对“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验的改进

成振兴，王晓璐，康世举

摘   要：针对“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验中难以使摆球获得适当的初速度以及空气阻力与人工计时带来的误差等问题，重新设计了实验装置与方案。在斜面上由静止释放一钢球与静止在斜面底部的摆球碰撞，使摆球做规定半径下的1/2圆周运动后撞击另一物体，结合phyphox软件的声学秒表记录两次碰撞发生的时间间隔，实验结果相对误差可控制在0.4%以内。

关键词：圆锥摆;向心力;碰撞;实验改进;phyphox

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）11-0048-5

“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验在高中物理教学中具有重要意义，不仅可以培养学生的科学探究能力，还能培养与训练学生的发散性思维[1]。但原实验方案中存在较难操作、实验结果误差较大等问题。各版本教材中对向心力表达式得出过程的阐述大致有两种：一是通过向心加速度表达式结合牛顿第二定律得出;二是通过“向心力演示器”探究出向心力与各物理量的比例关系后直接给出向心力的表达式。以上仍然需要一个证明向心力表达式成立的验证性实验。因此，对“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验进行改进具有重要意义。

原实验的难点在于如何使摆球获得规定半径下做匀速圆周运动的初速度，以及空气阻力与人工计时带来的误差问题。有关验证向心力表达式的改进实验受到很多学者的关注。其中，利用电动机带动摆球运动对原实验进行改进的较多[2-4]，还开发了可以实现对向心力精确测量的仪器[5-6]。前者所需的材料不易获得，仪器制作较为复杂，而后者可能会因为大班化教学的实情和实验器材所限，不能保证每个学生都能亲自操作实验仪器，观察到实验现象[7]。还有利用两个摆球碰撞使摆球获得初速度，但其仍未解决空气阻力与人工计时带来的误差问题[8]。

笔者针对原实验中的三个难点进行改进，不仅使摆球获得了初速度，而且极大地减小了空气阻力与人工计时带来的误差，并具有材料易得、操作便捷等优点。

1    改进方法

1.1    实验装置及原理

1.1.1    如何使摆球获得适当的初速度

关于如何使摆球获得适当的初速度并在规定半径下做匀速圆周运动，可考虑用对心碰撞来实现，我们设计了如下斜面轨道装置：

如图1的斜面是倾角为30°、底边为17.5 cm、厚度为10 cm的直角三角体。沿三角体底面的长边粘有两个2 cm×4 cm×30 cm的长方体，且2 cm×30 cm所在的面与三角体底面贴合，长方体沿底面长边超过三角体30°角顶点11 cm。斜面与长方体上安装了一条宽度为2 cm的平滑塑料轨道，在斜面与长方体所成的钝角处的轨道呈圆弧状。轨道底面与长方体2 cm×30 cm所在的面重合，且与长方体贴合部分的轨道末端与长方体末端平齐。

如图2所示，画有不同半径同心圆的白纸置于地面上，并画上垂直于半径的圆切线。使装有轨道一侧的长方体2 cm×30 cm所在面与长边平行的中线跟同心圆半径的垂线在竖直方向上重合，即2 cm×4 cm所在面与长边平行的中线跟同心圆半径的垂线相交，且轨道与长方体贴合的末端中点在竖直方向上跟圆切线和半径的交点重合。

两个凳子上各放置一个铁架台，两铁架台顶端通过一根金属杆连接，半径为1 cm的金属摆球悬挂于金属杆中间的铁夹上（图3）。使摆球悬挂于铁夹且静止时正好位于同心圆的圆心正上方。由于塑料轨道两侧有棱，在轨道尽可能靠近末端的棱上用小刀划出一个微小的缺口。把摆球放在轨道上的缺口处固定，同时保证摆线处于完全伸展受力状态（图4）。让另一半径同为1 cm的钢球从斜面轨道上某一位置静止释放，在斜面上有刻度线及数字（刻度及数字不表示真实距离，仅用于方便寻找钢球的释放位置）以表示钢球的释放位置。然后，分别让钢球从斜面的不同位置释放碰撞摆球，直到摆球能做尽可能标准的匀速圆周运动后记录下斜面上钢球的释放位置。

