“双减”背景下初中数学例习题变式设计作业的多样性研究*

广东省中山市小榄镇旭日初级中学(528415) 王 娜 何 勇

作业[1]不但可以让学生对新知识进行巩固,还能帮助学生查漏补缺,是学生获取知识、形成能力、培养核心素养的不可或缺的一项重要方式.《义务教育数学课程标准(2011 年版)》(简称“新课标”)指出义务教育阶段的数学学习的总目标为: 学生通过数学学习获得“四基”,增强“四能”,具有初步的创新意识.为实现这些目标,教师应提高作业设计能力,让学生“喜欢作业,爱做作业”.目前国家出台的“双减”政策,明确规定各年级学生作业完成时间,这对教师如何设计作业,利用作业来促进学生各方面能力和综合素质的发展提出了更高要求.而例习题变式的作业设计顺应了这一要求,作为一线教师,除了注重习题的变式,还应理解为什么要变,通过变式达到某种目标,思考如何为学生搭建既符合学生的认知规律,又以学生已有知识为基础,对初中数学知识的不同类型布置不同形式的作业,达到巩固新授知识、查漏补缺的作用,真正做到为学生“减负增效”,提高学生的数学学习能力,培养学生的数学核心素养.本文对在发展学生核心素养的前提下,根据课堂所学知识的特点,如何通过例习题变式灵活设计数学作业,进行探究.

1 常规性数学作业

“知识技能”既是学生发展的基础性目标,又是落实“数学思考”“问题解决”“情感态度”目标的载体.学生掌握数学知识,不能依赖死记硬背,而应以理解为基础,并在知识的应用中不断巩固和深化.教师不仅在课堂上,在课后作业的设计上,也应注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握,揭示知识的数学实质及其体现的数学思想.

对于基本的数学知识点、数学定理的学习,学生在课堂上理解掌握后,教师可设计常规性的课后作业: 学生自主对例习题进行变式出题.例如,学习人教版八年级下册第十七章第一节第一课时“勾股定理”,课后作业可如下设计.

复习: 今天我学了什么?

勾股定理: 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

例题展示: Rt∆ABC中∠C=90◦,

(1)若a=5,b=12,求c;

(2)若c=10,a=6,求b.

课后作业: 学生当小老师,模仿例题,改变数据或者改变背景,出两道利用勾股定理来解决的题目,并解答.

作业反思:(略)

设计意图: 新课标对勾股定理的学习目标: 探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.2021 年广东省的中考数学题目中,有4 道题利用了勾股定理来求解线段的长度问题,其中第7,16 题两次利用了勾股定理,可见学生不仅要求理解和掌握勾股定理,也要求熟练运用它来求解线段长度问题.上面的作业设计,学生通过独立思考,自主改编题目,透过现象看到知识的本质,发展创造性思维能力.通过作业反思,对定理的理解更加深刻.

2 生活体验型数学作业

数学与人类发展和社会进步息息相关,随着现代信息技术的飞速发展,数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面.新课标指出,为了适应时代发展对人才培养的需要,数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识.一方面,让学生有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象,解决现实世界中的问题;另一方面,认识到现实生活中蕴涵着大量与数理和图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学的方法予以解决.初中数学的部分学习内容,在生活中随处可见,教师可灵活设计这一部分的课后作业,让学生在生活中完成数学作业,体会到学习数学的乐趣和成就感.

实际应用题中,销售问题和路程问题一直是学生突破的难点,而在生活中最常见的场景就是买东西,通常要算如何购买才是最优惠的状态.几点上学才能不迟到,就需要预估走路上学、骑单车上学或者家长开车送所需的时间分别是多少,才能确定出门时间.如果上学途中有上坡路,那么去上学途中所需时间与放学回家所需时间则不一样,等等.本文以人教版七年级上册第三章第4 课时“销售中的盈亏问题”为例,设计为课前预习作业.

本课学习的是利用方程解决生活中的“经营盈亏”问题,这是在学生学习了一般性应用问题的基础上展开的第一个重点探究,要解决这一问题,首先要让学生理解和生活紧密相关的“进价(成本) ”、“标价”、“售价”、“折扣”、“利润”、“盈利”、“亏损”、“利润率”等概念,及“商品利润=商品售价−商品进价”、“商品利润率=×100%”、“商品售价=标价×折扣数”等数量关系,并使学生理解方程模型在综合性问题中的作用,感受数学与生活的密切联系,增强应用意识.本节课的概念较多,难度较大,如果课前预习,可提高课堂效果.在生活中挖掘出本节课的预习作业,如下.

