基于NSGA-II算法的钛合金加工多目标优化

2021-12-25庄可佳赵培翔

数字制造科学 2021年4期

庄可佳，赵培翔，代星

(1.武汉理工大学机电工程学院，湖北武汉 430070;2.华中科技大学数字制造装备与技术国家重点实验室，湖北武汉 430074)

随着轻量化、整体化设计概念的推广，钛合金凭借其高比强度、高热强度、强抗腐蚀性等优良特性，被广泛应用于航空航天、船舶、化工等领域[1-2]。在钛合金零件的生产加工过程中，加工效率和表面质量一直是人们关注的重点，较高的切削效率有助于降低生产成本，减少加工时间，但是往往会导致工件的表面质量降低，而随着绿色制造的概念越来越深入人心，如何在确保表面质量的同时提高切削效率，降低切削能耗已经成为钛合金零件加工的关键问题。由于切削参数是影响上述目标的主要因素，因此以上问题可以转化为对切削参数的优化问题，它是一项具有挑战性的工作。

切削参数一般包括切削速度、进给速度、切削深度等，适当选择切削参数可确保产品质量，延长刀具寿命，降低加工成本，降低功耗并提高生产效率[3-4]。切削参数的优化问题一般需要先建立切削参数与目标之间的关系模型，然后再借助上述模型和优化算法实现参数的优化。因此，在对切削参数进行优化之前，需要明确切削参数与优化目标之间的关系。常用的建模方法有田口方法、响应曲面法(response surface methodolog,RSM)和人工智能方法等。马尧等[5]以TC25钛合金材料为切削对象进行了铣削实验，并运用正交实验法分析了主轴转速、每齿进给量、轴向切深、径向切深等切削参数对表面粗糙度的影响规律，建立了较为精确的表面粗糙度多元线性回归预测模型。唐超兰等[6]以主轴转速、进给速度、轴向进给量等为实验因素对6061铝合金进行了铣削实验，并建立了铣削参数与表面粗糙度之间的反向传播神经网络预测模型，实验证明该模型具有较好的预测精度。

由于切削过程的复杂性，在实际加工条件下，对切削参数的优化一般必须同时优化几个不同且相互矛盾的目标。常用的优化思路有两种，一是利用加权求和或者灰色关联分析等方法将多目标问题转化为单目标问题；二是同时考虑多个目标，使用多目标优化算法来寻找能够尽可能同时满足多个条件的参数组合，它可以有效地确定多个最佳切削参数的值。Khan等[7]探究了进给、切削速度、切削深度、切削条件对Ti-6Al-4V钛合金材料车削加工过程中的比切削能、刀具磨损、表面粗糙度和材料去除率的影响规律，并使用灰度关联分析法和响应曲面法得出了最佳的切削参数组合。翁剑等[8]分别采用了MOEA/D(multi-objective evolutionary algorithm based on decomposition)、NSGA-II(non-dominated sorting genetic algorithm-II)、SPEA2(strength pareto evolutionary algorithm 2)、NSPSO(non-dominated sorting particle swarm optimizer)等多目标优化算法优化了钛合金插铣过程中的加工参数，最终发现NSGA-II方法优化效果最好。在实际加工过程中，加工条件比较复杂，加工需求多种多样，使用第一种思路并不能很好地应对这些情况，因此目前使用多目标优化算法是解决加工参数优化问题的趋势。

笔者以常用航空材料TC4钛合金作为实验材料设计实验，测量了铣削过程中的切削功率和工件的表面粗糙度，使用支持向量机算法分别建立了切削参数与比切削能、切削参数与表面粗糙度之间的关系模型。最后以最小化比切削能和最小化比切削时间为目标，表面粗糙度为约束条件，采用NSGA-II算法优化切削参数，以达到提高加工效率，减少刀具损耗，保证产品质量的目的。

1 实验设计

根据厂家推荐参数和经验设计了实验的参数值，分别将切削速度V、每齿进给fz、切削深度ap、切削宽度ae和切削长度L分为4个水平，具体水平设计如表1所示。本实验一共规划了20组不同的切削参数组合，在每一组实验中，铣刀由右向左水平移动设定的切削长度，并测量记录切削过程中机床的功率值和切削完成后工件的表面粗糙度。为了更好地表征切削能耗和切削效率，分别采用比切削能(specific cutting energy consumption, SCEC)和比切削时间(specific cutting time, SCT)来描述这两个目标[9]，其计算表达式如式(1)-式(3)所示。

