一种基于B样条双正交小波的图像阈值去噪方法

张昊 吐尔洪江·阿布都克力木

摘要;  针对图像中存在高斯噪声模糊图像，为提高图像的质量，利用二进提升方案与小波多分辨率分析的优势，提出一种基于B样条双正交小波的图像阈值去噪方法。首先利用二进提升方案构造一个新的双正交小波滤波器，对含噪图像进行小波变换，选择新构造的双正交小波和适当的分解层次，得到低频子图像和水平、垂直、对角线三个高频子图像。对每一次分解得到的高频子图像在不同尺度上使用不同的阈值模型进行去噪，然后对低频子图像与去噪后的所有高频子图像进行小波重构，得到最终去噪后的图像。

关键词： 小波变换;二进提升方案;B样条双正交小波;阈值去噪

中图分类号：TP18      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2021）31-0001-03

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An Image Denoising Method Based on B-spline Biorthogonal Wavelet is Presented

ZHANG Hao， Tuerhongjiang·Abudukelimu

（School of Mathematical Sciences  Xinjiang Normal University， Wulumuqi 830017， China）

Abstract： In order to improve the quality of the image， a threshold denoising method based on B-spline bispectral wavelet is proposed by using the advantages of binary lifting scheme and wavelet multi-resolution analysis. Firstly， a new biorthogonal wavelet filter is constructed by using dyadic lifting scheme， and the noisy image is transformed by wavelet transform. The low-frequency sub image and three high-frequency sub-images of horizontal， vertical and diagonal are obtained by selecting the newly constructed bisex wavelet and appropriate decomposition level. The high-frequency sub images obtained by each decomposition are denoised with different threshold models at different scales Then the low-frequency sub image and all high-frequency sub-images obtained after denoising are reconstructed by wavelet to get the final denoised image.

Key words： wavelet transform; dyadic lifting scheme; spline biorthogonal wavelets; threshold denoising

人类获得信息最主要和最为关键的手段之一就是图像，在图像的各种传达以及传输过程中，多种不同的噪音或其他干扰难以规避[1，2]，使得图像的质量受到损坏，影响对图像的后续处理，严重时会导致图像无法输出，影响人们对于图像的认知与有效信息的提取。因此，图像去噪是图像处理中的一个重要部分。

一直以来，图像去噪始终是人们关注的重点，图像去噪的方法可以分为两大类[3-5]，变换域去噪和空间域去噪，空间的方法主要有均值滤波，中值滤波，和维纳滤波等，常见的频域變换方法有基于傅里叶变换的图像去噪和基于小波变换的图像去噪，与傅里叶变换相比，小波变换保留了图像的频率信息和空间信息[6，7]，因此，小波变换广泛应用于图像去噪，最早的小波阈值去噪方法是由Donoh提出的软阈值去噪和硬阈值去噪，但硬阈值函数处理后的图像会有振铃、伪吉布斯效应，而软阈值函数相对灵活，因此很多人对它进行了改进，尽量避免软阈值的弊端，虽然这些去噪算法能够在不同程度取得较好的去噪效果，但可能会造成边缘迷糊和细节缺失等失真现象。

本文提出一种基于小波域中的阈值去噪和均值滤波的图像去噪新方法，实验表明，此方法对含噪图像的去噪效果有明显的提高。

1 图像小波变换

小波变换具有时域和频域上的局部性特性、多分辨分析特性、低墒性、去相关性和选基灵活性，因此使用小波进行图像去噪处理越来越广泛，小波去噪的本质是一个函数逼近问题，即对小波母函数进行伸缩平移，根据提出的衡量准则，寻找对信号的最佳逼近，完成对原信号和噪声信号的区分。图像每经过一次小波变换后，分解为4个原图像的1/4大小的图像。

1.1  二进提升方案

T.Abdukirim将双正交提升方案（Sweldens提升方案）推广，提出了二进提升方案[8，9]，通过调整方案中自由参数的形式，可以构造满足某种特性的二进小波滤波器和双正交小波滤波器。本文利用二进提升方案构造基于B-样条的具有有限长度和消失矩的对称双正交小波滤波器。