1.1.2    如何解决空气阻力的影响及精确测量时间

上述摆球即使在被碰撞的初期能做近乎标准的匀速圆周运动，但受空气阻力的影响，摆球半径会逐渐减小，若仍采用人工掐表计时的方法，实验结果与原来的用手带动摆球无异，甚至误差更大。因此，我们减小摆球的运动时间，仅使其准确运动1/2圆周后与另一个物体碰撞。为了实现以上要求，摆球做完1/2圆周运动后的撞击点需在一个竖直平面内且沿摆球运动方向距离半径1 cm处。如图5所示，本实验使用了装满砝码的长方体木盒，用三角尺对齐木盒的一条边，将木盒放置至圆切点的1/2圆周并向摆球运动方向偏离半径1 cm处，且与半径平行。

对于时间的测量，利用phyphox软件的声学秒表记录两次撞击声音的时间间隔（图6），其优点在于测量精准，且可精确到三位小数。由于从斜面上滚下的钢球在碰撞摆球后会先于摆球与木盒碰撞的时间而落地发出声音，所以在轨道末端的地面上摆放一条毛巾，以避免钢球落地发出声音。

1.2    实验步骤

（1）设摆长为L，摆球半径为R（R=0.01 m），则摆线长L'=L-R，将摆球悬挂于金属杆中间的铁夹上，调节铁架台及铁夹的位置，使摆球处于同心圆圆心正上方。

（2）将斜面放至某半径处后，将摆球放至轨道缺口处，移动铁架台上的螺栓调节摆球悬点的高度使摆线处于完全伸展状态，且尽量使轨道底部对摆球向上的支持力接近于零，但不脱离轨道底部。

（3）未在1/2圆周处放置木盒的情况下从斜面轨道上的某处释放钢球，当钢球与摆球碰撞后立即撤除斜面装置，观察摆球是否做圆周运动。当摆球做长轴与半径平行的“椭圆摆”运动时，则说明钢球释放的高度偏小;當摆球做长轴与半径垂直的“椭圆摆”运动时，则说明钢球的释放高度偏高。以此调整钢球的释放高度，找到使摆球做圆周运动的斜面刻度。

（4）在相应位置上放置好木盒与毛巾，手机打开phyphox软件的声学秒表，放置在地面的图纸上，点击开始按键，在（3）中测得的斜面位置处释放钢球，声学秒表自动记录摆球两次撞击间的时间间隔，在表格中记录下声学秒表显示的时间。

（5）移动斜面装置，改变半径，重复（2）（3）（4）步骤。

（6）改变摆长，重复以上所有步骤。

2    改进实验的情况

2.1    数据记录与处理

设摆球运动1/2周期的时间为t，则摆球的向心力Fn=mω2r=m（■）2r，所受合力F■■=mgtanθ=■，即验证在误差允许的范围内是否有（■）2=■，则可验证向心力公式。其中，相对误差=1-■，贵阳的重力加速度为9.79 m/s2。

共设置5个摆长L、5个半径r，实验测得25组数据，实验数据记录如表1所示。

2.2    实验结果误差分析

从实验数据我们可以看出，本实验的相对误差可以有效控制在0.4%以內，平均相对误差达到0.14%。若摆长设置在1.05 m及以上，平均相对误差可以控制在0.1%以内。摆长越长相对误差越小，且数据相对稳定，而改变半径对相对误差的影响则较小。通过计算不难发现，摆长为1.05 m的第1～5组数据中，当在实验数据结果时间的基础上增加或减少0.001 s，得出的相对误差都会在本实验结果的相对误差基础上增大，这意味着在本实验的长度与时间测量工具精度的限制之下，相对误差的最小值已经达到了极限。而第7组数据的相对误差竟然达到了0.0057%，是由于在此摆长与半径之下，摆球的理论运动时间（设一个可无限精确测量的理想秒表）更加接近0.998 s。

而除去1.05 m摆长之外的几个摆长中，大多数数据都无法达到相对误差最小值，因此除了长度与时间测量工具所带来的系统误差，还存在其他系统误差及偶然误差：

（1）长度与时间测量工具的精确度局限;

（2）空气阻力的影响;

（3）轨道末端缺口至半径的水平微小距离延长了碰撞时间;

（4）斜面钢球释放的位置不够精准;

