测量电源电动势和内阻的创新方法例析

唐世琦

[摘 要]测量电源电动势和内阻的创新实验题大多结合函数与图像进行考查。文章在伏安法测电源电动势和内阻实验的基础上详细介绍了伏阻法、安阻法测量电源电动势和内阻的实验方法，并根据实验本身需要总结出实验中因无合适电表的情形的三种处理方法，归纳总结了测量电源电动势和内阻实验创新函数或图像的处理步骤以及化曲为直的物理思想方法。

[关键词]电动势;内阻;伏阻法;安阻法;补偿法

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）35-0056-03

图1是教材中采用伏安法测量电源电动势和内阻的实验电路图。在处理实验数据时，为减小误差可作出[U-I]图像，通过[U-I]图像的物理意义求出电源的电动势[E]和内阻[r]。测量电源电动势和内阻的实验方法亦可采用伏阻法、安阻法等，并由此衍生出不同物理意义的函数或图像问题。为考查学生对闭合电路欧姆定律的理解，对函数或图像问题的处理能力以及化曲为直的物理思想方法的掌握情况，有关测量电源电动势和内阻的实验题变得多种多样。

笔者通过搜集大量有关测量电源电动势和内阻的实验题并进行详细研究后，归纳出测量电源电动势和内阻的两种常见方法——伏阻法与安阻法，并結合实验试题总结出在实验中无合适电表时的三种处理方法以及解决测量电源电动势和内阻创新函数或图像问题的步骤。

一、伏阻法测量电源电动势和内阻

在图1中，滑动变阻器采用限流接法，但其仅起改变电路中电阻的作用，且接入电路的阻值未知。若换为电阻箱，则既可改变电路中电阻，又可根据欧姆定律计算电路中的电流，从而使实验无须电流表。在物理学中，利用电压表和电阻箱进行实验的方法称为伏阻法。

下面通过两个具体例题对用伏阻法测量电源电动势和内阻的实验原理进行详细阐述。

[例1]如图2所示为某测量电源电动势和内阻的实验电路图（电压表内阻很大），根据测量数据作出[1U-1R]的图像是一条直线。若图像的斜率为[k]，截距为[b]，则电源的电动势[E=]         ，内阻[r=]         。

分析：从图2所示的电路图知，根据欧姆定律可计算出流过电阻箱的电流[I=UR]。因电压表内阻很大可忽略电压表的分流作用，因此干路中的电流即为流过电阻箱的电流，亦为流过电源内阻的电流。根据实验电路图，由闭合电路欧姆定律有[E=U+URr] ①。因题中要求作出[1U-1R]的图像，所以将①式变形为[1U-1R]的函数关系，即为[1U=1E+rE×1R] ②。由②式可知，[1U-1R]图像与纵轴的截距[b=1E]，即[E=1b]，图像的斜率[k=rE]，所以[r=kE=kb]。

从例1的分析中可总结出无合适电流表时的处理方法之一：观察实验器材或草拟实验电路图，若实验中能通过计算得出电流，则不需要对应的电流表，这种方法称为计算法。

通过图1的实验操作可知，因为新干电池的内阻[r]较小，所以不易测量。为了准确测量内阻[r]，实验时应选择旧干电池或使电源与某定值电阻[R0]串联，并将定值电阻[R0]与内阻[r]共同视为新的内阻[R0+r]（如图3所示），作出[U-I]图像并计算出斜率[k]后，再减去定值电阻[R0]即可，即[r=k-R0]。

[例2]某同学利用图4甲所示的电路测量电源电动势[E]和内阻[r]。所用的实验器材有：电压表[V]（内阻很大）、电阻箱[R]、定值电阻[R0=5 Ω]、开关和导线若干。

（1）该同学为了用作图法确定电源电动势和内阻，以[1U]为纵轴、[1R]为横轴作出的图像如图4乙所示，则该图像的函数表达式为                               。（含有[U]、[R]、[R0]、[E]、[r]的函数表达式）

