非线性振动中周期与振幅和能量关系的级数表达式

郝继光，黄亦斌

(1. 南昌市湾里区第一中学，江西 南昌 330004；2. 江西师范大学 物理与通信电子学院，江西 南昌 330022)

通常对振动的处理方式，是将势能函数在极小值点处取到二次项，从而求出振动的频率和周期. 这等价于把该振动视为简谐振动处理. 若想考虑振动频率与振幅的可能关系，在这一阶是不可能得到的，需考虑高阶效应，成为非线性振动问题. 这一关系一直是大家比较感兴趣的问题[1-7]，其中针对单摆的研究较多[4-7]. 这一关系一般难以存在有限表达式，故而我们可以就一般情形寻找其级数表达式. 由于计算量较大，我们使用了Mathematica 软件，其中除常见简单命令外，我们还大量使用了Series(幂级数展开)、DSolve(解微分方程)，Collect(合并同类项)等命令.

设振子的势能在极小值点(取为x=0，且V(0)=0)附近的泰勒级数为

(1)

上式ω>0.

由能量守恒，有

(2)

将其对时间求导，得

(3)

设正向最远到达x=A处，取此时为初始时刻.兹使用微扰法求其级数解(在数学上类似的例子见参考文献[8])，即设其解为

x=x0+x1+x2+x3+x4+…

(4)

1 精确到二阶的结论

把式(4)代入方程(3)，精确到二阶解x2，得方程组：

(5)

于是，使用DSolve命令，精确到二阶的解为

(6)

注意其中有非周期项，而我们的振动显然是周期性的.其原因就在于2π/ω并非真正的周期.可令

ω=Ω+aA+bA2+…

(7)

即Ω为真正的圆频率，其初级近似为ω，高阶部分则表示为A的级数.仅将上式代入式(6)中的三角函数中(其他位置的ω不做替换，因为我们要尽量用原始的系数ω2、k1、k2、…来表示)，并利用Series命令展开到A3项，令每一阶的新非周期项的系数为0，即可确定式(7)中的系数a、b.这样得到的T=2π/Ω才是真正的周期.由此可以确定ω、Ω的关系：

(8)

同时式(6)变为

(9)

它恰为式(6)去掉非周期项、并将所有三角函数内的ω换为Ω的结果.另外，由式(9)可以看到，平均位置(坐标的时间平均值，即常数项)为

(10)

设反向振幅为B，即反向最远到达-B处.由于初始条件x=A和x=-B不可区分(或平权)，故以上各式若做替换A→-B，则应该保持不变(其中式(6)和式(9)还需重新定义时间零点).这可称为“双向振幅交换不变性”.式(10)的交换不变性给出

(11)

由此得到A和B的相互关系为

(12)

由于式(11)只有两项，所以式(12)也只能保留两项.

2 精确到四阶的结论

考虑四阶效应时，把式(4)代入方程(3)，得到的两个新方程为

(13)

(14)

解x3,x4分别对应A4,A5项，利用DSolve命令可得到结果，但比较冗长，从略.它们中当然也存在非周期项，如x3中的这些项：ωtsinωt,ωtsin 2ωt.为消去各阶非周期项而需做的变换(与式(8)对应)是

(15)

而x3,x4用Ω可表示为

(16)

56064ω4k1k3-5760ω6k4)cosΩt+

1584ω4k1k3+1080ω6k4)cos 5Ωt]

(17)

式(9)、(16)、(17)之和就是方程(3)精确到4阶的解. 容易得到，平均位置为

(18)

由式(15)，周期T=2π/Ω为

(19)

此外，由式(2)，能量与振幅A的关系为

(20)

以上各式应该都具有“振幅交换不变性”. 具体地，由于E(A)=E(-B)，上式可以给出双向振幅B与A的关系为

(21)

利用InverseSeries 命令反解式(20)，得到振幅A与能量的关系：

(22)

其中，能量含在A0中，

(23)

反向振幅B与能量的关系很容易由式(22)得到，只要作替换A→-B,A0→-A0即可，或作替换A→B且把k1,k3,k5、…添负号亦可.把式(22)代入式(19)，即可得到周期与能量的关系：

(24)

至于平均位置与能量的关系，可利用式(18)和(22)，得到

(25)

3 例证

例1：单摆

单摆的势能为V(θ)=mgL(1-cosθ).记x=Lθ，将势能展开到x6项，与式(1)对比，得

由前面所说的一般程序，或由式(9)、(16)、(17)，得到解为

(26)

其中θ0=A/L为角度θ的振幅.而

(27)

故有

(28)

该结果与其用椭圆积分表示的精确结果展开式的前5阶相同，也与单摆周期的另一级数表达式

(29)

例2：平方反比引力场中的近圆轨道

平方反比引力场中粒子的径向方程为[8]

(30)

其中m1为粒子质量，m2为中心天体质量，常数E和h分别是粒子的总能量和单位质量的角动量，而V(r)为径向运动的等效势能.V(r)存在极小值点r0=h2/Gm2，极小值为-(Gm2)2m1/2h2.r=r0即圆轨道.对于近圆轨道，令r=r0+x，将V(r)展开到x6项，并与式(1)对比，得

(31)

其中e就是偏心率.于是，式(24)给出周期与能量的关系为

(32)

其中能量含在e中，且用到了r0的定义.式(25)给出平均半径与能量的关系为

(33)

该结果式(32)、(33)是否正确？可以用严格结果检验.平方反比引力场中存在如下关系[9]：

(34)

其中a为半长轴.前者就是开普勒第三定律，后者是用轨道参数表达的能量.两式消去a，将其中的E用e表示，并利用ω的定义，可得

(35)

其级数展开正是式(32).另一方面，对平方反比引力场中的粒子，有[9]

(36)

前者是轨道方程，后者表示角动量守恒. 由两式可计算半径的时间平均值为

将上面的周期表达式(35)代入，并利用ω,r0的定义，得到平均半径为

(37)

其级数展开正与式(33)相符.