保序且保等价部分变换半群上的自然偏序关系

秦 美 青

(菏泽学院数学与统计学院，山东 菏泽 274015)

半群是最简单、最自然的一类代数系统，半群代数理论的系统研究始于20世纪50年代，它是半群理论中最基本、最活跃也是成果最丰富的一部分.序理论是研究捕获数学排序的直觉概念的各种二元关系的数学分支，它在半群的代数理论中起着非常重要的作用，序关系一直是专家学者研究的热点[1-2].1952年，Vagner[3]探究了逆半群S上的自然偏序关系，给出了偏序关系的定义：

a≤b当且仅当a=eb，对某个e∈ES，

这里ES是指S中所有幂等元组成的集合，并且在文献[3]中指出此偏序关系对于乘法是左右相容的.30年后，Hartwig和Nambooripad分别在文献[4]和[5]中把逆半群上的自然偏序关系给推广到了正则半群，给出了正则半群上自然偏序关系常用定义：a≤b当且仅当a=eb=bf，对某个e，f∈ES，并指出此偏序关系关于乘法不再是左右相容的．

在[6]中自然偏序关系被进一步推广到任意半群S，a≤b当且仅当a=xb=by，a=xa对某些x，y∈S1．

设X是非空集合，TX是由X上的所有完全变换做成的半群.E是X上的非平凡等价关系，文献[7]刻画了TX的由等价关系E确定的子半群

TE(X)={f∈TX：∀(x，y)∈E⟹(f(x)，

f(y))∈E}

上的正则元，描述了TE(X)中任意两元素间的格林关系.文献[8]给出了半群TE(X)上偏序关系的定义：f≤g当且仅当f=kg=gh，f=kf，对某些h，k∈TE(X),探讨了TE(X)中两个元素在此偏序关系下何时是相关的，给出了关于此偏序关系≤相容的元素，并刻画了极大(小)元，覆盖元．

设集合X是一个有限全序集，文献[9]在等价关系E的每个等价类的基数都相同且所有的E-类都是凸集情况下，考虑了半群TE(X)的子半群

OE(X)={f∈TE(X)：∀x，y∈X，

x≤y⟹f(x)≤f(y)}

上的格林关系.文献[10]在|X|=n，E是X上等价关系，X/E={A1，A2，…，Am}且所有E-类都是凸集的条件下，给出了半群OE(X)上自然偏序关系的定义，探讨了OE(X)中两个元素何时关于此偏序关系是相关的，给出了关于偏序关系≤相容的元素，描述了极大(小)元和覆盖元．

设集合X(|X|≥3)，PX是集合X上所有部分变换做成的半群，E是X上等价关系.文献[11]刻画了PX的由等价关系E确定的子半群

PE(X)={f∈PX：∀x，y∈domf，(x，y)∈

E⟹(f(x)，f(y))∈E}

的正则元，描述了半群PE(X)上的格林关系.文献[12]在E是非平凡等价关系的前提下，研究半群PE(X)上的自然偏序关系，刻画了关于偏序关系相容的元素，给出了极大(小)元和覆盖元．

设集合X是一个全序集|X|=mn(m≥2，n≥3).文献[13]在等价关系E包含m个等价类，每个等价类是凸集并且基数都相同情况下，考虑了半群PE(X)的子半群保序且保等价部分变换半群

POPE(X)={f∈PE(X)：∀x，y∈domf，

x≤y⟹f(x)≤f(y)}

上的正则元及其任意元素间的格林关系．

本文是在|X|=n，E是X上等价关系，X/E={A1，A2，…，Am}且所有E-类都是凸集的条件下，给出了半群POPE(X)上自然偏序关系的定义：f≤g当且仅当f=hg=gk，f=hf，对某些h，k∈POPE(X)．研究了半群POPE(X)中两个元素何时关于此偏序关系是相关的，给出了关于偏序关系≤相容的元素，所得结果是半群OE(X)上自然偏序结果的相应推广．

1 自然偏序关系的刻画

定义1[14]集合{f-1(A)：A∈X/E，A∩imf≠∅}，记为E(f)．

定义2[15]设，是X的两个子集族.如果对每个A1∈，都存在B1∈，使得A1⊆B1，则称是的细化.

