经过Rayleigh-Benard流的角动量分筛

张春旭，朱笑生，曹惠宁，任天荣，辛 煜

（1.南京理工大学电子工程与光电技术学院，江苏南京 210094；2.上海机电工程研究所，上海 201109）

0 引 言

利用轨道角动量在空间中进行编码通信，不仅具有抗电磁干扰、高安全性的特点［1］，还可以大幅提高系统的传输速度，已广泛应用于楼宇间通信网络、卫星地面通信网络、军事安全和临时通信网络等［2］。光束角动量的清晰表达是由Poynting 提出的，他使用了一个机械形式的类比来解释圆偏振光束带有角动量，当光的角频率为ω时，角动量和能量的比为l/ω（l为拓扑荷）。1930年，Beth 在实验中发现，光的角动量可以使个别物理对象产生旋转，此后人们意识到光角动量分为自旋角动量和轨道角动量。1992年，Allen 提出，使用相位截面exp(ilθ)（其中：i 为虚数单位；θ为周向角度）来描述的螺旋相位波前光束可携带特定的轨道角动量［3］。

单一模式的轨道角动量光束经过散射光场后，对其他模式产生串扰，变为多个轨道角动量模式的叠加态。对叠加态中的各个模式成分进行定量分析检测，对研究散射光场的特性具有重大意义。之前多位学者提出了多种轨道角动量的检测方法，其中最常用的方法是利用马赫-曾德干涉仪使涡旋光束与平面波、球面波或其他光束进行干涉［4-6］，虽然马赫-曾德干涉仪可以有效地对多个轨道角动量同时进行检测，但随着被检测模式数的增加，干涉系统会变得十分复杂。除此之外，光学坐标变换法［6］，光栅法［7］、光阑衍射法［8］也被多位学者研究。考虑到实验的可行性，系统的复杂性、鲁棒性，选择光学坐标变换法对多模式叠加态轨道角动量进行分筛。

由于复用系统具有高效的传输效率，其在通信系统中得到广泛应用。轨道角动量通信系统的核心设备为轨道角动量解复用器，通常由复合型分叉光栅构成。这里，需要区分通信系统非相干合成的“解复用”与我们所面临的分筛问题的不同。以达曼光栅为例，其功能是在空间上有效地分离同轴传输的多个轨道角动量模式，使得不同模式携带的信息可以不受干扰地被处理和检测。所以，在相干合成系统（叠加态）中，“解复用”方法是不适用的。

本文中，我们阐述角动量的光学坐标变换法分筛原理，并讨论经过Rayleigh-Benard 流散射光场的角动量分筛。

1 基于空间光调制器的叠加态轨道角动量产生方法

利用计算全息可生成涡旋光束，计算机控制的纯相位空间光调制器（spatial light modulator，SLM）的出现，使得衍射光学元件的实时更新变得容易实现。拉盖尔-高斯（Laguerre-Gaussian，LG）光束被证实其携带轨道角动量，表达为

式中：k是波矢；R是波前的曲率半径；w是光束高斯项的放大因子；n和m是Hermite-Gauss 模式的指标，其中n和m的最小值min（n，m）＝p，拓扑荷l的大小为（n-m），通常和p一起作为LG 模式的指标；Gouy相位ψ＝arctan（z/zr），通过瑞利半径给出，其中z为传播距离，zr为Rayleigh 长度；Ll P（r） 代表广义拉盖尔多项式；r和ϕ为极坐标系下的极径和极角。不同LG 模式光束之间呈正交关系，可以进行线性叠加，从而使整个光束携带多个轨道角动量模式。

空间光调制器除了可以产生拉盖尔-高斯光束以外，还可以产生任何其他的复杂光束，例如拉盖尔-高斯光束和贝塞尔光束的叠加态。相比较于螺旋相位片，计算全息法虽然效率不高，但产生的光束质量较高，利用空间光调制器可以灵活地产生拓扑荷不同的叠加态的光束。通过计算平面波与目标干涉，得到相干图像的干涉灰度图，用平面波照射到空间光调制器液晶体表面时，可生成拉盖尔-高斯光束。

