基于概率密度演化方法的装配式箱涵构件可靠度研究

2021-12-21康玉梅李佳其刘子傲于佳月

东北大学学报（自然科学版） 2021年12期

康玉梅, 李佳其, 刘子傲, 于佳月

(东北大学资源与土木工程学院, 辽宁沈阳 110819)

装配式箱涵是一种常见的工程结构,具有良好的场地适应能力和整体受力性能,现已被广泛应用于公路和铁路工程中[1-2].如何精确高效地分析装配式箱涵各个构件在设计和使用过程中的可靠性[3]是一个非常值得研究的问题.国内外学者多采用蒙特卡罗方法[4]、随机摄动方法[5]和正交多项式展开理论[6]等可靠度求解方法分析地下结构[7]和边坡[8]的可靠度.蒙特卡罗法基于大数定律,在求解过程中需要多次迭代,计算量极大,花费时间较长,且计算结果具有随机收敛性,难以适用于实际工程.验算点法则存在计算精度不足的问题,学者们为了提高验算点法的精度,提出了基于验算点法的改进方法,例如,Chen等[9]依据在验算点处相似概率密度函数导数相等的原则,提出了三参数正态尾区近似的原则;Guo等[10]给出了结构功能函数的三阶与四阶可靠指标.虽然已经在改进验算点法方面取得了一些进展,但是改进后的验算点法在分析实际工程可靠度时的精度尚有待提高.Li等[11]提出了概率密度演化方法,该方法基于概率守恒原理,能够充分考虑参数随机性和样本点之间的概率联系,弥补了传统可靠度分析方法中存在的不足[12].目前,概率密度演化方法已经被应用于部分地上和地下结构的可靠度分析[13].

本文依托“双辽至洮南高速公路 03A 设计段”装配式箱型涵洞工程项目,基于概率密度演化方法分析装配式箱涵构件的可靠度,并与蒙特卡罗法的计算结果进行对比,验证概率密度演化方法的计算效率和精度,以期为装配式箱涵构件可靠度研究提供一种新的途径和方法.

1 概率密度演化理论

在随机物理系统中,概率密度演化理论可以描述任意状态量的概率分布和演化过程.其为分析结构受力的物理过程和考察随机性的传播规律,从概率角度求解结构可靠度提供了理论依据.概率密度守恒原理是概率密度演化理论的基础,具有两种描述方式,分别为状态空间描述和随机事件描述[14].

状态空间描述可表示为

ΔPD=ΔPS.

(1)

式中:ΔPD为确定时间内系统中的概率增加量;ΔPS为确定时间内流入系统中的概率总量.

随机事件描述可表示为

(2)

式中：D(·)为物质导数;Ωt为在给定时刻的状态域.

随机动力系统可表示为

(3)

式中:X为状态向量,X(t0)=X0为系统的初始状态向量;Θ为随机向量;t为时间;f为微分函数.

根据概率守恒原理:

(4)

特别地,对于静力系统分析,需要构造虚拟随机过程:

Z(τ)=φ(Θ,τ) .

(5)

式中，φ(·)为虚拟过程函数，一般可取为φ(τ)=z·τ，其中虚拟时间τ∈[0,1]，z为静力系统响应.此时，由式(5)可得其演化速度：

(6)

进而可得(Z,Θ)的联合概率密度函数，且满足：

(7)

确定初始条件,采用数值求解算法对式(7)进行求解.在给定的条件下求解式(4),即可获得物理量Z的概率密度函数:

(8)

取τ=1并对概率密度函数pZ(·)进行求解，即可得到相应的静力可靠指标.

2 基于概率密度演化方法的装配式箱涵构件可靠度研究

2.1 功能函数

根据装配式箱涵的受力情况来确定箱涵构件的功能函数.对于箱涵顶板、侧墙及底板组成的整体需要重点关注其抗弯可靠度,对于铰缝构造处(上下各取0.5 m作为研究对象)需要重点关注其抗剪可靠度,实际的结构受力形式如图1所示.其中:g1为顶板自重力(kN)；q1为上部填土体重力(kN)；p为车辆荷载(kN)；q2,q3,q4分别为不同位置侧向土压力(kN)；q5为撑脚土体重力(kN)；g2为结构整体自重力(kN).

图1 结构受力示意简图

装配式箱涵构件有两种极限状态方程[15]:

1) 箱涵构件抗弯承载能力极限状态设计式为

(9)

(10)

(11)

2) 箱涵铰缝构造处抗剪极限状态设计式为

Vu=0.6Asdfsd≥V.