引理1[12]设f，g∈PE(X)，则f≤g当且仅当以下条件成立：

1)domf⊆domg，imf⊆img；

3)对任意x，y∈domf，若(g(x)，g(y))∈E，则(f(x)，f(y))∈E.对每个A∈X/E，存在B∈X/E，使得f(A∩domf)⊆g(B∩domg)．

定理1设f，g∈POPE(X)，则f≤g当且仅当以下条件成立：

1)domf⊆domg，imf⊆img；

3)若g(x)∈imf，则x∈domf且f(x)=g(x)；

4)对每个A∈X/E，其中A∩domf≠∅，存在保序映射φ：X/E→X/E，使得f(A∩domf)⊆g(φ(A∩domf))．

证明必要性.由f，g在POPE(X)中满足f≤g，则在PE(X)中f≤g一定成立.根据引理1可得，定理1中条件1)，2)，3)成立．

设f≤g，则存在h，k∈POPE(X)，使得f=hg=gk，f=hf，这样

domf=domgk=k-1(imk∩domg)⊆domk，

从而对每个A∈X/E，若A∩domf≠∅，则A∩domk≠∅.由k∈POPE(X)知存在B∈X/E，使得k(A∩domf)⊆k(A∩domk)⊆B.令φ(A∩domf)=B.对每个A∈X/E，若A∩domf≠∅，则存在唯一的B∈X/E，使得φ(A∩domf)=B，从而φ是良定义的.任取A1，A2∈X/E(其中A1∩domf≠∅，A2∩domf≠∅)，不妨设A1

f(A∩domf)=gk(A∩domf)⊆g(B)=

g(φ(A∩domf))．

充分性.假设条件1)，2)，3)，4)成立，只需要构造h，k∈POPE(X)，使得f=hg=gk，f=hf.首先定义k如下：令domk=domf，由4)知，对每个A∈X/E，若A∩domf≠∅，则存在B=φ(A∩domf)，使得f(A)⊆g(B).任取x∈A，其中A∩domk=A∩domf≠∅，记z=max{g-1(f(x))∩B}∈domg.定义k(x)=z，显然k∈PE(X)且对任意x∈domf，gk(x)=g(z)=f(x)．

下面验证k是保序的.任取a，c∈domk且设a

情形1若A=C，则k(a)=max{g-1(f(a))∩B}≤max{g-1(f(c))∩B}=k(c)；

情形2若A

k(a)=max{g-1(f(a))∩B}≤

max{g-1(f(c))∩D}=k(c)，

从而k∈POPE(X)．

对于h，令domh=im(g(domf))且对每个A∈X/E，其中A∩domh≠∅，不妨记A∩im(g(domf))={a1，a2，…，as}，其中a1

由a1

a*=maxg-1(A∩im(g(domf)))，

b*=ming-1(B∩im(g(domf)))，

则有a*

下面验证f=hg，f=hf．

对任意x∈domf，由imf⊆img知，存在y∈domg，使得f(x)=g(y)∈imf，由条件3)知y∈domf且f(y)=g(y)，从而有hf(x)=hg(y)=f(y)=f(x)，所以f=hf成立．

显然，若f，g∈POPE(X)且f≤g，则在PE(X)中一定有f≤g．

例1设集合X={1，2，3，4，5，6，7，8}，E=(A1×A1)∪(A2×A2)∪(A3×A3)，其中，A1={1，2，3，4}，A2={5，6}，A3={7，8}.令

显然f，g∈POPE(X).下面验证f，g在POPE(X)中有f≤g．

1)domf⊆domg，imf={2，4，5，6}⊆img={2，3，4，5，6}．

3)通过观察知g(1)，g(2)，g(4)，g(5)，g(6),g(7),g(8)∈imf时，则有1，2，4，5，6∈domf且g(1)=f(1)，g(2)=f(2)，g(4)=f(4)，g(5)=f(5)，g(6)=f(6)，g(7)=f(7)，g(8)=f(8)成立，说明了若g(x)∈imf，则x∈domf且f(x)=g(x)．

4)存在保序映射φ：X/E→X/E，使得f(A1∩domf)={2，4}⊆g(φ(A1∩domf))=g(A1∩domg)={2，3，4}.f(A2∩domf)={5，6}⊆g(φ(A2∩domf))=g(A2∩domg)={5，6}.f(A3∩domf)={6}⊆g(φ(A3∩domf))=g(A3∩domg)={6}.综上知，f≤g．

