从专业学科角度探索线性代数教学

程 智 孙翠芳

（安徽师范大学数学与统计学院 安徽·芜湖 241002）

0 引言

线性代数是大学数学的重要组成部分，非数学专业的线性代数课程主要包括矩阵、线性方程组、特征值与特征向量以及二次型等内容。线性代数理论是经济学、工程类专业理论的数学基础，是学生学好相关专业理论的必要前提。

目前大学线性代数教学的一个方法是利用矩阵这个有力工具，解决线性方程组的求解问题，在此基础上建立线性代数的教学知识体系。这个教学方法符合线性代数的内在逻辑，也可以有效地让学生掌握线性代数课程的主要内容。由于在学生后续专业课程的学习中，还会不断地应用线性代数知识，教学上的一个想法是将合适的专业背景引入线性代数课程教学，在线性代数教学和后续专业课程学习中有个承前启后的作用。

在线性代数教学过程中，适当引入专业学科中的经典案例和数学模型，在此基础上讲解线性代数理论知识，可以让学生更深刻地感受到线性代数理论与本专业理论的深刻联系。这种教学模式使得线性代数理论不再是“高大上”的空中楼阁，而是密切联系着学生的专业理论知识，显得“更接地气”。我们将以经济学和工程类专业的线性代数教学为例，从一些具体的线性代数知识出发，探讨专业背景下的线性代数教学活动。

1 教学案例

在实际线性代数课堂教学活动中，教学案例的引入不宜过于复杂，而一些经典但复杂的教学案例，可以让学生提前了解其专业背景知识，也可以在学生学习完成相关线性代数知识后，组织兴趣小组课后继续探索。这种课内外相结合的教学模式可以帮助学生更加灵活、牢固地掌握并应用线性代数知识。

1.1 矩阵概念

矩阵是线性代数课程的基本概念。介绍矩阵在专业知识当中的应用可以帮助学生体会线性代数知识学习的必要性，帮助他们提高线性代数和专业知识学习的兴趣，而不是发出“为什么学”的疑问。

案例一（囚徒困境模型）设有两个嫌疑犯A和B，如果两个嫌疑犯都坦白，那么各判8年；如果两个都抵赖，各判1年；如果一人坦白，另一人抵赖，那么坦白的释放，不坦白的判10年。如果把囚徒A在各种情况下的收益矩阵写出，则为一个二阶矩阵，其中第1行的两个元素分别表示嫌疑犯A坦白，嫌疑犯B选择坦白和不坦白时A的收益(判刑)情况；第2行的两个元素分别表示嫌疑犯A不坦白，嫌疑犯B选择坦白和不坦白时A的收益(判刑)情况。

囚徒困境是博弈论中的一个著名理论，其最初的理论模型来源于警官对两个罪犯的审讯。囚徒困境模型很好地描述了博弈问题中的个人得失情况，问题的求解也在仅需判断每行元素的最小值是否是所在列的最大值。该模型让学生清晰感受到通过恰当地引入数学概念，可以很好地解决实际问题。

1.2 行列式概念

行列式的绝对值是行列式中n个行（列）向量在n维线性空间中对应几何体的体积，行列式的正负与各个向量的排列方式密切相关。在3阶行列式中，三个行（列）向量构造三维向量空间中的立体，则立体体积为3阶行列式的绝对值（若三线共面，即其中一个向量可以被另外两个向量线性表示，则立体体积为零），其正负号取决于三个向量的分布是否符合右手法则。

案例二（金字塔体积模型）教学中给出以金字塔定点为坐标原点，通过测量给出四条棱对应的向量坐标。计算方法是把金字塔分割两个四面体，然后根据行列式的几何意义，分别求出两个四面体的体积，从而得到金字塔的体积。

在教学中应用这个案例，可以给出行列式的几何意义及其应用，可以让学生在学习行列式概念的同时，直观感受到行列式的意义所在，使得抽象概念不再抽象，有助于帮助学生克服难点。需要注意的是，模型的讲解需要建立在行列式几何意义基础上，对学生的学习提出了更高的要求；在体积模型中，行列式提供了一种很好的解决方案，但行列式未必是解决所有关于体积问题的最简单方案；行列式的几何意义在高维情形仍有意义，但是现实生活中的高维“体积”过于抽象，学生理解困难。

1.3 线性方程组理论

线性方程组理论是线性代数课程的重点内容，通过引入专业背景知识介绍线性方程组的求解方法，不仅可以为学生学习本专业知识奠定良好基础，而且可以很好地锻炼应用线性代数解决本专业实际问题的能力。投入产出分析是一种研究产业部门之间投入与产出依存关系的定量分析方法。

案例三（投入产出模型）已知一单位煤炭需要煤场、发电厂和铁路三个部门的投入费用以及收入费用，在有外界需求的情况下，如何调整煤场、发电厂和铁路三个部门在一定时间内的总产值，使之可以满足外界和自身需求。通过给定企业投入产出表格，根据产品间的直接消耗系数写出矩阵A，根据单位产品直接料工费价值消耗量写出向量Y，然后通过求解线性方程组(IA)X=Y可以得到产品单位主营业成本。