（2）由图像可得，该电源的电动势[E=]          V，内阻[r=]           [Ω]。（结果均保留两位有效数字）

分析：根据欧姆定律可知电路中的电流[I=UR]。在图4甲中，电压表测量的不是路端电压，因此不能直接利用闭合电路欧姆定律[E=U+Ir]。若将定值电阻[R0]视为电源的内阻，则电压表可视为测量路端电压，因此可写出闭合电路欧姆定律为[E=U+UR（R0+r）] ①。根据图4乙的图像可将①式变形为[1U-1R]的函数关系，即为[1U=1E+r+R0E×1R] ②。由②式可知，[1U-1R]的图像与纵轴的截距[b=1E=0.35 V-1]，即[E=2.9 V];图像的斜率[k=r+R0E=2.6 A-1]，解得[r=2.5 Ω]。

【答案】⑴[1U=1E+r+R0E×1R];⑵[2.9 V]、[2.5 Ω]

二、安阻法测量电源电动势和内阻

在图1中，若将滑动变阻器更换为电阻箱，因为可根据欧姆定律计算出路端电压而使实验无须电压表。在物理学中，利用电流表与电阻箱进行实验的方法称为安阻法。笔者将通过欧姆定律计算出电压而无须电压表的实验方法称为计算法。同时，若实验无合适电压表时，亦可将阻值恒定的电流表改装成电压表使用，此种方法称为改表法。因为在上述方法中仅有电流表与电阻参与实验数据的测量，笔者将其归纳为安阻法测量电源电动势和内阻的实验范畴。

下面结合实例探析计算法与改表法测量电源电动势和内阻实验。

1.计算法

[例3]如图5所示为某测量电源电动势和内阻的实验电路图（电流表的内阻不计），通过[R-1I]的线性函数关系可知，图像的斜率为[k]，截距为[b]，由此可得电源的电动势[E=]                    ，内阻[r=]                     。

分析：从图5可知路端电压[U=IR]，因此闭合电路欧姆定律可写为[E=IR+Ir] ①。将①式变形为[R-1I]的线性函数关系，即为[R=E×1I-r] ②。由②式可知[R-1I]的线性函数关系的截距[b=-r]，即[r=-b];图像的斜率[k=E]，即[E=k]。

【答案】[k];[-b]

2.改表法

[例4]为测量某一干电池的电动势和内阻，某同学备有以下实验器材：

A.干电池（电动势约为[1.5 V]，内阻小于[1.5 Ω]）;

B.电流表[G]（满偏电流[2 mA]，内阻[10 Ω]）;

C.电流表[A]（量程为[0.6 A]，内阻约为[0.1 Ω]）;

D.滑动变阻器[R1]（[0～20 Ω]，[10 A]）;

E.滑动变阻器[R2]（[0～100 Ω]，[1 A]）;

F.定值电阻[R3=990 Ω];

G.开关、导线若干。

（1）为方便且能较准确地进行测量，应选用滑动变阻器              （选填“[R1]”或“[R2]”）;

（2）请画出利用本题提供的器材所设计的测量干电池电动势和内阻的实验电路原理图;

（3）某同学根据他设计的实验测出了六组[I1]（电流表[G]的示数）和[I2]（电流表[A]的示数），请在图6的坐标纸上作出[I1]和[I2]的关系图线;

[序号 1 2 3 4 5 6 [I1mA] [1.40] [1.36] [1.32] [1.28] [1.20] [1.08] [I2A] [0.10] [0.15] [0.20] [0.25] [0.35] [0.50] ]

（4）根据图线可得，被测干电池的电动势为[E=]            [V]，内阻为[r=]         [Ω]。（计算结果保留两位小数）

分析：本实验中未提供电压表，灵敏电流计[G]阻值恒定，其满偏电压[Ug=IgRg=0.02 V]，因此可考虑将其与定值电阻[R3]串联改装成电压表且电压量程扩大[n=R3Rg+1=100]倍。因此改装后的电压表量程[U=nUg=2 V]满足题设所需电压测量。若将滑动变阻器[R1]全部连入电路，干电池电动势全部加在滑动变阻器[R1]上，则电路中的最小电流约为[I′min=ER1=75 mA]。同理，若将滑动变阻器[R2]全部连入电路，干电池电动势全部加在滑动变阻器[R2]上，则电路中的最小电流约为[I″min=ER2=15 mA]。电流表[A]的量程为[600 mA]。为方便测量，同时减小误差，滑动变阻器应选择[R1]。

