基于多元表征的复习课堂教学设计探析*——以“椭圆的中点弦问题”为例

福建省福清第一中学(350300)叶诚理 林品玲

福建省福清进修学校(350300)林新建

中点弦问题是圆锥曲线中的一种常见题型,教师一般会通过点差法解决问题.教师应围绕点差法解决问题的思维过程进行多角度表征,挖掘其背后隐含的教学资源,加深学生对同一数学对象的系统认识,拓展解题思路,凝练思想方法,提高复习教学的效率.

以下就多元表征解决中点弦相关问题的教学设计作一阐释,以飨读者.

问题如图1,已知一条直线与椭圆C:交于A、B两点,弦AB的中点坐标为M(1,1),求直线AB的斜率.

图1

1.解题方法表征,引领感悟

问题1 解决中点弦问题的方法有哪些?

问题2 运用何种方法能有效简化运算?

设计意图通过解题方法表征,学生初步感悟到运用“点差法”比常规的代入法具有优势,因为“点差法”的“设而不求”避免了繁琐的代入与计算过程,启发学生要合理运用几何条件,优化运算思路,为接下去的深入探究提供思维依据.

2.问题条件表征,引领探究

问题3 能否对问题中的条件作些改变,得到一般性的命题?

为此,现将命题一般化:

已知一条直线与椭圆C:交于A、B两点,弦AB的中点坐标为M(x0,y0),求直线AB的斜率.

解析设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则有

设计意图通过问题条件表征,让学生经历椭圆中点弦问题从特殊到一般的思维过程,培养学生的数学合情推理能力,即从特殊到一般地归纳,与一般到特殊地推理的逻辑推理核心素养.

3.结论扩展表征,引领体悟

问题4 直线AB与OM的斜率之间是否存在某种关系? 这个关系是什么?

设计意图通过结论扩展表征,让学生体验解析几何问题中变化中的不变性,培养学生透过现象认识事物本质的能力,和从事物的具体背景中抽象出一般规律的数学抽象核心素养.

4.思想策略表征,引领内化

问题5 依常规方法,如何求解椭圆C:=1(a>b>0)在其上一点M(x0,y0)处的切线方程?

图2

解析设切线方程为y −y0=k(x −x0),代入椭圆方程,消去y,得到关于x的一元二次方程,令∆=0,得出k的值,再带回切线方程.显然,这样计算量太大了.

问题6 你能否基于上述结论,并基于极限思想和极限化策略简化切线方程的求解?

解析基于极限思想和极限化策略,当点M运动到椭圆上时,弦AB为椭圆C在其上点M(x0,y0)处的切线.如图3,由知,切线AB的斜率为所以切线AB的方程为,结合点M(x0,y0)在椭圆上,化简得到.

图3

设计意图通过思想策略表征,让学生基于有限和无限思想和极限化策略解决问题,体会哲学中运动变化观点,培养学生利用图形分析数学问题的能力,和构建数学问题直观模型求解问题的直观想象核心素养.

5.结论致用表征,引领应用

问题7 你能基于以上结论,解决以下问题吗?

图4

例4 如图5 是一个残缺的椭圆,你能用尺规作图找到它的对称中心吗? (保留作图痕迹)

图5

解析提示意学生,根据例3 结论的逆用,任意做椭圆的两条平行弦,椭圆中心在平行弦中点连线上,做两对平行弦即可.

设计意图通过结论致用表征,让学生运用相关结论解决问题,体现学生的主体地位,体会数学探究的乐趣,培养学生发现问题,提出问题,分析问题和解决问题的能力.

教学反思本节课围绕椭圆的中点弦问题,应用多元表征,从数学知识发展的内在逻辑关系对结论进行了深入探究,层层递进,环环相扣,凸显圆锥曲线知识的内在统一性,彰显数学思想方法引领的重要性.

数学复习教学中,教师要精心创设问题情境,围绕教学目标在多元表征下引导学生进行深度学习,同时要遵循学生的认知规律,低起点高落点,从简单到复杂,从具体到抽象,打造出容量小但思维量大的小身材大容量课堂,让学生的数学能力得到锤炼,核心素养得到真正发展.