(12)

式中:Asd为抗剪钢筋截面面积(m2);fsd为抗剪钢筋的抗拉强度设计值(kN/m2);V为单位长度铰缝剪力设计值(kN);Vu为混凝土铰缝构造处的抗剪承载力(kN).铰缝构造处的功能函数为

Z3=0.6Asdfsd-q3.

(13)

式中,q3为铰缝构造处的荷载.

2.2 概率密度演化方程

箱涵构件的抗力与荷载效应可以分别表示为

Mr=G1(φ1,σ1) ,

(14)

Ms=G1(φ1,φ2,σ1,σ2) .

(15)

式中:φ1为箱涵构件的确定性参数;σ1为箱涵构件的随机参数;φ2为其他确定性参数;σ2为其他随机参数.

箱涵构件的功能函数可以表示为

Z=Mr-Ms.

(16)

由式(16)的结果,可以分析出构件的真实状态.当Z=0时,表示构件处于极限状态;当Z>0时,表示构件为可靠状态;当Z<0时,表示构件为失效状态.结合式(14)和(15)可得

Z=G(φ,σ) .

(17)

引入虚拟时间t,构造虚拟随机过程H=φ(Z,t)=φ(φ,σ,t),其中,Z=φ(z,t|t=t0).

当σ取某一特定值μ时,随机变量H的概率为φ(φ,σ,t),可得

fH|σ(h|μ,t)=η[h-φ(φ,σ,t)] .

(18)

式中:fH|σ表示条件概率密度函数；η为Dirac函数.对式(18)两端关于时间t求导,可得

(19)

fH|σ(h,μ,t)=fH|σ(h|μ,t)·fσ(μ) .

(20)

进一步地,由式(19)和(20)可得

(21)

式(21)即为箱涵构件的概率密度演化方程,其初始条件为

fH|σ(h,μ,t|t=0)=fσ(μ)·η(h) ,

(22)

fZ(z)=fH(h)|t=t0.

(23)

箱涵构件可靠概率的数学表达为

(24)

2.3 构件可靠度分析步骤

1) 确定功能函数Z1,Z2,Z3中随机变量的分布类型.结合给定的初始条件,采用数论选点法[16]对随机变量在概率空间Ωθ中选取代表点,记剖分域为Ωq,可得

(25)

式中,Pr{·}表示对于∀q≠r条件下的随机事件概率.由此,可以确定相对应的代表点θ=θq,q=1,2,…,n,以及每组点的赋得概率:

(26)

2) 构造虚拟随机过程.根据概率密度演化理论可知,对于虚拟随机过程的刻画有许多途径,因此,虚拟随机过程函数的选择只需要满足式(6)要求即可.本文所分析的箱涵构件属于静力结构,构造的虚拟随机过程为

φ(Θ,τ)=W(Θ,τ)cos(ωτ) .

(27)

式中:ω=2π;τ∈[0,1].

5) 以Z>0为积分区间,对概率密度函数积分求得可靠概率:

(28)

求解步骤流程如图2所示.

图2 构件可靠度分析步骤流程

3 概率密度演化方法在装配式箱涵构件可靠度分析中的应用

3.1 工程概况

“双辽至洮南高速公路 03A 设计段”路线全长25.702 km,周围土体主要是泥岩和粉质黏土,具体的土层参数如表1所示,其中涵洞共有22道,均采用预制装配式钢筋混凝土箱涵,其结构形式分为三种,标准节段均为3 m.以四构件组合结构箱涵为例,顶板和侧墙为铰接,侧墙采用混凝土现浇的方式和底板连接(见图3和图4).

表1 土层基本参数

图3 装配式箱涵结构示意图

图4 铰缝构造处示意图

3.2 有限元模型

通过现场勘察资料得到箱涵构件钢筋和混凝土的材料参数,采用等效弹性模量和容重来代替钢筋混凝土的弹性模量和容重.利用ABAQUS软件建立箱涵构件三维模型,如图5所示.箱涵顶板、侧墙和底板组成的整体采用铰接形式,对于铰缝构造处, 取其上下0.5 m范围的计算单元作为研究对象,上下两端均采用固接形式.网格划分采用四边形单元,在易破坏区域细密划分,其余区域

图5 构件三维模型图

的网格划分可以较为稀疏,这样有利于提高计算效率.箱涵各构件均采用8节点实体单元,进行力学性能分析,得到箱涵顶板、侧墙及底板整体的跨中弯矩和铰缝构造处的剪力值,为后续的可靠度分析提供确定性的依据.当所有参数均作为确定性值考虑的时候,数值分析和采用截面法计算得到的内力响应结果相近,误差在允许的范围内,验证了本模型的正确性.