（5）在缺口处放置摆球时没有掌握好摆球与轨道的接触方式，导致钢球与摆球没有对心碰撞及摆球运动半径发生改变;

（6）由于摆线使用的是棉线，实验过程中长度会发生变化;

（7）重力加速度参考值不精确。

针对以上误差来源，理论分析减小误差的方法：半径一定，增加摆长。由v=■可知，当摆长增加后，速度较小，摆球运动时间变长，可减小时间测量工具的误差，且同时能减小空气阻力的影响。通过计算可以发现，当半径r一定时，本实验装置的相对误差与摆长呈负相关，即随着摆长的增加，相对误差会减小。

以上方法受条件的限制无法实现，可设想若无限增加摆长或存在可无限精确的长度与时间测量工具，可以无限减小相对误差。

2.3    怎样能够更好地演示改进实验

以2019年版人教版高中物理教材为例，教学中先通过“向心力演示器”半定量探究出Fn=

kmω2r（k为比例系数）关系式后，再通过改进后的圆锥摆实验探究出比例系数k的值。教师在实验前制作好斜面，并准确绘制好图纸等实验装置，最好在地面上用双面胶固定图纸，测试好不同摆长与半径下使摆球做匀速圆周运动的斜面钢球释放位置并制成表格，告诉学生实验原理及操作要领。学生按照表格中的数据释放斜面钢球，先撤除斜面，观察摆球的运动状态是否是匀速圆周运动，然后在1/2圆周处放置物体，再次释放钢球，用phyphox的声学秒表记录时间即可验证向心力的表达式。也可以让学有余力的学生自行设置摆长与半径，寻找斜面钢球的释放位置，培养学生的实验探究能力。此实验可以教师演示，也可以学生分组实验。学生在定量探究与验证过程中观察现象、提出猜想、验证猜想，经历完整的科学探究过程，有利于培养学生的科学思维、科学探究以及严谨认真的科学态度。

2.4    本实验装置的优化

虽然本装置的实验结果误差较小，但课前需要教师花费大量时间制作斜面轨道装置，绘制同心圆图纸，过程中出现偏差将会影响实验结果，且同心圆图纸易损坏或褶皱导致无法重复使用，建议使用硬质塑料片以电脑打印的方式绘制。斜面与轨道装置可采用3D打印来制作，并且可在斜面上制作更精细的刻度和可移动闸门，以便更精准地释放斜面钢球，亦或是模块化生产专用的“向心力表达式验证装置”教具产品。

3    结  论

本改进实验从原实验方案的不足与问题出发，利用对心碰撞使摆球获得沿圆周运动切线方向合适的速度，结合phyphox软件的声学秒表，解决了无法使摆球做标准的圆周运动、空气阻力对运动半径的影响以及人工计时所带来的误差等问题，并实现了材料易得、操作便捷及数据稳定等优点，更加完善了实验教学方案。

本实验设计巧妙，充满趣味性，很好地展现了“物理学之美”，能极大地激发学生的兴趣。准确的实验结果让学生彻底信服匀速圆周运动合力等于向心力，有利于学生物理核心素养的培养。

参考文献：

[1]郑蔚青.物理教学中学生发散思维的培养与训练[J].中国教育学刊，2004（02）：55-59.

[2]严灿云.用圆锥摆粗略验证向心力表达式实验的一点改进[J].物理教师，2019，40（10）：69-70.

[3]冯奇.“用圆锥摆粗略验证向心力的表达式”实验的改进与探究[J].物理教学，2018，40（12）：27-28.

[4]孙建清.“用圆锥摆验证向心力表达式”的实验改进[J].中学物理，2013，31（07）：43.

[5]姚久民，祝玉华，姜丽飞，等.新型向心力实验仪的研发及实验设计[J].物理教师，2020，41（01）：58-61.

[6]蔡桂丽，刘海威，刘小兵，等.向心力定量演示实验的改进与创新[J].广西物理，2020，41（01）：92-96.

[7]林斌，高桂长.例谈物理实验效果呈现方式的改进与创新[J].中学理科园地，2020，16（06）：19-20.

[8]彭新，石红.用圆锥摆验证向心力的表达式实验的改进[J].物理教学探讨，2021，39（04）：50-52.

（栏目编辑    刘   荣）