是基于事实的,正确讲授也是必要的,但是缺乏逻辑关联的事实的堆积并不是科学.因此,本文提出围绕数学学科“大概念”来引领设计、用“学研一体化”来指向教学,克服传统“讲学练”的教学模式引发的一系列弊端,将数学教学真正纳入培养学生理性思维与科学精神的育人框架之中,说课考验的是教师对数学课程内容的教学表达能力,亦即弗赖登塔尔所指的“数学教育是数学的再创造”.

1 关于本课题的几点思考

“复数的三角表示”虽然在新课标中不做考试要求,但是却作为比赛(说课)的课题值得深思.一方面,复数的引入是数系扩充过程中纯粹创造性的理论,不仅具有数学的发现和创造过程的典型性,而且也是数学从内部需求出发逐步完善发展成一套完备的科学体系的典型课例[1];另一方面,仅靠按照“所谓的规则”来做几个计算题并不能让学生理解思维理性在数学创造中的巨大威力.复数的乘法是复数这一章节的精髓,也是复数作为工具的有效实践.而“复数的三角表示”这一课题正是挖掘复数乘法本质的关键课例,对提升学生的思维品质具有不可取代的作用.从这一角度来说,今后高考在复数这一知识点上的考察方向很大程度上会以此为转移.

虽然《课标(2017 年版)》将复数的三角表示定位为选学内容,高考中也仅考察复数的四则运算及一些简单的几何意义,但是在课时设置上却和必修内容要求一致.原因无外乎有二: 一方面,复数的三角表示沟通起了复数、向量和三角函数的联系,另一方面,在简化某些复数乘法、除法运算上提供了可能.更重要的是,它是发掘复数乘法几何意义的关键要素.因此,笔者认为,教学中应加强引导学生发现复数与代数、向量、代数与几何的联系,而不是在复数的两种表示形式的互化上反复的机械操作,应该要在“为什么要将复数的代数形式表示成三角形式? ”的问题探究中实现直观想象、逻辑推理和数学运算素养等方面真正的提升.基于上述的分析与思考,本节课笔者首先指出: 在研究判别式小于的实系数一元二次方程根的存在性问题时,一个自然的想法是,能否像引入无理数一样把有理数集扩充到实数集,通过引入新的数而使实数集得到扩充,从而使得方程在更大的数系中有解,复数概念的引入与这种想法有直接关系.

如: 为解决x2+1=0 这样的方程在实数范围内无解的问题.数学家设想引入一个新数i,使得x=i 是方程x2+1=0 的解.当然,数系扩充并非往原数集中添加几个数那么简单.我们还希望加入的数与实数之间仍能像实数那样进行加法和乘法运算,即: 使得新数集也具有较好的代数结构.在问题与质疑声中,数学家在这个复数集上定义了新的四则运算法则.尽管从几何视角看,复数的加法与减法法则与平面向量的加减法有十分紧密的联系,但大家普遍认为虚有其表,没什么价值.特别是对类似多项式乘法的复数乘法法则表示怀疑,认为这仅仅是一种形式上的运算,属于智力过剩的表现.

基于上述分析,“复数的三角表示”这堂课的逻辑起点就找到了: 复数乘法的几何意义是什么? 笔者做了如下的教学设计.

2 “复数的三角表示”说课案例主要步骤实践

2.1 教学过程阐述

我们知道,任意一个复数z均可以用a+bi(a,b ∈R)的形式来表示.则复数z=a+bi 与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的,与平面向量也是一一对应的.若z1=a+bi,z2=c+di.我们先从代数与几何的角度来复述一下复数的加法、减法运算法则:

代数角度:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;z1−z2=(a+bi)−(c+di)=(a −c)+(b −d)i;

图1

图2

图3

这说明两复数z1,z2的代数加法定义从几何角度可以视作z1,z2所对应向量的和,两复数z1,z2的代数减法定义从几何角度可以视作z1,z2所对应向量的差.

我们知道,复数的引入是数系扩充过程中纯粹创造性的理论.从上述分析可以发现,复数的加法、减法从几何角度有了清晰的几何意义,从某种程度来说,这种纯创造性的理论有了现实表达.

下面我们再看复数乘法的代数规定:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac −bd)+(ad+bc)i,是一个确定的复数.虽然从几何视角也可以清晰的表示出z1z2所对应的向量,但仅从结果看,向量与向量又有什么关系呢? 由平面向量的相关知识可知,向量可以由它的大小和方向唯一确定.那我们该如何从这一角度来刻画复数z1z2对应的向量呢?