根据以上分析，画出实验电路图如图7所示;根据实验数据作出如图8所示的[I1-I2]的图像。

根据实验电路图，由闭合电路欧姆定律有[E=I1（R3+Rg）+I2r] ①（注意：此电路中由于[I2≫I1]，所以为方便计算，在计算干路中的电流时忽略[I1]，而将[I2]视为干路中的电流）。将①式变形为[I1-I2]的函数关系，即为[I1=ER3+Rg+rR3+RgI2] ②。由②式可知，[I1-I2]函数关系图纵轴的截距[b=ER3+Rg=1.47×10-3 mA]，即[E=1.47 V];图像的斜率[k=rR3+Rg=0.8×10-3]，即[r=0.80 Ω]。

【答案】（1）[R1];（2）如图7所示;（3）如图8所示;（4）[1.47 V]，[0.80 Ω]

从例4的分析中可总结出在实验中无合适电压表时的处理方法之一：利用题给实验器材，将阻值恒定的电流表与定值电阻串联改装成电压表，这种方法称为改表法。

通过例1与例4对实验中无合适相应电表时的处理方法，扩展总结出处理此类问题的方法如下。

方法一：观察实验器材或草拟实验电路图，若实验中能通过计算获取该物理量，则不需要对应的电表，即计算法。

方法二：观察实验器材或草拟实验电路图，若实验中能用其他电表代替测量对应物理量所需的电表，则不需要对应的电表，即替代法。一般而言是将阻值较小的电压表视为电流表使用，因電流表两端能承受的电压相对较小，所以将电流表视为电压表使用的情况则相对较少。

方法三：利用题给实验器材将阻值恒定的量程较小的电流表改装成量程较大的电流表（如图9所示）或电压表使用，即改表法。

综上所述，解决实验中无合适相应电表时的处理方法可概括为“算”“替”“改”。

通过对以上四道例题所涉及的函数或图像的处理可归纳出处理测量电源的电动势和内阻实验创新函数或图像问题的步骤。

第一步，根据实验电路图写出闭合电路欧姆定律。

在教材中，闭合电路欧姆定律有[I=ER外+r]①与[E=U外+U内]②两种表达形式。在①式中[R外]为外电路的电阻，[r]为电源的内阻，此式只适用于外电路为纯电阻情形;在②式中[U外]为外电路的电压，即路端电压，[U内]为电源内阻上的电压，此式仅需知路端电压，而外电路是否为纯电阻电路无要求，而电源内阻则视为纯电阻（[U内=Ir]）。因②式使用范围较广且在实际操作中较方便，因此笔者建议学生在根据闭合电路欧姆定律列方程时，首先考虑②式，将闭合电路欧姆定律写成[E=U外+Ir]。若根据实验电路图无法直接写出路端电压或干路中的电流，则可利用其他物理量计算，进而代替之。

第二步，将闭合电路欧姆定律变形。

在此步骤中，学生需根据图像或题设要求体现的函数关系，将第一步写出的闭合电路欧姆定律变形为所需的一次函数表达式。特别提醒在变形过程中应明确函数的自变量与因变量。

第三步，找出函数表达式中截距与斜率的表达式。

第四步，根据截距和斜率的表达式计算电源的电动势和内阻。

在以上四道题目中所要求的函数或图像均已给出，且通过闭合电路欧姆定律变形后均为一次函数，然后再重点关注一次函数的斜率与截距的物理意义。此处体现了物理学中的“化曲为直”的物理思想。因此在实验题中未明确函数的自变量与因变量的前提下，学生应先将闭合电路欧姆定律变形为一次函数，再通过变形后的函数确定因变量与自变量，进而确定斜率与截距的物理意义。

[   参   考   文   献   ]

[1]  陈熙谋，吴祖仁.普通高中课程标准实验教科书∙物理（选修3-1）[M].北京：教育科学出版社，2006.

[2]  杜志建.一遍过∙高中物理选修3-1（JK）[M].南京：南京师范大学出版社，2015.

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[4]  肖平习.教材完全学案·高中物理选修3-1[M].北京：龙门书局，2016.

[5]  杜志建.试题调研：4辑[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2019.

[6]  杜志建.试题调研：4辑[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2020.

[7]  韩桂萍.2021年高考优化重组卷物理[M].乌鲁木齐：新疆文化出版社，2019.

（责任编辑 易志毅）