该方法主要考察的是线性方程组（IA）X=Y解的情况。在投入产出模型中，每个矩阵均有其具体含义。投入产出模型的介绍和运用，不需要增加太多的经济学理论知识，但是却为线性方程组求解理论赋予了具体的经济学背景。这样的教学活动是从学生所学专业角度考虑，不仅可以加强经济类学生学习的动力，也为他们后续课程的学习起了良好的过渡作用。

1.4 特征值与特征向量理论

层次分析(AHP)模型是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。这个模型通过引入成对比较矩阵，把一些依赖主观判断的问题有效转换为定量分析的问题。

案例四（AHP模型）根据经济学中的产品选择问题，建立系统的层次结构。将同一层各因素关于上一层各因素的重要性两两比较，写出成对比较矩阵，计算出这些成对比较矩阵的特征值和特征向量，并根据特征向量得到组合权重向量，从而对目标方案进行排序选优。

在经济学问题背景下应用层次分析模型，不需要详细介绍成对比较法矩阵的构造方法，不会改变线性代数课程教学的主要内容，但是却可以让学生深刻感受特征值和特征向量的具体应用，使得特征值与特征向量这一抽象理论变得具体而自然。

1.5 二次型理论

商品一般要经过制造商、经销商和市场几个环节后，再被消费者买回家。不同流通环节会组成供应链网络，网络涉及制造商、经销商和消费者所应采取的最优行为，以达到产销平衡和市场平衡。

案例五（供应链网络平衡模型）假设生产费用是生产量的二次函数，交易费用是交易量的二次函数，经营费用是商品楼的二次函数，商品需求是消费价格的线性减函数，则供应链网络平衡模型是一个二次规划问题。该问题的求解可以通过判断二次函数的正（负）定性得到解决。

这个案例体现了线性代数在经济学方面的典型应用，具有一定代表性。在案例教学过程中可以充分调动学生的主观能动性，让他们积极参与到线性代数应用到具体专业问题的探索活动之中。需要注意的是，这个经济学案例模型相对比较专业，需要的背景知识较多。实际教学过程中，可以将模型的背景材料提前交给学生阅读，让学生在课后查阅指定资料，以小组讨论形式解决问题分析和模型建立部分，而在课堂上解决模型求解部分，即告诉学生如何计算二次型的正（负）定性，这样可以得到理想的教学效果。

1.6 综合理论

应用线性代数解决实际问题的一个经典案例是搜索引擎模型，这是谷歌搜索的数学原理，该模型可以让学生真切感受到数学与现实生活的紧密联系。在介绍这个模型之前，需要学生熟悉矩阵特征值以及特征向量的概念和求解方法，了解Markov链平稳分布X所需矩阵方程AX=X。

案例六（搜索引擎模型）该模型可以分成三个部分，第一部分用于介绍矩阵的应用，即用邻接矩阵来介绍矩阵概念。第二部分介绍线性方程组的求解理论，给出Markov链中平稳分布的求解结果。第三部分介绍矩阵特征值和特征向量的概念及求法，给出计算平稳分布的计算方法，并判断其对扰动的敏感性。

模型5.1（邻接矩阵模型）介绍PageRank原理，给出一个简单的网页连接图，根据连接图给出邻接矩阵，用来描述网页衔接情况。

这个模型的好处是便于将直观图用线性代数的矩阵概念描述，方便下一步的计算工作。由于实际的网络衔接往往数量很大，对应的邻接矩阵阶数很高，不适宜手工计算，需要专门设计程序和算法进行计算。在实际教学过程中，可以使用一个理想化的网络衔接图，告诉学生如何根据这个网络图形写出其邻接矩阵，让学生感受应用数学知识解决实际问题的场景。而将实际网络图形交给学生课后练习。

模型5.2（Markov链平稳分布模型）对于正则Markov链存在平稳分布X，需满足AX=X，其中向量X的分量之和为1。计算非零向量X的过程即为解方程的过程。

这个案例模型的好处是可以得到不同网页的 PageRank值。需要注意的问题是，与邻接矩阵模型的教学情况相似，实际情况的运算量很大，需要专门设计算法计算。课堂教学可以使用阶数不高的邻接矩阵（比如五阶矩阵）进行计算，即使如此计算量仍然偏大，较好的教学方式是将计算部分交个学生课后，通过小组合作的方式解决。

模型5.3（平稳分布及其扰动敏感性模型）平稳分布是转移矩阵A最大特征值1所对应的特征向量，其对矩阵扰动的敏感性，依赖于其特征值与1距离的大小。

这个模型的好处是可以得到网页的 PageRank值和其对选择敏感的依赖性，不过实际情况计算量极大，课堂可以计算网页个数不多（比如五个），往往需要学生在课后练习求解。

2 结束语

线性代数教学不仅要让学生学习掌握线性代数课程的知识体系和解题技巧，而且需要培养学生应用数学的能力，为后续数学课程的学习奠定良好的基础。如果能让学生感受到应用数学知识解决本专业的一些经典理论案例，则可以大大增强学生学习的动力和兴趣。

在实际教学中，将线性代数的理论知识和专业实际相结合，通过改变教学方法和讲授方式，让学生积极主动地参与数学知识的学习和应用，可以让线性代数知识的抽象变得自然，易于接受，并在后续专业学习中简化数学知识的引入过程，方便专业教学。