促进学生关联体验的高中数学核心问题设计策略研究

四川大学附属中学(成都市第十二中学)(610061) 冯小辉 罗文力

数学中的问题是灵魂,数学问题教学中的核心问题往往具有结构不良的特点:一是问题可能已为教材、教师所知,但没有很明确的答案和解决办法(有时教师在设计之初可能都不是很清楚,需要反复推敲、研究,甚至测试);二是问题的解决方式、途径、程序和策略等不具体,答案一般不唯一,呈现多样性,较开放性(数学课堂教学中的核心问题一般不是全开放的);三是问题体现较综合性[1].从目前我校的问题教学的研究和公开课的教研来看,我们的问题教学是以“核心问题”[2]来调动学生的学习活动,进行“核心问题”的解决,并要能促使学生内部问题情境的生成.学校研究的核心问题教学是指一节课中用于新知识学习之前的、以客观世界为材料且整合了教科书重点内容与拓展内容的、适应学生身心活动且对身心活动有具体要求的、能促进学生深度体验特别是关联体验的中心问题或者中心任务.即核心问题是“能促进学生深度体验特别是关联体验的”问题.因此数学核心问题教学法是问题教学法的延续和创新,其核心问题的设计及核心问题引导探究可遵循如下的策略:

1 生活化处理教材,用核心问题激发学生兴趣,促进学生数学与生活的关联

新课程标准的数学教材在问题的设置上有较好的体现,教师应具有创新行为,必须在数学教学设计中结合学生的认知水平能动处理教材内容,对教学内容进行生活化处理,要敢于对教材进行重新加工,通过增补、删减、调换重新聚合出核心问题,这样设计的问题与学生日常生活和学习密切相关,能激起学生的兴趣,调动学生积极思维,通过对问题的探究和解决,锻炼思维的敏捷性、灵活性和创造性,通过反思、归纳生成新的知识和方法,提高运用知识解决问题的能力.

如“椭圆及其标准方程”(下称“椭圆”)中的核心问题定为“描述椭圆”.

设计分析:本节课是圆锥曲线的第一节课,学生通过对圆的学习和研究,对如何研究平面曲线有了一定的缄默知识.对椭圆的认识源于生活中的经验,学生能从日常生活中椭圆形的物体中抽象出椭圆图形,对椭圆的对称性及圆扁程度等有了初步的认识.并能依据这种初步的认识,描绘出椭圆的草图,且能够从图形上区别出椭圆与圆,但对椭圆的本质特征尚不知晓,不会用数学的眼光去认识椭圆,不能用精确的数学语言描述椭圆.因此,这一核心问题的设计是教师合理利用教材,生活化处理的一个例子,使问题源于学生实际和教材,又能激发学生的兴趣,促进学生数学与生活的关联.

引导探究:本课在探究和解决核心问题时,采用了逐层递进的方法,首先从学生观看生活中的椭圆图片入手,围绕如何“描述椭圆”的核心问题展开.整个过程分成三个板块,第一版块是:画图形——规范刻画图形.这个板块又分成三步,首先,让学生画心目中的椭圆,并谈谈对椭圆的初步认识,这样使学生的一些缄默知识得到部分呈现.其次,教师提供适当的工具,规范作图形——形象化认识椭圆,根据学生自己画出的椭圆,找出椭圆上的点具有的几何性质.视学生回答的具体情况,最后是让学生三画椭圆,修正、完善前面得出的结论,并且找出各种情况下的几何图形.第二板块:下定义——定性述说椭圆.根据以上得出结论,用规范、简洁的文字语言来述说椭圆,同时使学生的缄默知识得到纠正和丰富.第三板块:求方程——定量表示椭圆.根据以上得出的椭圆定义,让学生选择恰当的平面直角坐标系,求出椭圆的标准方程,定量表示椭圆.从而达到了从不同角度,多种层次解决描述椭圆的问题,最后反思解决核心问题的过程,归纳总结生成高中数学解析几何研究曲线方程的认知程序,操作方法、思维模式,同时也提高了解决问题的能力.

2 深刻挖掘教材,提升核心问题的综合性,促进学生数学知识与方法的关联

数学新课程标准要求,教学目标不应停留在“教过”或“教懂”、“教会”的层面上,而要实现“会学”、“会用”的第二次飞跃,才是教学的最终目的.因此,在深刻挖掘教材的基础上,设计解决角度、方法都很都的核心问题,提升核心问题的综合性,设计一些类比、开放、综合性问题,发散和拓宽学生思维,通过设疑、释疑、对比、类比进行独立思考或合作讨论交流等寻找问题解决的办法,呈现不同的解决办法、方式和结果,在不同的解决层次的交锋碰撞下,归纳和掌握新的知识和方法,获得不同的情感体验,提高综合能力[2].