进而提出本节课的探究性问题: 根据计算z1z2的运算过程和结果,请分别从大小和方向两个角度猜想:z1z2与z1,z2所对应的向量有何关系? 根据你的发现,能否提出你的猜想并证明.从上述研究的经验来看: 首先,我们把z1,z2的代数表达式做了适当的改写,使其能够清晰的反映z1,z2(所对应向量)的“大小”和“方向”;然后再按照复数乘法的代数规定进行运算;最后通过结果中保留的“结构形式”发现了这一重要规律.要证明结论的普遍性,必须从特殊到一般,而这一规律的发现得益于将复数的代数形式做了“显性”改写.因此,我们必须先要解决下面这个关键问题: 是否任意的复数均可以将代数形式进行改写? 使得复数z=a+bi(a,b ∈R)改写后的形式可以清晰的反映复数z(所对应向量)的“大小”和“方向”.可分为如下几个小问题:

问题1 是否任意的复数均可以表示成上述形式(体现大小和方向)?

问题2 如何刻画复数z=a+bi(a,b ∈R)(对应向量)的大小?

问题3 如何刻画复数z=a+bi(a,b ∈R)(对应向量)的方向?

问题4 复数z=a+bi(a,b ∈R)可改写为?

通过对上述两种算法的比较发现: 一方面,将复数表示成这种形式的好处是可以直接通过两角和(差)的正余弦公式来简化复数的乘法运算(算法一),另一方面,这种形式代入乘法法则后可以让之前猜想的规律再一次呈现.从某种程度来说,这种表示形式揭示了复数乘法运算的数学本质.因此,这种形式是重要的.马上给出:

一般地,任何一个复数z=a+bi 都可以表示成r(cosθ+i sinθ) 的形式.其中,r是复数z的模;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi 的辐角.r(cosθ+i sinθ)叫做复数z=a+bi 的三角表示形式,简称三角形式.a+bi 叫做复数的代数表示式,简称代数形式.

接下来就是一些辅助概念的细化问题.相信在上述探究过程中,学生已经基本掌握研究的思路和方法,可以自行补充.这里仅再解释一下教材中复数辐角主值的概念: 在0 ≤θ <2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作argz.因为在研究问题时,复数辐角的多值性有时会给我们后续工作带来不便(类似函数概念中的单值对应),为了使任意一个非零复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表,理论上只需要辐角θ在一个完整的2π周期(左闭右开或左开右闭均可)即可.教材中只是给了其中一种比较常见的范围,并不唯一.需要强调的是,数学新概念的教学要符合常理,不能只讲一定是这样,更要讲为什么是这样,在实现直觉认同的基础上达到心理上的认同,进而上升为逻辑上的认同.

2.2 教学观点表达

从上述探究过程发现: 复数的代数形式可以很直观的反映复数加减法与向量加减法的联系,但复数的代数形式似乎掩盖了复数乘法、除法的本质,复数的三角形式是为发掘复数乘法、除法的几何意义而产生的新视角.一言以蔽之,即复数的四则运算法则是从代数的角度刻画了几何量间的变换规律,充分体现了复数的工具属性.笔者认为,数学新概念教学要讲清楚概念背后的“理”,要能把复杂的问题分解成几个简单的、易于处理的问题,使探究活动始终贴近学生的实际,让概念教学在师生对话中深入,让思维在理性思辨中提高,在合情的方法与合理的质疑中真正实现概念的进一步细化.而不是“掐头去尾烧中段”,在操作方面大讲特讲,大练特练,这就完全背离了“数学育人”的初衷.

3 “数学新概念教学”说课的几点思考

数学与其他学科最大的区别是数学可以基于一些非常简单的原则和观测结果,经过并不怎么复杂的推理,居然就能得出许多乍一看好像属于一个完全不同的观念范畴的命题来.数学中那些层出不穷的亦或是至今尚未解决的问题,都有待于我们另辟蹊径,以一种新颖有效的方式应用种种现成的工具,或者创造出一种新的工具去解决.本课例的处理正是提供了一个新的思维视角来重新认识复数的四则运算法则,特别是复数的乘法运算.所谓学科理念,笔者认为,数学学科最重要的是处处彰显思维理性和逻辑推理,一定要摒弃像文科那样教数学,而这就取决于教师的设计要始终以理贯穿.

特别是在新概念教学(一般也是章首课)中,教师要能够在本概念产生的历史经典问题中进行创造性的改编以期适应课堂教学,在解决和引发本概念的经典问题的过程中,重建概念.在一系列有数学味道的问题串中搭建好学生自主探究的平台,让学生的思维从这些真问题开始,在设问、追问、反问过程中推动课堂教学活动有序而自然的开展,进而实现概念的进一步深入理解.古人云: 不谋全局者,不足以谋一域;不谋万世者,不足以谋一时.这就必然要求教学设计既要讲究格局,更要关注细节.“大概念”视角下的高中数学教学,应该让学生亲历知识的发生、发展过程,教学中力求朴实无华.课题的引入要以学生已有的知识为起点,朴素地追问现实中的数学问题;探究过程要自然、有序地逼近数学本质,既要关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联,也要关注基于教材的学生数学认知逻辑链[2].而这才是新概念教学的良方.