初中数学统计与概率问题分析

摘 要：随着信息化时代的到来，大数据成为研究的热点。中学教学开始引导学生对数据的收集与处理进行初步尝试。2001年教育部颁发了《全日制义务教育数学课程标准》，将“统计与概率”作为一个完整的学习内容模块引入到九年义务教育中，与“数与代数”“几何与图形”并列为三大数学模块，贯穿义务教育的数学课程。“统计与概率”研究的是不确定问题，因此在思维方法上依赖于辩证的思维手段，对于培养学生的不确定性能力有很大的作用。概率与统计中的很多概念是相互联系极为密切的，学生不但要理解这些概念，还应该正确理解这些概念之间的联系。目前初中阶段统计概率在中考中占比不大，题目不难，使得教师和学生的重视度不够。针对这一现象，教学中不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。让学生研究身边的材料，抽象出数学问题，建立起数学模型，再去解决生活中的问题，既调动学生的兴趣与经验，又很好地体现了数学的应用性，可谓两全其美。

关键词：数据整理;数据分析;统计与概率教学

数据是信息的载体，这个载体既包括数，也包括言语、信号、图像，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据，而统计与概率就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术。“统计与概率”在《全日制义务教育数学课程标准》中占据重要内容，在基础教育的数学课程改革中受到特别重视，这都是基于其在当今社会生活中有着重要的应用，因此培养学生基本数学素养十分必要。

华师大版数学教材依据初中学生的认知规律将概率分为认知、分析、应用三个层面分割到四个学年完成教学，从而帮助学生能够真正学会利用概率知识解决实际问题。然而在实际教学中发现：概率知识点所涉及的面很广，学生在学习中普遍感到概念抽象;学生对概率的认知不够深入;或者对概率的认知停留在应试层面，在生活中还是无法熟练应用。

一、统计与概率课程的教育价值

（一）有利于培养学生的思辨能力

“统计与概率”研究的是不确定性问题，主要依靠辩证思维和归纳的方法去学习，对培养学生明智地处理变化与不确定性的能力、实践能力和合作精神等方面更直接、更有效。

（二）有利于培养学生的批判精神

面对大量的数据，需要保持镇定，从大量烦琐的数据中摘取自己需要的数据，并获得尽可能多的有用信息，还要保持理智的心态，对数据的来源、收集数据的方法、数据的呈现方式以及得到的结论等进行合理的质疑。

（三）有利于推动信息技术的使用

“统计与概率”的内容中涉及大量的复杂数据的计算问题，依靠人工计算是不可能实现的，引导学生和教师使用计算机进行运算，并制作各类统计表，省时省力。

二、统计与概率的学习方法

以华东师范出版社的教材为研究对象。在本套教材中，初中教材中涉及概率与统计的部分主要分成了四个部分，分别为数据的收集与表示、数据的整理与初步处理、随机事件的概率、样本和总体。在该套教材中，以趣味性的方式来引入定义，例子注重生活化，在教授过程中，学生可以很容易理解感知这些概念的存在，但是对于统计与概率中相关定义依然很难理解和应用。这主要是因为以往的数学学习中，都是研究确定性问题，但概率研究是不确定性问题，学生短时间内很难接受，并且对于依靠思维和归纳的方法去解题的思路也需要经过很长时间的训练。在统计与概率的教学过程中，要循序渐进，从学生熟悉的定义与概念入手，比如平均数、中位数和众数等概念。

（一）数据的收集与表示

“数据的收集与表示”是我们学习统计与概率的第一步，是学生感知数据存在的初体验。不同于以往的数学学习，大量数据的涌入使得以往的解决方法行不通，开始引导学生去主动寻找新的方法。在收集阶段我们提出了频数和频率的概念。

频数表示每个对象出现的次数，频率表示每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）。频数和频率反映的是每个对象出现的频繁程度。这是学生通过实验得到的结果，在这个阶段学生可以很容易理解并表示出很大的兴趣。

根据频数和频率，课本提出使用条形统计图、折线统计图和扇形统计图来进行数据的表示。这三种统计图在不同的情景下都可以直观地体现出我们的实验结果。条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征，扇形统计图主要突出各组成部分的数量在总数量中所占份额的大小，折线统计图主要显示出数量变化的规律，可以根据实际需要来选择合适的统计图。这一部分主要考查学生的计算能力和作图能力，使用计算机绘制统计图是学生未来工作和学习的必备能力。

（二）数据的整理与初步处理

“数据的整理与初步处理”是学生由被动变主动的转折点，在数据收集阶段，学生被动接受了大量烦瑣的数据，我们渴望寻求使用一个数字或者符号来直观呈现出数据的特征。因此这个阶段，教材中提出了一些重要的定义：平均数、加权平均数、中位数和众数。

平均数是统计中的一个重要概念，是表示一组数据集中趋势的量数，平均数包含了算数平均数、几何平均数和加权平均数等很多类型，在不同情景下选择合适的平均数可以更好地反映数据的特点。我们最为常用的是算数平均数，是指一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。既可以用它来反映一组数据的一般情况和平均水平，也可以用它进行不同组数据的比较，以此看出组与组之间的差别。