例1证实了f，g在POPE(X)存在偏序关系f≤g，则在PE(X)中肯定存在关系f≤g．

注若f，g∈PE(X)且f≤g，但在POPE(X)中未必有f≤g．

推论1设f，g∈POPE(X)，则f≤g当且仅当以下说法成立：

1)如果imf=img，则f=g；

2)对每个P∈π(f)，存在P′∈π(g)，使得P′⊆P且f(P)=g(P′)；

3)如果π(f)=π(g)，则f=g；

4)对每个U=f-1(A)∈E(f)，其中A∈X/E，存在V∈E(g)，使得V⊆U且f(U)=f(V)⊆g(V)=A∩img．

证明1)因为imf=img，所以对任意x∈domg，有g(x)∈imf.由定理1中条件2)知x∈domf且f(x)=g(x)，由此可知domg⊆domf，结合domf⊆domg，从而有domf=domg且对任意x∈domf有f(x)=g(x)，故f=g．

由2)可直接推出3)．

4)由定理1中条件2)知E(g)加细E(f).任取U=f-1(A)∈E(f)，其中A∈X/E．f(U)=A∩imf⊆A∩img.令V=g-1(A∩img)∈E(g)，对任意的y∈f(U)，则存在z∈V，使得y=g(z)∈imf，由定理1中3)知z∈domf且y=g(z)=f(z)，这样z∈f-1(y)⊆U，故V∩U≠∅，所以V⊆U且有f(U)=f(V)⊆g(V)=A∩img.

2 相容性

定义4[16]设ρ是半群S上的一个偏序，称元素c∈S关于ρ是左(右)相容的，如果对所有的(a，b)∈ρ，都有(ca，cb)∈ρ((ac，bc)∈ρ)．

定义5设h∈POPE(X)，如果存在某个A∈X/E，使得imh⊆A，则称h是E-常值的．

定义6设h∈POPE(X)，如果对每个A∈X/E，都有imh∩A≠∅，则称h是E-完备的．

容易得出h是E-常值的当且仅当E(h)=domh.h是E-完备的当且仅当h-1(A∩imh)=A∩domh．

定理2设h∈POPE(X)，若h是E-完备的(domh=X)且对每个A∈X/E，h|A为恒等映射或常值映射，则h是左相容的．

证明设f，g∈POPE(X)且f≤g，要想说明h是左相容的，只须证明hf≤hg．

1)因为f，g∈POPE(X)且f≤g，所以imf⊆img，显然无论h|A为恒等映射或常值映射都有imhf⊆imhg成立.由h是E-完备的且对每个A∈X/E，h|A为恒等映射或常值映射，则有

domhf=f-1(imf∩domh)=

domf⊆domg=g-1(img∩domh)=domhg．

2)对任意x，y∈domhf，若(hg(x)，hg(y))∈E，即存在A∈X/E，使得hg(x)，hg(y)∈A，从而g(x)，g(y)∈h-1(A∩imh).由h是E-完备的知g(x)，g(y)∈h-1(A∩imh)∈A∈E.因为f≤g，由定理1中条件2)可知(f(x)，f(y))∈E，显然(hf(x)，hf(y))∈E成立．

若h为常值映射，分以下情况讨论.

当A≠B时，则必有B>A或B

若f(x)≠f(y)，则必有f(x)

若B>A，由g(y)∈A，g(x1)=f(x)∈B可知g(y)

若B

若g(x)=f(y)，则g(x)∈imf.由定理1中条件3)可知x∈domf且g(x)=f(x)，显然hg(x)=hf(x)成立．

若g(x)≠f(y)，由h是E-完备的知存在A∈X/E，使得g(x)，f(y)∈A.因为g(x)≠f(y)，所以h|A是常值映射.由推论1中4)证明知

x∈g-1(A∩img)⊆f-1(A∩imf)，

从而有g(x)，f(x)∈A，再由h|A是常值映射得hg(x)=hf(x)．

4)对每个A∈X/E，若A∩domhf≠∅，则显然A∩domf≠∅.由f≤g中条件4)可知，存在保序映射φ：X/E→X/E，使得f(A∩domhf)⊆g(φ(A∩domhf))成立.显然hf(A∩domhf)⊆hg(φ(A∩domhf))成立．

综上可知hf≤hg，从而h是左相容的．

定理3设h∈POPE(X)，若h是X上的恒等映射idX，则h是右相容的．

证明假设f，g∈POPE(X)且f≤g，根据半群POPE(X)上自然偏序关系的定义，f≤g当且仅当f=hg=gk，f=hf，对某些h，k∈POPE(X).因此，任取f，g∈POPE(X)且f≤g，有fidX=h(gidX)=(gidX)k，fidX=h(fidX)，进而，fidX≤gidX，即恒等映射是右相容的．