我们希望使输入光场Ein(x，y)＝Ain(x，y)exp(iϕin(x，y))经过纯相位的全息图H＝H（x，y）后，生成目标光场（螺旋相位光束）Edes(x，y)＝Ades(x，y)exp(iϕdes(x，y))，考虑到经过SLM后，输出光场应与零阶反射在空间上分离，使场纯度最大化［9］，即

考虑空间光调制器和入射光场的夹角θ＝0，同时忽略光束在SLM表面反射造成的均匀衰减，则全息图的效果可表达为

式中：r̂＝(x̂，ŷ，ẑ)；k′in为输入光场波矢；kdes为目标光场波矢。

对应的振幅关系为（u，v），在区间［0，1］内取值；总的相位关系为ϕrelg(x，y)＝ϕdes(x，y)-ϕin(x，y)＋（kdes-k′in）·⌒r。假设kdes和k′in之间存在一个小角度空间偏移，可通过一个相位光栅ϕg(x，y)来实现，即

通过取余函数Mod，可以生成以Λ＝2π/(kdesk′in)为光栅周期的闪耀光栅。通过比较Clark［9］所给出的6 种叠加态轨道角动量的产生方法，选择了其中效果最好且较为简单的方法A。方法A是通过全息复现最简单的方法，产生一个矫正的输入全息图，将相对相位作为调制信号加载到空间光调制器上，即

虽然这种方法产生了具有所需相位和空间偏移量的波束，但强度剖面仍然与输入波束相同，只是在相位不连续的位置附近传播后才出现暗区。同时，式（3）振幅调制是必要的，这可以通过调制总相位剖面的深度来引入，即通过函数f（A（x，y））调制ϕrelg(x，y)在空间上降低光栅高度会降低衍射效率，因此通过函数f（A（x，y）），对一阶衍射强度进行控制，实现全光束成形。这使得全息图H（x，y）满足以下形式：

式中：f(A(x，y))＝Arel(x，y)。

有许多方法可以生成这种形式的全息图，尽管其解析看起来是精确的，但实验效果优劣各异，任何方法都有其不完美之处。本文综合运用全息图法，为了获得质量更高的拉盖尔-高斯光束，牺牲了衍射效率，用正弦光栅代替了方法A中的闪耀光栅。

图1 给出了拉盖尔-高斯光束理论强度分布、实测强度分布、全息光栅分布及相位分布。

图1 拉盖尔-高斯光束理论强度分布、实测强度分布、全息光栅分布及相位分布Fig.1 Laguerre-Gaussian beam theoretical intensity distribution，measured intensity distribution，holographic grating distribution and phase distribution

图1中：第一列为仿真得到的拉盖尔-高斯光束；第二列为实验实测的拉盖尔-高斯光束；第三列是加载至SLM上的正弦光栅结构全息图（右下角插图对应红框中放大的部分）；第四列为各个拉盖尔-高斯光束对应的相位分布；第一行对应拓扑荷为1的拉盖尔-高斯光束；第二行对应拓扑荷为1和3的叠加态拉盖尔-高斯光束；第三行对应拓扑荷为-3和3的叠加态拉盖尔-高斯光束。

2 轨道角动量的分筛

当流体或气体以不同速度相对运动时，由于其黏性的作用，相邻的两层流体之间会形成剪切力。随着相对速度的增加，两层流体间可形成不稳定分界面，使流体局部受力不平衡，可以形成各种各样的漩涡以及不同流层之间相对运动的重叠，继而产生大气湍流现象［10］。大气温度和压力随时间变化和随机变化导致大气光密度的变化［11］。这将导致折射率的空间依赖变化，使得光束发生散射，导致传输光束的相位畸变［12-14］，从而导致光束轨道角动量的畸变。因为湍流对不同模式间正交性的破坏，以及对光束能量的衰减弥散，畸变的轨道角动量模式可以分解为多个轨道角动量模式［15］，导致轨道角动量螺旋谱展开，单个轨道角动量模式退化，并向其他轨道角动量模式串扰。

对于轨道角动量经过湍流散射的问题，考虑对轨道角动量进行分筛，目前已经提出了许多可用分筛技术。Davidson 等［16］曾提出利用相位元件对光学目标进行笛卡尔坐标到对数-极坐标的变换，将螺旋相位光束转换为具有横向梯度相位的平面波。