设初始滤波器[h，g，h，g]是二进小波滤波器，如果提升参数[r（m）]满足下面的条件：

[h（w）h*（w+π）+g（w）g*（w+π）h（w）g*（w+π）=2mr（2m+1）e-2i（2m+1）w] （1）

[hk=h0k+mr-mg0k-2m， gk=g0khk=hk， gk=g0k-mrmh0k-2m]                           （2）

则由二进对偶提升方案得到的滤波器是双正交滤波器。

1.2 图像阈值去噪

1995年Donoho[10，11]在小波变换的基础上提出了小波阈值去噪的硬阈值去噪法和软阈值去噪法，但两者都有一定的弊端，硬阈值函数能在一定程度上保留图像边缘细节等局部信息，但其不连续性会时常导致图像失真现象，软阈值函数相对连续，重构后图像失真较少，但当[|w|>λ]时，[wj]与[w]之间总存在着恒定的偏差。

为了克服软硬阈值弊端，本文对不同的分解层次不同尺度采用不同的阈值函数，本文使用Donoho的软硬阈值函数改进的两种不同的阈值函数[12]进行图像去噪。

[wj=sgn（w）（w2-λ2），|w|≥λα w， |w|<λ]                 （3）

其中[α]为可调节的参数。该阈值函数具有连续性，同时[|w|<λ]时，没有把小波系数归置为零，避免了硬阈值函数所带来的恒定误差，由于[|w|<λ]中大部分是噪声，所以参数的取值要足够小。

[wj=sgn（w）（|w|-λ2w2-λ2+λ），0，][|w|≥λ|w|<λ]                （4）

从图像和函数中可以看出，该阈值函数在[λ]处连续，在[λ]处的值为0，函数在噪声与有用信号之间存在一个平滑的过渡区，更符合图像的连续性，且函数是一阶可导的，随着[w]的增大，函数值趋于[wj=w]，不存在恒定偏差。

幅值较小的小波系数主要来自原始图像信号，幅值较小的小波系数主要来自噪声[13-15]，取阈值[λ=σn2lnN]，其中[σn]是噪声标准方差，[N]是信号的长度。

2 小波阈值图像去噪过程

（1）小波变换。利用新构造的双正交小波滤波器对含噪图像进行2层小波分解，得到图像分解系数。

（2）对图像第一层分解得到的3个高频系数使用模型（5）进行阈值去噪。

（3）对图像第二层分解得到的3个高频系数使用模型（6）进行阈值去噪。

（4）实现第二层到第一层的图像重构。

（5）实现第一层到第0的层图像重构，得到最终去噪后的图像。

3 实验结果与分析

为了验证两种方法的去噪效果，通过编程实现在MATLABR2018a平台上做了仿真实验。分别对软硬阈值结合的方法以及本文提出的去噪方法的效果进行展示。实验选用的图像为500*500的图像，实验对图像加入均值为0方差为0.006的高斯噪声，去噪后图像如图5所示。从图5的实验结果来看，使用软硬阈值结合方法的图像帽子、头发以及脸部产生了重影，有失真现象，利用本文的算法比它要清晰且脸部、帽子和头发比较自然。

4 结束语

本文提出使用一种用二进提升方案构建出一个新的双正交小波，同时对分解出的高频图像在不同尺度上使用不同的阈值函数，本文综合了阈值去噪和双正交小波的优点，在保护边缘信息的同时抑制了平滑区域的噪声。最后通过MATALB仿真实验，从视觉和客观数据两个方面都取得了较好的效果。

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【通联编辑：唐一东】

收稿日期：2021-06-25

基金项目：国家自然科学基金资助项目（No.11261061，No.61362039）;新疆师范大学数学教学资源开发重点实验室招标课题（No.XJNUSY082017B03）

作者简介：张昊（1996—），硕士，男，研究方向为小波分析及其应用;通信作者简介：吐尔洪江·阿布都克力木（1962—），男，教授，博士，研究方向为小波理论及其在图像处理与计算机视觉中的研究及应用。