加权平均数在实际生活问题中也很常用，由于各个指标在总结果中占有不用的重要性，因而会被赋予不同的权重。加权平均值即将各数值乘以相应的权重，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数。加权平均值的大小不仅取决于总体中各单位的数值（变量值）的大小，而且取决于各数值出现的次数（频数），由于各数值出现的次数对其在平均数中的影响起着权衡轻重的作用，因此叫做权重。

均值是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标。总体的均值为从总体中抽样，每次抽n个，每次抽出来的n个数值会有个均值u，如果一共抽了k次，那就有k个均值，比如设为U1，U2，U3，…，Uk，这k个数值的均值等于总体的均值。

中位数是将一组数据按从小到大的顺序排列（即使有相等的数据也要全部参加排列），在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数。通过中位数算出来可避免极端数据，代表着数据总体的中等情况。这也是中位数相对于均值更好地描述一组数据的情况的原因。

众数是在统计分布上具有明显集中趋势点的数值，代表数据的一般水平（众数可以不存在或多于一个）。它也是一组数据中出现次数最多的那个数值，有时众数在一组数中有好几个。简单地说，就是一组数据中占比例最多的那个数。

（三）平均数、中位数和众数的区别

平均数非常明显的优点之一是，它能够利用所有数据的特征，而且比较好算。另外，在数学中，平均数是使误差平方和达到最小的统计量，也就是说利用平均数代表数据，可以使二次损失最小。因此，平均数在数学中是一个常用的统计量。但是平均数也有不足之处，正是因为它利用了所有数据的信息，平均数容易受极端数据的影响。用众数代表一组数据，可靠性较差，不过，众数不受极端数据的影响，并且求法简便。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，选择中位数表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

需要指出的是，我们处理的数据，大部分是对称的数据，数据符合或者近似符合正态分布。这时候，均值（平均数）、中位数和众数是一样的。只有在数据分布偏态（不对称）的情况下，才会出现均值、中位数和众数的区别。所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态情况特别严重的话，可以用中位数。

实际的情况是，很多时候我们无法直接知道数据是正态的还是偏态的，因此对于平均值、中位数和众数的合理选用是个难题。使用概率的概念来展现数据的特点，更加科学，更加严谨。

（四）正确理解随机事件的概率

从定义的角度进行探究，首先是随机事件的定义，无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件叫做随机事件，在这里我们以掷骰子为例，假设这个骰子质地均匀，“掷得的点数是奇数”是可能发生的事件，这就是一个随机事件。随机事件实际上是一个不确定的事件，而对于无须通过实验就能預先确定每次实验结果的事件为确定事件。教师应该引导学生正确理解随机事件的定义，并能在生活中区分随机事件和确定事件。

其次讨论概率的定义，概率代表了“事件发生的可能性”。在大量重复的实验后，频率趋于概率。需要明确的是，概率可以用来预测事件的结果，但不能确定事件的结果;概率对已经发生的事件是没有意义的;单次实验不能体现概率，大量多次重复实验频率会接近概率。在讲解时，教师可以联系实际，通过实例解释概率的意义和作用。

三、对初中数学概率教学的建议

（一）重视实验的作用

在关于初中概率知识的课堂教学中，教师应该结合日常生活的实例，采用自主探索和合作交流相结合的学习方式，为学生提供充分的实践活动时间，使学生在自由和谐的教学氛围中获得更广泛的概率学理论经验。科学理论的形成是需要经过千锤百炼的实践才能够最终成形的，而概率实验的进行，既有利于学生在实验过程以及对实验数据的分析中体会随机现象的不确定性，又可以通过大量的重复实验过程，理解其中出现的规律性，并最终对概率形成系统的认知。

（二）要明确统计与概率学的教学观念

从简单随机事件出发，理性认识概率。在体验活动中对随机事件出现机会的直觉猜想、自主探究、动手操作和实验结果分析的过程后，绝大多数学生对概率以及概率的频率定义有了较为透彻的理解。此时再引导学生理性地分析以往随机事件的概率便水到渠成。在将对简单随机事件的概率理解从直观体验上升至理性辩证思维的过程中，教师应当从简单的实例入手。

在我们生活的世界中，大部分信息都由数据构成，学会收集数据、筛选数据、处理数据，是我们的必备技能，加强数学“概率与统计”教学效果的研究是数学教学事业发展的必然趋势。总之，统计与概率的教学，应该注重让学生理解这些重要概念背后的含义及它们之间的联系，强调其在现实生活中的应用，而不能将这部分的学习内容纯粹作为计算题来学习。对统计与概率的教学还有许多相关问题值得我们研究，需要我们在理论和实践中不断探索、不断改进，共同努力来完善我们的数学教学改革。

参考文献：

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作者简介：

韩丹，吉林省长春市，吉林大学附属中学。