从解题到研究——“计算物理”案例式在线教学举例

陆爱江

(东华大学理学院 应用物理系，上海 201620)

“计算物理”课程长期以来缺乏统一的授课标准，而且针对不同学校的生源和学校的特色、学科发展规划，需要讲授的内容也不尽相同，这一点从查阅到的教材情况可见一斑[1-7]. 但是笔者认为，这门课程开设的主要目的之一，也是普遍达成共识的教学目标之一，就是把学生从之前理论课程的学习过程中较为单一的解题、计算训练逐渐引导到对物理问题的研究讨论中来，通过系统的训练初步掌握计算物理的一些典型方法. 而这门课的成功开设，对学生的逻辑思维能力、数值分析能力都颇有裨益，在大学生学术竞赛(CUPT)等赛事中也非常实用.

随着在线教育的不断推广，“计算物理”课程因其特殊性，完全适应在线教育，老师只要在线提出问题，让同学们针对问题展开讨论和调研研究，就可以很好地开展教学活动. 同时，经过三轮的授课摸索，笔者发现该课程非常适合进行案例式授课. 在数值计算方法和算法的内容讲授完成之后，需要锻炼同学们思考、解决一些较为实际的问题. 这些问题不要过于高深、抽象，而是要贴近生活，让大家觉得有趣，同时又值得挖掘. 所以本学期笔者就尝试了案例式在线教学，在这里举一个运动学的例子加以说明.

首先通过在线展示一些图片或者播放视频片段介绍公路自行车运动，然后提出开放性问题：研究自行车运动员的速度和时间的关系，接下来的工作分为四个阶段进行.

1 学习调研查证，找到动力学条件

同学们可能会觉得不可思议，这里没有任何数据或其他量化条件，好像无从下手. 那么可以给出一些条件，比如出发时运动员速率为4 m/s，运动员体重70 kg[7]. 那么是不是有了这些条件就可以了呢？常识告诉我们，运动员会在一定时间段内加速，达到一个较高的速度来完成比赛，那么加速度是多大呢？

让学生在线做出讨论——是什么决定自行车运动员的速度变化呢？以下是课堂的部分记录：学生A说是运动员蹬踏，驱动自行车前进，所以这里应该考虑运动员作用在自行车上的力，而这个力就是产生加速度的原因；学生B说自行车前进是因为地面的摩擦力，这和我们走路是一个原理；学生C说是因为运动员蹬踏，让轮轴转动，轮胎有向后运动的趋势，摩擦力向前提供动力……大家运用了学习“力学”时的知识，最终达成了一致：是运动员的行为导致了地面的摩擦力，而对于运动员和自行车这个整体而言，摩擦力就是合外力，是产生加速度的原因. 这一过程让同学们回顾了之前学习的力学知识，并积极做出思辨和表达.

接下来，发动学生在线调研. 在运动过程中应该如何对运动员运动素质/能力进行评价？通过网络搜索或查阅体育类文献学生们发现，运动员的输出功率是运动员运动能力的重要指标，好的运动员能够具有稳定、高效的输出功率. 从资料中找到，一个国际比赛运动员的输出功率可以达到400 W[7]. 而这一条件将成为量化分析的一个依据.

2 运用基础知识列方程，数值计算得结果

(1)

(2)

时间步长取为1 s，即可得到数值解v(t).

请同学们把数值解和解析解作图比较. 学生在线分享的结果如图1所示，圆点为解析解，三角点为数值解，二者吻合很好. 此时老师指出：这一结果说明差分-欧拉方法数值求解完全适用于此类问题.

图1 根据式(1)解析求解(圆点标记)和根据式(2)数值求解(三角点标记)的速率-时间曲线

3 启发思考，在线讨论模型的合理性

此时老师提问：这个结果合理么？给出在线讨论时间. 很多学生发现，随着时间的推移，这里的速率单调增，到50 s时速率接近25 m/s. 而大家调研到环法公路赛运动员的最快时速为40～50 km/h，即11～14 m/s. 图1中的速率显然大大超过了实际的数据，而且还在随时间递增，显然是不合理的.

老师接着提问：那么造成这个不合理的原因何在呢？一定是建立的模型考虑不够全面，比如在受力分析中是否存在遗漏？同学们的回答多种多样. 同学A说：应该有一个阻力，只有起到阻碍的作用才会抑制图1中速率曲线的持续上扬. 同学B说：没有考虑摩擦力吧！同学C说：在空气中运动的物体必然受到空气阻力的影响，所以会不会是因为没有考虑空气阻力的原因呢？

老师第三次提出问题：应该考虑摩擦力还是空气阻力呢？同学们纷纷上网搜索，发现车轮滚动摩擦力很小，而空气阻力是公认的重要因素，甚至在阻力影响中占到85%(网络数据).

因为在线授课大都依托平台，在线讨论方便及时，这样既增加了网课的互动性，又有效利用了网络搜索的优势，学生参与度很高.