如“组合”中核心问题设计为:“求借书、选班干部等问题的不同方法数?

设计分析:本节课是学生学习了第一节“分类计数原理和分步计数原理”和第二节“排列”,对本章有了一定的认识和理解的基础上进行的,学生对如何学习和研究这类问题有了一些思路和方法,这为建构组合的意义和探究组合问题提供了可能,但要让学生在一个较好的核心问题的激发下,有较高的兴趣和热情解决一类新的组合问题,并类比排列探究和归纳出组合的概念及组合数公式,还需要一个好的核心问题来提升、引领和推进.因此,本课直接提出问题1.1、1.2、1.3、1.4 的借书和选班委的问题,既作为外部问题引出课题,又作为核心问题“求借书、选班干部等问题的不同方法数”问题组,一箭双雕.该问题在一个“等问题”的提示下具有一般性和综合性,明确指出学生需要探究和归纳问题的一般规律和方法.

引导探究:本课在核心问题的引导下,学生分四人小组活动,解答上述问题,可以出现不同层次.展示问题的解决思路、方法和部分结果,包括不能解决或未想完整的思维过程.在此基础上师生一起建构组合的意义,排列与组合的区别和联系,组合数的定义记法等.这样设计学生活动充分,同时又为探求组合数公式制造了悬念.这样就给学生营造了一种悬而未决,又力图解决的认知冲突状态,促使学生内部问题情境的生成.一定的思考、探究和建构后,核心问题中“等问题”的表述可以进一步促使学生的内部问题情景的生成,继续自主活动和小组讨论,探究未解决好的问题1.2,并对问题1.2刚才的解决方法和思路进行整理或修正,进一步展示交流问题1.2 的解决思路和方法,寻求排列与组合的内在联系,进而类比、概括、归纳出组合数公式.生成了新知识和新方法,并丰富了学生类比的思想方法,发展了用联系的观点看问题的习惯,促进了分辨事物的综合能力等.

3 创设最佳问题情境,引导学生参与体验,促进学生数学与境遇的关联

核心问题的合理呈现、核心问题设计的最优化与最佳教学情境的创设,可以将学生引入一种与问题相关的情境中,从而激发、调动学生的积极思维,营造良好的学生内部问题情境,因此,教学中必须优化问题的呈现方式与技巧,创设最佳的教学情境,引导学生有更多的机会主动参与到教学中去,多角度联想、思考、探究、体验,通过看、想、听、说、做等活动方式,使学生学习过程行为化,创造出一种学生敢做、敢想、敢说、感兴趣的开放型的课堂氛围,从而提高运用知识解决问题的能力并锻炼学生的胆、才、学、识,语言组织能力、口头表达能力,有效地实现较高的教学目标[3].

如“双曲线及其标准方程”(下称“双曲线”)中的核心问题定为是“怎样像椭圆一样探究双曲线定义和标准方程”.

设计分析:本节课是圆锥曲线的第二部分双曲线的第一节课,是在学习椭圆的基础上,进一步研究学习双曲线的定义、方程和几何性质,可以类比椭圆的学习方法和思维模式,但也有双曲线的特点和难度.学生对如何研究平面曲线有了一定的缄默知识,但对生活中的双曲线的现实模型和动态的双曲线的轨迹的印象很少,仅仅对初中的反比例函数的图象是双曲线有一点记忆,很难说出双曲线是什么样的曲线,在这方面的缄默知识只是想象椭圆那样研究和学习双曲线,主动去探究双曲线定义的产生、发展和归纳的过程,去推导双曲线的标准方程.