表1 切削参数设计

(1)

式中：Pcut为瞬时切削功率；tcut为切削时间；MRV为材料去除量。

(2)

MRV=tcut×MRR

(3)

式中，MRR为材料去除率。

针对钛合金材料进行了铣削实验研究，实验选用切削速度、每齿进给、切削深度、切削宽度和切削长度共5个切削参数作为实验变量，测量了工件表面粗糙度和切削过程中的机床功率。实验在机型为VMP-30A的立式加工中心上进行，所选用的工件材料为TC4，使用的刀具是来自Walter公司的四刃球头硬质合金铣刀。机床功率数据是通过Yokogawa公司的CW500功率测量计进行采集的，工件表面粗糙度数据由Mitutoyo公司的SJ-210测量仪测量获取。具体实验装置如图1所示。

图1 实验装置

2 预测模型与参数优化

2.1 基于贝叶斯优化调参的支持向量机建模

切削能耗与表面粗糙度的预测属于回归问题，ε-SVR(εsupport vector regression)是一种求解回归问题的支持向量机算法，笔者使用这种算法分别构建了比切削能与表面粗糙度的预测模型，其中使用的核函数为径向基核函数。为了获得最好的预测效果，需要找到ε-SVR模型里最合适的超参数C、g和ε[10]。基于交叉验证和网格搜索的方法最常被用来寻找ε-SVR模型的最优超参数，这种方法类似于穷举遍历，如果网格间距设置过大，则很容易漏掉最优参数组合，如果网格间距设置过小，则会导致计算量过大，寻优时间过长，因此选择合适的网格密度是比较困难的。为了避免这种情况，使用贝叶斯优化法(bayesian optimization)代替网格搜索法来寻找ε-SVR模型的最优超参数组合。贝叶斯优化主要有两个关键步骤，一是需要选择一个先验函数(priors function)来表示被优化函数的分布假设, 任何贝叶斯方法都依赖于定义的先验分布；另一个是需要定义一个采集函数(acquisition function)，用于从模型后验分布中确定下一个需要评估的点[11-12]。

2.1.1 先验函数

目前最常用的先验函数是高斯过程(gaussian process)。高斯过程是多维高斯分布向无限维的扩展，其中任意有限维组合都是高斯分布。高斯分布是由随机变量的均值和协方差定义的随机变量的分布，类似地，高斯过程是由函数f(x)的均值μ(x)和协方差函数k(x,x′)定义的函数分布：

f(x)～GP(μ(x),k(x,x′))

(4)

为了方便起见，在此假设先验平均值为零函数μ(x)=0；协方差函数k(x,x′)定义如下：

(5)

假定已知{(xi,fi)|i=1,2,…,t}，其中{fi=f(xi)|i=1,2,…,t}，函数值是从一个高斯分布N(0,K)获得的，它的协方差矩阵K可以表示为：

(6)

假设通过训练数据拟合获得了函数值{f1:t|x1:t}，对于一个新的样本点xt+1的输出ft+1，根据高斯过程的性质可知，f1:t和ft+1的联合分布如下所示：

(7)

其中，k可以由式(8)计算获得：

k=[k(xt+1,x1)k(xt+1,x2) …k(xt+1,xt)]

(8)

通过计算可得ft+1的后验分布为：

(9)

μt(xt+1)=kTK-1f1:t

(10)

(11)

2.1.2 采集函数

采集函数的作用是选择新的需要评估的样本点，它的选择需要综合考虑利用(exploitation)和探索(exploration)两个方面的影响。exploitation简单来说就是尽量选择当前的最优解周围的点，这样点的分布会出现一个密集区域，容易进入局部最大；exploration简单来说就是尽量探索未知的区域，这样点的分布会尽可能的平均，避免陷入局部最优解。笔者采用EI函数作为采集函数，表达式如下：

EI(x)=

(12)

其中，

(13)

式中：Ф(x)为正态累积分布函数；φ(x)为正态概率密度函数；f(x*)为现有的最优样本点的函数值；μ(x)为均值；σ(x)为标准差。

EI函数求的是未知点函数值比f(x*)大的期望。

2.1.3 贝叶斯优化流程

贝叶斯优化本质上是求解未知目标函数的全局最优解的问题，它可以简化为如下数学表达式：

(14)