4 修正模型进行计算

(3)

数值求解留给学生完成，并在线分享. 之后教师给出解题参考：求解方程(3). 借助数值计算的方法. 用差分方法得到递推关系

(4)

计算中有效横截面积取为0.33 m2，空气密度取为1，P由之前条件已知为400 W，系数C暂时取为1. 时间步长仍取为1 s，数值求解得到图2中实线. 作为比较，把未考虑空气阻力的结果也呈现在图2中(虚线). 可以很清晰地看到，考虑了空气阻力后，运动员的速率不再快速上升了，而是收敛于13.4 m/s的速率并保持稳定. 对这一结果大部分同学们都表示认可，因为这和实际比赛的情况接近，最终的速率和报道中的选手车速吻合度非常好.

图2 未考虑空气阻力(虚线)和考虑空气阻力(实线)时速率-时间曲线

5 基于实验数据，调整计算参数

谨慎起见，目前这个结果比较适用于短程赛，也就是运动员体力没有明显下降的情况. 此时老师给出文献调研的结果——我国男子1 km自行车赛的数据[8]，所列数据都是运动员完成比赛所花的时间.

同学们计算出结果约为80 s，稍大于文献中的运动员成绩[8]. 于是有同学提出可能需要调整参数来改进计算结果，比如中国运动员体重普遍较轻，横截面积略小，等等因素.

老师提出：分组进行研究，通过控制因素法对各参数影响进行研究. 第一组，计算运动员体重变化的影响；第二组，计算运动员横截面积的影响；第三组，计算阻力系数的影响；第四组，计算输出功率的影响.

同学们的研究结果汇总展示如图3. 图3(a)是比较运动员体重为65 kg、70 kg、75 kg时(A=0.33 m2,C=1.0,P=400 W)的速率曲线. 可以看出，运动员的体重越大，稳定速率越小，而体重介于65 kg～70 kg速率的变化趋势几乎没有差别.

图3(b)比较了横截面积为0.30 m2、0.33 m2、0.36 m2的结果(m=70 kg,C=1.0,P=400 W). 可以看出，横截面积越小，稳定速率越大，所以在自行车设计、骑行姿势等方面都可以对运动员成绩加以提高.

图3(c)比较了阻力系数为0.8、1.0、和1.2的结果(m=70 kg,A=0.33 m2,P=400 W). 可以看出，C值越大稳定速率越小，而且这一系数比较敏感，会显著影响成绩. 而C过小，速率上升很快，偏离实际情况.

图3(d)比较了运动员输出功率为350 W、400 W和450 W的结果(m=70 kg,A=0.33 m2,C=1). 可以看出，运动员的体能(输出功率)对其成绩起决定性的作用. 输出功率大，其加速快，速率大.

图3 比较观察不同参数对模型的影响

通过对上述结果进行系统研究，最终调整运动员体重为65 kg,横截面积0.30 m2，输出功率500 W，阻力系数1.0，1 km骑行时间72 s，与文献吻合.

采用上述模型，又计算了男子4 km追逐赛成绩. 同学们通过计算预测的骑行时间为273 s，文献给出的国际最好水平是267±4 s[9]，所以该模型基本满足计算精度要求.

6 适当提高，让学生体会钻研的乐趣

至此题目似乎已经完成，但老师可以再给出一篇文献，针对环青海湖国际公路赛的结果[10]提出新的问题：研究人员发现，在不同阶段速率有规则起伏，也就是说，在道路状况不同的情况下运动员的骑行速度会受到明显影响. 而且因为此类赛事骑行距离长，平均速率一般只能在11～12 m/s. 所以这个模型还需要修改才能用于研究该类型比赛，或者说还有一些因素可以加进去以适应问题的多样性.

同学们再次进行了热烈的讨论，结论有几个比较有代表性：

1) 有明显的上下坡时还应考虑重力加速度的分量，所以力学方程应改写为

(5)

2) 输出功率应该不是一个常量，要根据自行车的损耗、运动员体能的下降写成一个时间的函数，即

(6)

3) 场地条件的不同带来轮胎与地面的摩擦不同.

(7)

4) 空气密度随海拔、气候情况发生变化[11].

(8)

随着方程的复杂度逐渐提高，解析求解显然无法完成，所以数值求解的重要性不言而喻.

经过这样一个案例的分析解决，同学们通过查阅文献、编程计算、作图、分析归纳等，初步体验了如何将物理问题深入化，对于“计算物理”内容的掌握具有积极的作用. 而在线教育方便同学们做出讨论和查找资料. 趁此机会，老师可以教会学生对电子资源，如知网等平台的搜索使用. 而为了方便讨论，同学们也体会到用图表而不是罗列数据来说明问题，无形中也强化了大家作图的技巧. 如果在课程中反复地训练和强化这些技能，无疑对学生们分析问题、解决问题的能力会有所提高. 所以笔者推荐在“计算物理”类专业课程的在线授课中，开展案例式教学的探索.