请同学们放学后去水果店购买水果或者去商店购买学习用品或者帮忙父母购买蔬菜等,选择有标价和折扣的商品购买,耐心问老板进货价是多少? 完成变式作业.

例子: 今天,老师买了一盒苹果,标价是12元,结账时老板说,这盒苹果今天有折扣,打8 折,请问,老师付了多少钱?=9.6(元).

老师问了老板这盒苹果进货价是多少,老板说是7元,请问,老板卖这盒苹果赚了多少钱? 9.6−7=2.6(元)

请问老板卖这盒苹果,是盈利了还是亏损了?因为2.6>0,所以盈利了.

总结: (1)请指出标价,折扣,售价,进价(成本),利润

(2)利润=____;售价=____.

变式作业: 今天,我买了____,标价是____元,结账时老板说,这盒苹果今天有折扣,打____折,请问,我付了多少钱?____

我问了老板这盒苹果进货价是多少,老板说是____元,请问,老板卖这盒苹果赚了多少钱?____

请问老板卖这盒苹果,是盈利了还是亏损了?____

总结: (1)请指出标价,折扣,售价,进价(成本),利润

(2)利润=____;售价=____.

设计意图: 学生容易对标价和售价混淆,求利润也经常出错.设计课前预习作业,让学生通过生活中真真实实的买东西,计算价钱来理解这些概念,比课堂上老师直接传授,理解更加深刻,亲身体会到数学与生活的联系,让学生在参与数学活动的过程中,提高学习数学的兴趣和自信心,对数学有好奇心和求知欲,为接下来的课堂顺利完成打下铺垫.

3 知识生长型数学作业

传统的几何复习一般是梳理概念,精选例题,讲练结合.知识生长型数学作业是继续生长型架构的几何复习课堂后布置的.知识生长型架构的几何复习课堂,整个课堂教师没有给学生具体题目,是由学生所画的基本图形生成,由学生充分发挥想象,引导学生根据自己所学知识,自己提出问题,再思考如何解决问题.所有的知识由学生自己提炼概括出来,与本堂课外所学的其他章节知识相融合,将知识系统化.课堂虽然结束了,但是学生课后可在课堂的基础上继续知识生长,学生在思考探索和总结的同时,培养了数学发散思维,有利于学生数学核心素养的培养.本文参考圆的小结复习[2]公开课,设计课后知识生长型数学作业.

下面是课堂教学设计：

问题1: 请同学们画出: 课本24.1.1-24.1.4 节圆中的相关元素的基本图形(如下图).

问题2: 如图1,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,D是劣弧的中点,DE ⊥AB于点G,交⊙O与点E,交AC于点F.你有何发现? 怎么得到的?

图1

图2

设计意图: 图1 是由学生复习画的基本图形变化得到的.教学时让学生自己发现并说理,将圆中的垂径定理、圆周角定理及推论等进行了梳理.这有助于后面分析复杂图形中的基本图形.教师引导学生将问题转为证明AF=DF以及AC=DE.

问题3: 在问题2 中,连接BD交AC于点H,你能得出新结论吗?

设计意图: 引导学生得出DF=FH.这两个问题都是让学生先思考再给出题目,这就避免了传统教学中直接给出例题,让学生纯粹的做题练题.这两个题目都是由学生所画的基本图形生成,符合学生的最近发展区,为课后作业继续进行知识生长做铺垫.

课后作业:

问题4: 若在问题3 的基础上再添加一个条件“D、C是弧的三等分点”,你可以得出什么其他结果吗? (提示∆DFH是什么三角形?) 并证明.

问题5: 连接BC、BE,把外面的圆隐去,如图3.这是由三角形和四边形组成的复杂图形,你有什么发现?

图3

问题6: 如图4,过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P,你能找到相等的线段吗? 此时,若“D、C是弧的三等分点”,又有什么新发现? (提示四边形AOCD是什么四边形?)