3.3 随机变量的确定及特性统计

定义箱涵构件的钢筋抗拉强度设计值、构件钢筋直径、混凝土保护层厚度、截面宽度、计算跨度、回填土重力密度、钢筋混凝土结构重力密度、内摩擦角、车辆荷载、铰缝钢筋直径和钢筋抗拉强度设计值为随机变量,通过参考现场实测资料与相关文献[17]可知,各个随机变量均服从正态分布[18],随机变量的具体分布参数如表2所示.

表2 箱涵随机参数特性统计[17-18]

3.4 随机变量的敏感性分析

随机变量的敏感性会对箱涵构件的可靠度分析产生影响,因此在进行箱涵构件可靠性研究之前,需要对随机变量进行敏感性分析.将对可靠度分析影响程度较大的随机变量继续作为随机变量考虑,影响程度较小的随机变量作为确定性值考虑,敏感性系数如表3所示.

由表3可知:在进行箱涵顶板、侧墙和底板构成的整体的可靠度研究时,钢筋的抗拉强度设计值、内摩擦角、钢筋直径、土的重力密度以及计算跨度的敏感程度较大,需要作为随机变量考虑.对于铰缝构造处的可靠度分析,计算跨度的敏感程度较小,因此仅将钢筋的抗拉强度设计值、内摩擦角、钢筋直径、土的重力密度这四个参数作为随机变量,其他参数均作为确定性值考虑.

表3 随机变量的敏感性系数

3.5 构件可靠度分析

结合随机变量敏感性的分析结果,利用数论选点法对各构件的随机变量选取2 000组代表点进行确定性分析,得到构件的荷载效应如图6所示,顶板荷载效应的均值为130.029 kN·m,标准差为7.967 1,变异系数为0.061 3;侧墙及底板组成的整体均值为87.161 8 kN·m,标准差为9.437 3,变异系数为0.108 3;铰缝构造处的均值为43.161 1 kN,标准差为3.015 7,变异系数为0.069 9.

图6 构件荷载效应概率密度函数

当构件的随机参数均服从正态分布时,其荷载效应也基本服从正态分布,且荷载效应的变异系数要大于单个随机变量的变异系数,因此,在构件可靠度的研究过程中,需要充分考虑参数的随机性.将有限元软件中确定性分析得到的效应值以及相应的抗力值代入式(27),构造虚拟随机过程,各构件的虚拟随机过程如图7所示.

图7 各构件的虚拟随机过程

构造虚拟随机过程需要引入时间向量,将结构受到的静力转化为动态过程.在虚拟随机过程中,箱涵构件响应的概率密度演化过程如图8所示.在构件可靠度的分析过程中,经过概率密度演化,构件响应的变异性会增大,需要充分考虑参数的随机性和样本点之间的概率联系.

采用MATLAB编程的方法,依次得到顶板、侧墙及底板组成的整体和铰缝构造处的最后时刻响应截口概率密度函数的图像,如图9所示.对最后时刻截口概率密度函数在失效域上积分,即可得到构件的失效概率,进而求得可靠指标.其中,顶板的可靠指标为4.281 4,侧墙及底板构成的整体的可靠指标为4.328 2,铰缝构造处的可靠指标为4.399 9,均符合规范要求.

图8 构件响应的概率密度演化曲面图

图9 构件响应最后时刻的截口概率密度函数

3.6 两种方法对比分析

采用蒙特卡罗法对不同抽样次数下箱涵构件可靠度进行计算,计算结果均满足规范要求.当给定抽样次数为800万次时,求得箱涵顶板的可靠指标为4.307 6,侧墙及底板构成的整体的可靠指标为4.428 3,铰缝构造处的可靠指标为4.391 6.随着抽样次数的增加,构件可靠度的计算结果出现了明显的随机收敛性.800万次到2 000万次抽样下失效概率的变化情况如图10所示.

图10 构件失效概率随抽样次数变化趋势图

将两种方法求得的箱涵构件可靠指标进行对比,其结果如表4所示,可以看出:两种方法的计算结果基本一致,均能较为精确地求出箱涵构件的可靠指标.表5给出了两种方法的计算效率,可见,同样的计算精度,蒙特卡罗法的选点次数是概率密度演化方法的4 000倍,所需要的计算时间为概率密度演化方法的5倍,且无法避免随机收敛性.