式中：x为需要优化的参数；f(x)为目标函数。

算法流程如下：

(1)基于已知目标数据集D={xi,yi=f(xi)|i=1,2,…,n}建立高斯过程回归模型；

(2)根据EI函数获取新的样本点xn+1，在此过程中要权衡exploitation和exploration；

(3)获取新样本点处xn+1的目标值yn+1，并将新的数据{xn+1，yn+1}添加到数据集D中。

2.1.4 支持向量机建模

从20组实验数据中选取16组数据作为训练集，以它们的切削参数作为输入特征，表面粗糙度和比切削能作为输出值，分别构建了两个支持向量机模型，剩余的4组数据作为测试集，用来验证模型的精度。模型在训练过程中通过贝叶斯优化的方法选取了表面粗糙度模型的参数C、g和ε，分别为14.458 624 95，1.621 481 99和0.000 001；选取了比切削能模型的参数C、g和ε，分别为2.666 113 73，0.142 565 95和0.001 098 96。图2和图3分别为表面粗糙度模型和比切削能模型在测试集上的预测效果图。结果表明，表面粗糙度模型训练集与测试集误差都非常小，测试集的平均相对误差为2.04%；比切削能模型训练集个别样本点误差较大，但是整体误差相对较小，测试集的平均相对误差为6.25%，由此可见支持向量机模型可以很好地反映切削参数与目标值之间的关系。

图2 表面粗糙度模型(ε-SVR)的预测效果

图3 比切削能模型(ε-SVR)的预测效果

2.2 求解Pareto前沿

使用基于Pareto解集的非支配排序遗传算法[13]。在实际的切削加工中，复杂的工况和多种需求都决定了切削参数组合的选取不能单一，而NSGA-II可以很好地应对这种情况，它通过求解非支配解集的方式提供多个优选切削参数组合，可以满足不同的技术需求。

材料去除率越大，比切削时间越小，则生产效率越高，另一方面考虑到减少能耗和系统稳定性，比切削能越小越好。除此之外，零件加工还需要考虑表面质量，根据不同的加工要求，表面粗糙度需要低于约定值，因此在这里把表面粗糙度作为一个约束条件。其优化模型如下：

(15)

S.t.

45≤V≤60 m/min10≤ap≤16 mm0.1≤ae≤0.4 mm0.04≤fz≤0.07 mm/zRa≤1.2 μm

(16)

由于存在约束条件，因此不能使用无约束的NSGA-II算法进行求解。对于这种情况，可以采用带约束的支配关系来处理。在存在约束的情况下，每一个解都可能可行或不可行，对于一个解x，若其满足约束条件，则称该解为可行解，若不满足，则称之为不可行解。因此，最多可能存在3种情况：①两个解都是可行的；②一个解可行，另一个不可行；③两个解都不可行。对于单目标优化来说，当遇到上述3种情况时，可以分别采用以下准则来确定应该选择哪个解：

(1)选择具有更好的适应度值的解；

(2)选择可行解；

(3)选择具有较小的约束违反值的解。

约束违反值可以描述一个解对约束条件的违反程度，当约束条件中的不等式转化为gi(x)≤0，等式转化为hj(x)=0时，则一个解x的约束违反值可以描述如下：

(17)

其中，式(17)中的gi(x)≤0时，则=0，否则=|gi(x)|。显然，对于可行解来说，约束违反值为零，而对于不可行解来说，其约束违反值较小的更符合选择的要求。结合以上所述，多目标优化问题的约束支配关系可以重新定义，对于任意两个解i，j来说，i约束支配j应该满足以下一个或任意一个条件：

(1)i是可行解，而j是不可行解；

(2)i，j都是不可行解，但是i的约束违反值小于j的约束违反值；

(3)i，j都是可行解，但是i支配j。

这种约束支配原则可以使得任何可行解都比任何不可行解具有更好的非支配等级，而当两个不可行解对比时，约束违反程度较小的解排名更高，排序完成之后根据其非支配级别对所有解进行排序。这样对非支配原则的这种修改不会改变NSGA-II算法的计算复杂性。

根据以上原则添加了NSGA-II算法的约束项，种群规模设置为100，进化代数设置为150代。图4为Pareto最优解集，X轴为比切削能，Y轴为比切削时间。从图4可知，在Pareto前沿上，当一个响应改变时，另一个响应也会发生变化。当比切削时间增加时，相应的比切削能会随之降低。具体的切削参数组合的选择需要根据实际加工情况来决定。