数学深度学习的起源、内涵与教学策略

张俊忠　李艳琴

摘   要 深度学习是新课程理念下的重要及其学习方式。深度学习起源于美国，于2005年引入我国，在我国经历近二十年的发展。根据中学数学的学科特征，给出深度学习的数学教学策略，可以为丰富和拓展深度学习研究提供参考。

关键词 深度学习  数学教学  数学核心素养

2001年教育部发布《基础教育课程改革纲要》，强调“要培养学生自主学习，鼓励探究、质疑和讨论，在教师主导下引导学生个性化学习。倡导科学精神，指导学生创新与实践”。2020年国务院颁布《二〇三五年远景目标建议》，提出“展望二〇三五年，建成文化强国、教育强国、人才强国。”要实现此目标，必须改进传统讲授式教学模式，创建新型学习方式，真正贯彻“自主、合作、探究”的学习方式。数学教学，必须围绕“四基”，发展“四能”，通过深度学习养成数学核心素养，培养创新精神。

一、深度学习的起源

1956年，美国学者布鲁姆在著作《教育目标分类》中，认为学习有深浅程度之分，最简单的学习技能是机械记忆知识，最复杂的学习技能是评判观点。1976年，美国学者马顿和萨尔乔借鉴布鲁姆认知分类理论，在论文《学习的本质区别：结果和过程》中首先提出教育学领域的深度学习概念，至此深度学习进入正式研究阶段。1982年，澳大利亚学者比格斯与柯利斯提出SOLO分类法，根据复杂程度将学习结果分为五个层次，即前结构水平、单一结构水平、多层结构水平、关联水平和扩展抽象水平，SOLO分类法使学习评价深入质的层面。1997年，美国学者恩特维斯托和拉姆斯登将深度学习的内涵延伸至学习的形成机制方面，认为只有通过深入探索，积极批判地思考，经历长期专注的反思，才能实现深度学习。2006年，加拿大多伦多大学学者辛顿在杂志《科学》上刊登了有关深度学习的论文，在学术界激起了深度学习的研究浪潮。2016年，美国研究院分别从自我、人际和认知三个方向描述了深度学习的概念，创建了深度学习的能力结构框架。

国内深度学习的研究起步晚。2005年，上海师范大学学者何玲和黎加厚在国内期刊发表论文《促进学生深度学习》，第一次介绍深度学习的国际研究成果，并阐述了深度学习的特征。主张识记和理解从属浅层学习，深度学习包括知识的应用、分析、综合和评价，具备接受与批判、联系与构建、应用与迁移的特点[1]。2006年，华中师范大学学者郭元祥在前期研究基础上，发起了“海峡两岸能力生根计划”，推动以发展能力为目标的深度教学研究，主张提高学科能力，开展深度教学。2010年，国务院颁布文件《国家中长期教育改革和发展规划纲要》，提出：只有实施深度学习，才能真正增强学生的创新能力和自主学习能力，至此国内开始广泛地重视深度学习。2014年，为了推进培养学科核心素养，中国教育科学研究院学者田慧生带领团队进行深度学习的课题研究，指向提高知识迁移能力、深度理解能力和问颗解决能力。

二、深度学习的内涵

深度学习是发展学生批判思维和培养创新精神的学习，不仅关注积极的主动学习状态，要灵活运用整合的知识和广泛联接的内容，实施触类旁通的学习方法，还重视提高高阶思维能力。根据布鲁姆的分类方法，浅层学习的认知水平体现在识记和理解层次，是对知识的机械记忆或复制;深度学习的认知水平体现在应用、分析、综合和评价层次。浅层学习在低认知水平，能够获得低认知技能，只需低阶思维活动;深度学习在高认知水平，能够获得高认知技能，需要运用高阶思维活动[2]。可以说，深度学习的本质特征是高阶思维，培养和发展高阶思维才能实现深度学习。

深度学习相对浅层学习和表面学习，是高质量的学习。深度是指直达事物属性的程度，深度学习是指掌握、概括和运用本质的学习。不仅深度学习触及学生作为人的根本部分，而且触及知识的内部结构和本质属性。学生作为人的根本部分是思想和灵魂，知识的本质属性蕴藏于知识内核[3]。深度学习有六个方面的主要特征，即重视批判地理解、注重信息整合、关注知识建构、加强迁移运用、主张问题解决、倡导持续发展。