图4

设计意图: 课后作业是在课堂教学的基础上生长的,问题6 为下节课的复习切线做铺垫.问题5,体现圆和其他图形的内在联系,虽然图形中没有圆,但是圆隐藏其中.圆在初中数学中占有重要的作用,可以和三角形,圆内接四边形、多边形等建立密切的联系.

4 命题比赛型数学作业

每逢期中期末的数学复习,大部分同学都是题海战术,不断地做题训练,但是真正考试时,还是粗心大意,出现各种小错误,这源于对数学的基本概念没有理解到位,缺乏阅读理解能力,审题能力,分析能力和总结能力,对教材的理解不够全面,不能透过现象看本质.为了提高学生的解题能力,培养学生的核心素养,在期中期末考试前的复习作业,可以尝试让学生出题,以命题比赛的形式布置数学作业.本文以初二上册期末复习为例,设计命题比赛型数学作业.

命题比赛要求: 请参赛同学根据去年期末考试试卷的题型,编制一份期末复习试卷,题目可以参考课本例习题改编或者自编,并附上每题的出处,难度级别,考点分析及参考答案.

命题比赛奖励: 奖状并加分.前三名同学的试卷,老师打印派给全班同学当课后作业.

设计意图: 学生通过自己独立思考分析、总结数学知识点远比题海战术更能锻炼学生的理解能力,改编或自编题目都是在理解的前提下,对知识的进一步应用,有利于培养学生的应用能力和创新意识.学生在参与命题的过程中,体验获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立学习数学的自信心.

5 讲题比赛型数学作业

每逢国庆、中考考场放假、寒暑假等比较长的假期,学生是否能按时且高效率完成作业,教师很难跟踪.对于很多的书面作业,个别学生会在上学前才匆忙应付,这就有违利用作业来复习巩固、提前预习的初衷.对此,本文提出,可通过小视频讲题的形式来提高作业的效果.学生讲什么题目,教师应认真挑选后供学生选择.数学题目会做,且能讲出来,更能锻炼学生的数学思维,培养学生独立思考的能力.对于学生录制的讲题小视频,教师应及时跟踪查看,给出评价建议.本文以初二学生为例,设计寒假讲题比赛型数学作业.

题目: 请参赛同学们预习八年级下册第一章内容,讲解下面两题.

①x2+2xy+y2;②x2−y2.

温馨提示: 请同学们先阅读教材,学习第1 至14 页的内容,再完成这两题.录讲题小视频,也可扩展题型,对例习题进行变式,总结这一类题目的解题方法技巧及易错点.

设计意图: 学习能力和归纳总结能力是学生很重要的能力,寒假的放假时间较长,让学生提前预习,自主阅读教材,独立思考学习能提高学生的学习能力和阅读能力,也能增强学生的学习成就感,也有利于提高学生的审题能力和分析能力.而“二次根式”作为初中阶段“数与式”内容的最后一章,核心是以二次根式为载体,进一步引导学生体会运算在代数中的核心地位,学习用运算法则进行运算,体会运算法则的逻辑相容性,体会运算律在代数中的基础地位.而设计讲题比赛型数学作业,以讲题为载体,让学生在这过程中,加强运算技能训练,提高运算能力,有利于培养学生的数学核心素养.

6 结束语

数学作为一门研究空间形式与数量关系的学科,具有抽象性以及严谨性的特点.其在人类理性思维、科学精神和促进个人智力的发展过程中,有着无法取代的积极影响.初中数学作为将“真、善、美”集中为一体的理性学科,其具有较高的指向价值,教师应当根据数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六大素养进行立意,进而才能构建出数学教育的良好生态,进而可以为学生后续的学习奠定坚实的基础.数学作业需要在整个教育、教学中发挥出给更多的重要作用.因此在当前“双减”政策的有效实施背景下,初中数学教师需要转变自身的作业观,在注重培养学生知识与能力的同时,实现更深层面的学习,合理控制作业时间与作业内容,紧紧围绕着学科核心素养要求,保证“双减”政策的有效落实.同时遵循多样化原则,根据初中学生的认知规律与特点,根据课堂所学知识的特点,通过例习题变式灵活设计数学作业,保证作业设计的有效性,更好提高学生学习的质量,使学生的实践应用能力得到有效锻炼,促进初中生学习能力的显著提升,为教师教学的顺利开展提供保障.