对于平面波而言，透镜可以将平面波聚焦为焦平面上的一个点，焦点横向位置取决于平面波的横向相位梯度，从而使探测器阵列可区分传播方向不同的平面波。对于任何两个平面波的分离，都需要在透镜的孔径范围中额外增加或减少2π的相位改变量，从而导致光斑位置上的差异，其效果可与瑞利分辨率限制相媲美。坐标变换使得N个拓扑荷不同的轨道角动量光束转换为N个不同横向梯度相位的平面波，进而在透镜焦平面处形成N个位置不同的焦点，根据焦点的横向位置分布可以确定轨道角动量模式成分。

(x，y)和(u，v)是坐标变换系统输入平面和输出平面的直角坐标位置，光学元件产生(x，y)→(u，v)的坐标映射，使 得v＝aarctan(y/x)，同时保证u＝执行变换光学元件的相位分布可描述为

式中：f为距离常数，表示两个变换元件之间的物理距离；a为常系数，影响传输后图像的横向长度，a＝d/2 π，d为光束变换后在输出平面的v方向上图像的横向长度；λ为光波波长；b作为修正参数可以独立于a进行选择，常系数a和b共同影响变换后的光束在u方向上的长度。执行相位矫正光学元件的相位分布为

变换光学元件的相位分布上融入了等效透镜的概念，式（7）和（8）这两个公式中的第二项为等效透镜因子，即焦距为f的透镜。执行坐标变换以及相位矫正光学元件的相位面型如图2所示。

图2 全息器件相位分布Fig.2 Phase distribution of holographic devices

3 实验验证及结果分析

实验设置如图3所示。激光器发出波长为632 nm的可调功率激光束，由放大倍率40X的显微物镜L1和f＝150 mm 的光学透镜L2 组成的开普勒式望远镜扩束，在其焦平面处使用孔进行滤波，以保证扩束光束输出质量。空间光调制器SLM1 上产生全息光栅，使衍射±1 级生成携带单个或多个轨道角动量模态的螺旋相位光束，由分束棱镜BS1 反射到分筛系统。虚线框的部分表示可以选择性地放置4f 系统或流场。分束棱镜BS2 接收螺旋相位光束，反射到空间光调制器SLM2 上。空间光调制器SLM2 加载坐标变换相位，经过传播后到达空间光调制器SLM3，在SLM3 表面完成坐标变换。空间光调制器SLM3加载相位矫正相位，使变换后的光束以平行形式向后面系统传播。复消色差透镜L3 和光学透镜L4 组成开普勒望远系统，压缩光束直径。复消色差透镜L5 将不同相位梯度的平面光束聚焦在相机的不同位置上。

图3 实验设置Fig.3 Experiment settings

利用以上方法，实现了从l＝-4 到l＝4，分别呈现9个轨道角动量的分筛，结果如图4所示。

图4 9个轨道角动量的分筛结果Fig.4 Sorting results of 9 orbital angular momenta

在图3 的虚线框中，制作了底部具有发热功能的透明水槽生成瑞利-贝纳尔流场扰动，通过控制电压大小调整流场强度，原理及实物分别如图5（a）和（b）所示。实验中对两个叠加模式进行分筛，图5（c）展示了对l＝±3 模式的分筛结果，如图5（d）则是加入流场扰动后的分筛结果。对比图5（c）和图5（d）可知，原有的模式焦点消失，向其他模式串扰；当轨道角动量复用态的光强受湍流影响时，会出现明显的闪烁现象，湍流强度越大，影响越大；随着湍流强度的增加，轨道角动量态之间的色散度增加，强湍流导致轨道角动量复用光束畸变。

图5 模拟瑞利-贝纳尔流场实验及分筛结果Fig.5 Quasi-Rayleigh-Benal flow field test and sorting results

4 结束语

本研究关注轨道角动量光束经过流场后发生的现象。使用相位光学元件对携带有轨道角动量的光束进行了有效的分筛测量，并利用自制的瑞利-贝纳尔流场生成装置，观察到了轨道角动量光束经过流场后其轨道角动量的变化。研究结果表明：当光束传播的路径上有流场产生时，会影响到光束的波前，从而使得原始的轨道角动量模式退化，并向其他轨道角动量模式串扰。