巧用阿氏圆 妙解一类题

魏东升

(江西省瑞金第一中学 342500)

有时我们会有这样的感慨，有些我们一直以为很熟悉的事物，随着对其了解的深入，却发现它们已经越来越陌生了.比如从小到大陪伴着我们成长的圆，可谓是我们接触的最多的图形之一了.但随着学习的深入，当其以阿氏圆、蒙日圆等隐形圆的身份出现在试题中时，不少人却陌生了.本文通过运用阿氏圆的一个几何性质解题的几个视角，让大家感受到阿氏圆解题的美妙.

以下例举该结论妙解相关问题的三个视角：

例1(2019年全国Ⅱ卷理科第15题改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=2，a=2c,则S△ABC的最大值为____.

评析本题的通法是运用解三角形的相关知识建立关于面积的函数解析式，其解题思路看似不逊色于妙解，但却是建立在较大的数学运算量这一基础上的.

他们虽然分手了，但是许元生还是会在如芸上晚班的时候，等着她一起下班，跟在她身后，偷偷送她回家。看她上了楼，窗口的灯亮了，他才走。

例2 (2015年湖北卷理科第14题)如图2，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A,B(点B在点A的上方)，且|AB|=2.

(1)圆C的标准方程为____；

(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点，下列三个结论：

评析此题的妙解可谓是把阿氏圆解题的优势体现地淋漓尽致！通法实际上是在不知道阿氏圆这一几何背景下的纯代数运算，属于典型的“小题大做”，这样处理实在是有点得不偿失，虽然是一道填空题的压轴题！

例3 (江西省赣州市2021年期中联考理科第15题)已知a,b,c是平面内三个单位向量，a·b=0，则|a+2c|+|2a+b-c|的最小值为____.

评析通解的思路是向量问题代数化，很好地体现了“向量数与形融为一体”这一显著特点，但较之基于阿氏圆背景的妙解1运算量偏大.妙解2很好地运用了向量的几何性质，其解法可谓“大道至简”，是神来之笔！

本文主要探究了阿氏圆中的一个几何性质在不同数学知识板块中的应用，给我们在解决这类问题带来了启发.像这样利用蒙日圆和阿氏圆等知识进行专题教学，对同学们解题素养的提升是很有帮助的.需要指出的是，在专题学习时同学们不可陷入解题的思维定式，应该让新方法完善和充实我们的解题系统.如在学习中发现阿氏圆好用便只从阿氏圆的角度思考和解决问题，掉入用“新知识”覆盖“旧知识”的陷阱，以致“邯郸学步”，其实很多在我们看来不起眼的“旧知识”往往能给我们带来惊喜,这一点例3的妙解2就做了很好的诠释.