引导探究:本课在核心问题的引导解决时,教学设计为先让学生听一段难得的数学歌曲“悲伤双曲线”,这首歌写出和唱出了双曲线为何悲伤? 与椭圆的不一样,很好的营造良好的学习情景,激发学生的学习兴趣和学习欲望.不失时机最优化的呈现核心问题,“怎样像椭圆一样探究双曲线定义和标准方程? ”然后展示和介绍由教师和学生共同收集的双曲线图片,唤醒学生的双曲线现实模型的模糊记忆.然后,告诉学生双曲线的一些历史,双曲线又称“拉链拉出双曲线”,让学生试着用拉链拉双曲线,学生可能感受到一点画法,或者是乱画一气,几乎是画不出来的,由师生共同展示和完成拉链拉双曲线的方法,但学生可能仍然无法得到双曲线上的点所满足的几何条件,教师再通过计算机软件几何画板模拟拉链拉动的过程,准确形象直观的展现双曲线的画法,并能仔细的观察到双曲线上的每一个点的轨迹特点,这样有利于学生深刻理解和领会双曲线定义的产生发展过程,从而归纳出双曲线的几何条件和标准定义.接下来,学生类比椭圆的学习经验、探究方法和研究程序,能较好的推导出双曲线的标准方程.同时设计的另一个重点放在类比椭圆与双曲线标准方程的特征和类比反比例函数图像与双曲线图像特征,既有利于旧知识的回忆巩固,又能把新知识有比较,印象更深刻,学生从相互的联系与区别中认识到事物的相互联系和相互转化.

4 培养“问题意识”,提高解决问题的能力,促进学生数学与问题意识的关联

“问题意识”是指一个人面对认知对象时产生的一种环境、困惑、探究的心理意识.问题是思维的结果,又是思维的动力,更是创新的萌芽,敢不敢于提问,善不善于提问,在很大程度上决定一个人是否具有创造性思维和创造才能.敢于提出问题、善于提出问题是培养善于分析问题和解决问题能力的前提.可以让学生“无中生有”、“有中生异”、“拾级而上”等,让学生产生提问的兴趣,进而提高问题的质量,然后培养学生“类比提问”、“探源提问”、“聚合提问”引导学生由此及彼、触类旁通、追根究底、发散思维等[5].根据核心问题的特点,培养学生“问题意识”的目的在于提高学生发现问题、提出问题、探究问题的能力,并在教师的引导下找到解决问题的途径,掌握解决问题的方法,形成解决问题的能力.

如“抛物线及其标准方程”(下称“抛物线”)中的核心问题定为“探求平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹方程”.

设计分析:本课是在学习了圆、椭圆和双曲线的基础上探求抛物线的方程,学生对怎样研究圆锥曲线已经有较多的知识、方法及程序等,特别是椭圆和双曲线的第一和第二定义的学习和研究,学生对“坐标法”研究圆锥曲线的轨迹方程有较为深刻的认识,易类比提出问题“对平面内到一个定点的距离F与到一条定直线l的距离的比为1 的点的轨迹是什么? ”,但对抛物线的认识还是感性的,没能上升到理性的高度去认识,没有深入地研究抛物线的几何性质,对“探求平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹方程”这一问题不存在程序上的障碍,认识圆锥曲线的本质,是图形的几何性质和标准方程的内在关系,对如何寻求一个易于研究抛物线的几何性质的标准方程,却是多数学生感到棘手的问题.

引导探究:抛物线这一课,鉴于它是圆锥曲线的最后一种类型,如果再沿用椭圆和双曲线的教学模式,就没有什么新意,学生会产生认知疲倦感,也不符合学生的认知规律,学生的认知水平和研究问题的能力随着前面两种圆锥曲线的学习明显有较大的提高.因此,在学生对到一个定点F的距离和定直线l的距离的比是常数e的点的轨迹,当0＜e ＜1时是椭圆,当e ＞1 时是双曲线,学生自然会产生疑问:当e= 1 时轨迹是什么呢? 它的方程又是什么形式呢? 探求方程的过程又是怎样的? 能不能象描述椭圆和双曲线那样的过程进行描述? 这一连串的问题学生自己能够感知甚至主动提出.于是设计时采用欲擒故纵的方式,先让学生带着自己的问题探求平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹方程,由于学生建立的坐标系不同,得到的曲线的方程也有区别,学生顿时产生了疑惑,迫切想找到这种区别的根本原因所在,从而学生可以建构出抛物线的定义,教师可以引导学生从数学美学的角度去分析如何建立坐标系能使曲线更对称、方程更简单,调动学生更主动地去领悟方法,总结归纳出抛物线的标准方程.

在日常的数学核心问题教学中,应根据数学的学科特点,针对不同类型、不同专题和不同章节内容,采用不同的核心问题设计及引探策略,尽可能的发挥核心问题的引领、促进和推动课堂教学的重要作用,充分调动学生的主动性积极性,自觉参与学习探究、交流反思等活动中去,发展学生的思维能力,提高学生解决数学问题的综合能力.