三、数学深度学习的教学策略

1.激发数学兴趣，永葆学习动力

兴趣是人对事物情感态度的体现，也是拥有持续内驱力的重要源头。教育心理学研究表明，上课开始学生注意力比较集中，一般能够持续15-25分钟。数学内容比较抽象，理解掌握比较困难，如果教师上课没有跌宕起伏，会让学生觉得枯燥，那么学生更容易分散注意力。因此，数学教师要恰如其分利用幽默、风趣的语言，通过营造轻松有趣的氛围，激发学生的数学热情，启发学生深入思考，持续保持数学学习的激情。

新课标指出：借鉴数学的发展历史，重视数学文化，能够丰富和拓展对数学的整体认识，将对数学学习起到促进作用。掌握数学史，将书本上的人物和思想变成生活中的小故事，体会数学的价值，让学生感受到生活中无处不在的数学。历史上数学家的故事，他们探索数学奥秘的艰难历程，能够让学生感悟到数学知识的来之不易，从而珍惜学习机会。在数学教学中融入知识的产生背景，不仅开阔学生视野，丰富知识内涵，而且能够解决疑虑，使得学生能够深度欣赏和领悟数学，形成科学的数学观。

2.实施变式教学，凸显现象本质

在数学变式教学中，通过对数学概念、定理和习题等进行多层次、多角度的改变，应用多种方式，引导学生探索在“变”的过程中发现“不变”的因素，从“不变”中抓住本质，万变不离其宗，从而深刻掌握事物的本质属性[4]。数学变式教学的关键在于运用一系列的形式改变，展示数学知识的不同侧面，从而揭示数学知识的全面结构，体现本质特征，这是促进学生深度学习数学的有效方法。

例1  如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系。

变式1：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系。

变式2：如图3，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的等量关系。

由图1到图3，图形越来越复杂，条件越来越一般化。但是不管如何变化，三种状态都有不变的因素，那就是都有平行关系与相等的角。在变化中的这个不变性，隐藏着这类问题的一般解决策略。如果有平行关系，可以考虑构造相似关系（全等是相似的特殊情况），将一些分散的条件集中在一起。如果有相等的角，可以考虑构造等腰三角形，凝聚条件。这样就能够在复杂的表象下，排除干扰，辨清方向，抓住关键。

3.通过问题解决，触及深度思维

问题解决是以问题为线索，并将这一线索贯穿整个课堂的一种教学方式。教师先提出问题，学生带着问题思考、分析、提问、讨论，然后教师有针对性地启发学生，循环往复，引导学生解决问题，最后抽象归纳。问题解决需要教师的主导身份和学生的主体角色始终处于一种动态的平衡状态，因此教学前教师不仅要精心准备，而且在教学中要充分调动学生，适时调控课堂[5]。学生在经历解决问题的具体过程中，体验了数学新思想、新方法的产生过程，发展了数学高阶思维，提高了创造力。

例2 今年是2021年，请你在两分钟内说出当x取何值时，y=|x-1|+|x-2|+…+|x-2021|有最小值？最小值是多少？

两分钟后，教师发现学生们几乎都在利用分类讨论的代数方法，通过去绝对值求最小值。利用此法，显然两分钟内不可能解决。于是教师启发学生，绝对值有代数意义，还有几何意义，能否利用几何意义？|x|的几何意义是在数轴上表示数x的点与原点的距离，即|x|=|x-0|。这个结论可以推广到|x1-x2|的几何意义是在数轴上表示数的点和表示的点之间的距离。这时有学生提出问题，希望知道y的几何意义。老师先让学生回答这两个问题：请说出y1=|x-1|+|x-2|和y2=|x+1|+|x+2|的几何意义。y1的几何意义，即在数轴上，表示数x的点与表示数1和表示数2这两个点的距离之和。y2的几何意义，即在数轴上，表示数x的点与表示数-1和表示数-2这两个点的距离之和。老师又问x取何值时？y1和y2有最小值？最小值是多少？通过画图，学生们发现当1≤x≤2时，y1有最小值1;当-2≤x≤-1时，y2有最小值1。这时再请同学说出y的几何意义，有学生迅速回答，即在数轴上，表示数x的点与表示数1、表示数2、…、表示数2021这2021个点的距离之和。再问：x取何值时？y有最小值？最小值是多少？通过画图，发现当x=1011时，y有最小值2+4+6+…+2020即1021110。有学生问x取何值时？y有最大值？通过画图，发现y没有最大值。又有学生提问：如果有绝对值差的问题，能否用此方法？老师举例z=|x-1|-|x-2|。请学生回答z的几何意义。有学生回答，即在数轴上，表示数x的点和表示数1的点的距离，与表示数x的点和表示数2的点的距离之差。再请同学们回答z是否有最大值和最小值？有学生快速答出当x≤1时，z有最小值-1;当x≥时，z有最大值1。最后请学生们归纳这类问题的一般解决策略。

