一道选择题的讨论与改进

何仕乾

摘   要： 一道看似自洽的竖直平面内圆周运动试题，剖析后会发现其中存在不易察觉的问题。问题的探讨有助于避免类似失误再次发生，从而提升试题命制质量。

关键词：圆周运动;最大值;位置

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）11-0078-2

竖直平面内的圆周运动问题，由于涉及较多的力学知识，并且运动过程一般有变速过程，常常受到命题者的偏爱。这类题目涉及的问题，主要集中在圆周的最高点、最低点、与圆心等高的水平位置等。似乎是一种“约定”，命题人和答题人也在这些“特殊位置”出题和答题，二者相互作用，长此以往，免不了会产生惯性思维，从而可能出现问题。笔者就遇到了这样一道值得商榷的题。

案例 如图1所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上。木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动。在环的最低点静放一小球C。A、B、C的质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起（不计小球与环的摩擦阻力），瞬时速度必须满足（ ）

A.最小值■

B.最大值■

C.最小值■

D.最大值■

【原文解析】

要保证小球能通过环的最高点，在最高点的最小速度满足：

mg=m■

解得v1=■

从最低点到最高点，选竖直圆环最低点为零势能点，由机械能守恒定律得：

■mv■■=■mv■■+mg·2r

可解得小球在最低点瞬时速度的最小值为：

v■=■

为了不使环在竖直方向上跳起，在最高点，速度最大时对环的竖直向上压力为2mg，满足mg+2mg=m■，解得：

v2=■

同理，小球在圆环内从最低点到最高点，由机械能守恒定律得：

■mv■■=■mv■■+mg·2r

可解得小球在最低点瞬时速度的最大值为：

v■=■

所以，保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，在最低点的速度范围为：

■≤v≤■

故C、D选项正确。

【质疑】环恰能在竖直方向上跳起的临界条件一定是小球运动到环的最高位置时吗？若不在最高点，又在何处？

【解析】 如图2所示，设小球运动到D点时，环恰能向上竖直跳起，在D点，小球受竖直向下的重力mg和环对其指向圆心的弹力FN，

则向心力 Fn=mgcosθ+FN=m■（1）

小球由最低点运动到D点的过程，由动能定理得：

-mgr（1+cosθ）=■mv■■-■mv■■（2）

对环受力分析，在D点能够使环跳起（忽略转动效果）的临界条件是：

F'Ncosθ=2mg（3）

由牛顿第三定律得：

FN=F'N（4）

由（1）（2）（3）（4）式联立得：

v=■（5）

当 3cosθ=■

即cosθ=■时

v■=■≈■<■（6）

【结论】 当小球在最低点的速度达到某一值，如■时，在沿环向上运动过程中，未到最高点时，环已向上跳起。由上述解析可知，小球运动到与竖直方向成35.26°角（由cosθ=■，有θ≈35.26°）的位置处跳起。若小球在最低点的速度为原题D选项的值■时，可解得cosθ'=■，即有θ'≈54.73°，也就是说小球运动到环的右上方与竖直方向成54.73°角时就已经把环竖直顶起了。所以，环恰能在竖直方向上跳起的临界条件不是發生在小球运动到环的最高位置处。

【反思】 本题如何改进，仁者见仁，智者见智。笔者认为，作为选择题，可将D选项改为“最大值■”。但在较短时间内，学生是难以解答出这一答案的。若将其改编为一道计算题，没有现成答案（选项）可参考，或许能激发学生思维，得到正确解答。

“智者千虑，必有一失”，出现失误，在所难免。如何有效避免失误，是值得研究的问题。当我们对一道试题进行改编，设置新的问题时，一定要慎之又慎，充分考虑其科学性。提倡“大胆创新”，更要进行实验验证或理论验证的“小心求证”。俗话说“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，一道（套）好题一定是学科组集体智慧的结晶，因此“个体劳动，集体智慧”是必须的。

（栏目编辑    李富强）