用“圆心线的方法”解决带电粒子在匀强磁场中的运动问题

李建海

(河北省张家口市第四中学 075000)

带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的问题比较常见，是高考中的高频考点.该题型既能够考察学生物理建模的能力、还能够考察学生应用数学知识解决物理问题的能力.特别是与之结合的临界问题，难度往往较大.一些教参和文章中讨论的方法可操作性不强，本文就该类问题再做一些尝试.

一、试题的命制

关于带电粒子在匀强磁场中的运动的考题，可谓是常考常新，不管考题如何变化，大体可分为两类：一类是速度方向与某一特定边界夹角已知，即速度方向已知，但大小并不确定；一类是速度大小相等，方向分布在某一范围内.当然，从题目的命制来说，这只是两个大类，单纯给定这样的设定，其条件并不完备，常常需要再补充“粒子通过磁场中的某一点或与某一边界相垂直或相切”等条件，如图1，这样的组合就构成了形形色色的试题.

图1

二、现行方法评价

大多数教学参考书给出的解题方法如下：第一大类中，如果要求过某个点，相当于已知了弦，通过做弦中垂线和速度垂线交点，该交点即为圆心；如果轨迹与某一边界相切，通过做该边界与速度的角平分线，角平分线和速度垂线的交点即为圆心.不少文章还提出了“缩放圆”的方法.

对于第二大类，教学参考书中并没有给出相应的解题方法，不少文章提出了“动态圆”的方法.

这些方法其实叫做资源包更准确，看似能够解决相应的问题，但是并没有共性，一题一法，对于复习备考的学生来说，无疑是很大的负担.“缩放圆”和“动态圆”在具体解题中的操作性并不强，做角平分线耗时较长，与高考考场上快捷、可操作性强的需要相冲突.

三、该类问题的突破点

该类问题的突破点，归根到底就一个，那就是快速确定轨迹圆的圆心.两种题型，为了统一，可以提出“圆心线”的概念.圆心线即为一系列不确定圆的圆心的集合.第一大类中速度垂线即为圆心线，如图2；第二大类中以入射点为圆心，粒子轨迹半径为半径的圆即为圆心线，如图3.如果速度分布在90°范围内，圆心线为1/4圆，如果速度分布在180°范围内，圆心线为半圆.

图2 图3

有了圆心线的概念，这样在解决具体问题中只需根据半径相等的特征在“圆心线”上找出大致的圆心即可.这样做的效果是快捷、便于操作、通用性强，从而学生负担小.

第一大类中，过确定点A、与边界垂直和与边界相切找圆心的方法如图4所示.找圆心时把握两点，一是在圆心线上，二是半径相等.若要求过某一确定点，可以通过肉眼找一个大致的圆心，也可以做弦的中垂线，其实即使是做弦的中垂线，实际操作中也并非是用尺规作图，也是做了一个大致的中垂线,图4(a)；若要求与某一边界相垂直，圆心为圆心线和该边界的交点,图4(b)；若要求与某一边界相切，根据半径相等这一特征，同时找切点和圆心,图4(c).

图4

第二大类中，过确定点A、与边界垂直和与边界相切找圆心的方法如图5所示.方法与解决第一大类的方法一致.这样一来，“在圆心线上找圆心”便成了通用的方法，便于掌握.

图5

四、例题解析

图6 图7

第2问，属于第二大类但附加条件并不明确，先做出圆心线.在给定速度大小的问题中，粒子的运动时间除了可以由圆心角反映，还可以由弦长反映.这样一来，临界条件可由与第1问中等长的弦OP确定，也就是以O为圆心，OP长为半径画圆，正好与磁场边界交与M、N两点，如图8(a).进而该问题演化成轨迹过M点或N.在圆心线上找出圆心即可，如图8(b)、图8(c).

图8

第3问，看似找不出附加条件，这个时候需在圆心线上找几个圆进行尝试，尝试后发现与右侧边界相切的轨迹时间最长.