解含绝对值的问题，有代数方法和几何方法。通过对绝对值几何定义拓展，充分运用数形结合、分类讨论等数学思想方法，利用图形解决一类含绝对值的最值问题，方法简洁明了。这是书本知识的延伸，也是数学方法的伸展。由特殊到一般，深度分析，不断抽象概括，培养了学生的数学核心素养，提高了创造力。

4.践行探究教学，培养创新精神

探究教学，就是开展探究为主的教学。在教师主导下，以学生自主、合作和探索学习为前提，以学生生活实际为背景，以教材作为主要探究内容，为学生提供展示、质疑和尝试的多种机会，充分应用所学知识多元解决问题。不是把概念和策略直接告诉学生，而是教师通过创设一种师生、生生能够自由平等交流的环境，在各种思想的碰撞中，学生不断探索、自主发现，这是探究教学的本质特征[6]。探究教学关注开发学生的潜能，启发学生深度思维，培养学生的创新意识，为终身可持续发展奠基。

例3  人教版初中数学教材习题：已知如图4，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BG是AC边上的高，求证：DE+DF=BG

此题通常做法是截长补短。如图5，过点D作DH⊥BG于H，则可以证明DF=HG，△BDE≌△DBH，故可以证明结论DE+DF=BG。此法是利用截长，然后启发学生如何利用补短解决问题？是否还有其他方法？题设中有三条垂线段，垂线段与三角形的高有紧密联系，能否考虑利用面积解决？有学生回答：如图⑥连接AD，通过S△ABC=S△ABD+S△ACD，可以证明结论。这是面积法，利用图形的面积关系，建立线段的等量关系。教师再提问，如果点D在CB的延长线上，这三条线段DE、DF、BG有何等量关系？有学生通过类比提出，如果点D在BC的延长线上，DE、DF、BG的等量关系应该是DE=DF+BG。

通过深入分析此题，除了利用常规方法解决，又学习了新方法即面积法。同时由静态图形拓展到动态图形，渗透了动态几何思想，培养学生善于用普遍联系和运动变化的观点认识事物。通过探究，深度挖掘，能够提高学生的创造力，养成学生的科学精神。

任何教的问题都应以理解学为前提，否则教将成为无实际意义的活动。融入深度学习的数学教学策略应该在彻底掌握深度学习理论的基础上，通过不断调整浅层学习的思想和行为而逐步形成。坚持开展深度学习，才能真正实现素质教育和创新教育。

参考文献

[1] 何玲，黎加厚.促进学生深度学习[J].计算机教与学，2005（05）：29-30.

[2] 刘伟，戚万学，宋守君.致力于知识迁移的深度学习探究[J]现代教育技术，2019（03）：25-31.

[3] 张鹏，郭恩泽.指向“深度学习”的教学策略研究[J].教育科学研究，2017（09）：56-60.

[4] 刘长春，张文姊.中学数学变式教学与能力培养[M].济南：山东教育出版社，2001：101-106.

[5] 张春莉.数学问题解决过程的内在心理机制[J].华东师范大学学报：教育科学版，1998（02）：57-65.

[6] 靳玉乐主编.探究教学论[M].重庆：西南师范大学出版社，2002：61-70.

[作者：张俊忠（1971-），男，湖北应城人，贵州师范学院数学与大数据学院，副教授，硕士生导师，博士;李艳琴（1982-），女，贵州思南人，贵州师范数学与大数据学院，教授，碩士生导师，博士。]

【责任编辑  郭振玲】

*该文为贵州省教育科学规划课题”数学史融入高等代数教学研究“（2021B230）;贵州师范学院教学内容和课程体系改革项目“新时代高校课程思政建设与实践研究—以《高等代数》为例”（2020JG04）的研究成果