基于双树复小波变换与双边滤波的图像滤波

万里勇，陈家益

(1.南昌工学院人工智能学院，南昌 330108；2.江西师范大学管理科学与工程研究中心，南昌 330046；3.广东医科大学信息工程学院，广东 湛江 524023)

在图像的拍摄和处理的过程中，常常受到噪声的干扰.其中高斯噪声是一种常见的噪声，其服从零均值的高斯分布，数学模型为：

f=s+n，

(1)

其中，s、n和f分别为原图像、高斯噪声和含噪图像，n服从零均值的高斯分布，n～N(0，σn).高斯噪声影响图像的视觉效果及其应用，去除高斯噪声非常必要.去除高斯噪声常用的有效方法有空间域的高斯滤波[1]、维纳滤波[2]以及非局部均值滤波[3]，以及变换域的小波阈值去噪方法[4].高斯滤波的各项同性会破坏图像的边缘和纹理结构，非局部均值滤波虽然能够有效地去除高斯噪声，但是其计算复杂度较高，缺乏实用性.而小波因为其具有多分辨率分析和信号局部特征表示的能力，被广泛应用于图像处理.Kumar等[5]提出了一种应用于医学超声图像的小波阈值去噪方法，在阈值的选取中引入了Fisz变换方法，但是其收缩函数采用软阈值函数，未能有效地保持的图像的边缘和细节.Li等[6]提出了带边缘检测的优化小波阈值去噪方法(WTDED)，将小波检测出来的图像边缘，融合到小波阈值去噪图像中.Sumathi等[7]提出一种四方向的拉普拉斯滤波器，以去除小波高频图像的噪声.但是拉普拉斯滤波器是空间域滤波器，会破坏图像的部分小波系数.为了同时利用小波的稀疏表示特性和中值滤波的边缘保持能力，Ullah等[8]将小波阈值去噪与中值滤波相结合，提出了一种运用对数收缩函数的小波去噪方法(WDLSF).

图像的细节和纹理结构错综复杂，边缘的灰度存在跳跃，小波变换存在平移敏感性和缺乏方向选择性等缺陷，难以有效地保持图像的细节和纹理结构，于是Selesnick等[9]提出了双树复小波变换(DTCWT)方法.双树复小波变换除了具有小波变换的优点外，还具有平移不变性和多方向选择性，这正是图像处理所亟需的.鉴于不同分解尺度间的小波系数存在相关性，在双树复小波变换的基础上，La等[10]提出了双密度的双树复小波变换.Velayudham等[11]提出了一种结合局部像素分组和双树复小波包的图像去噪方法，用双树复小波包对噪声信息进行识别，然后分三阶段，每一阶段用不同的噪声强度参数对噪声进行去除.鉴于形态学在图像处理中的广泛而有效的应用，牛犇等[12]将形态学滤波和双树复小波变换相结合，提出了基于最大后验估计的图像去噪方法(DCWM).用形态学滤波对含噪图像进行预处理，然后用最大后验估计方法确定去噪阈值，对小波系数进行阈值处理.Edla等[13]指出，小波阈值去噪的性能取决于阈值的选取，于是提出了一种基于双树复小波变换去噪的最优阈值的计算方法.利用最优阈值，噪声对图像均匀区域像素强度的影响得到完全抑制，而图像的边缘不受影响.但是其阈值缺乏自适应性，对于性质不同的图像未必有效.Saeedzarandi等[14]提出了一种应用多元t分布与非抽样双树复小波变换的图像滤波方法(UDT-CWT)，采用多元t分布作为无噪声系数的先验概率，以正确建模小波系数的统计特性.

为了在图像去噪中更有效地保持和恢复图像的细节和纹理结构，本文提出了基于双树复小波变换与双边滤波的图像去噪方法(DCWBF).DCWBF充分利用双树复小波变换的平移不变性和多方向选择性，用推导出自适应的阈值去噪模型对含噪图像进行去噪处理，然后用改进的双边滤波对去噪图像进行边缘增强，最后用实验证明方法的有效性.

1 双树复小波变换

文献[9]中首次提出双树复小波的概念，在论文中演示了数学分析和推导过程，并详尽地对双树复小波变换的滤波器构造和滤波效果分析进行了充分的论述.双树复小波变换建立于小波理论基础上.复数小波定义为

ψ(t)=ψh(t)+jψg(t)，

(2)

其中，ψh(t)和jψg(t)分别为复小波的实部与虚部.

双树复小波变换如图1所示，其中h0(n)和h1(n)表示共轭正交滤波器对，g0(n)和g1(n)表示共轭积分滤波器对，↓2表示隔点采样.双树复小波变换的思想路线为：在第一层分解中，若要求树a和树b的滤波器之间的延迟刚好是一个采样周期，就可以保证树b中第一层的隔点采样后所得的数据恰好是采样到树a中因隔点采样所丢掉的数据，这样就会降低数据的丢失，也就不会有平移敏感性.在以后的各层分解中，为确保树a和树b在这一层和它之前的各层上的延迟差总和相对输入刚好有一个采样周期，那么两树所对应的滤波器相频响应之间就会刚好有半个采样周期的群延迟，而且两组滤波器的幅频就会相同.为了确保滤波器之间的线性相位，文献[9]中采用双正交小波变换，要求两树中其中一树的滤波器为奇数长，而另一树的滤波器则是偶数长.因此，要使这两棵树呈现好的对称性，只要求在每树的不同层次间采用交替的奇偶滤波器.

图1 双树复小波变换的分析滤波器组Fig.1 Analysis filter bank for dual tree complex wavelet transform

双树结构的滤波器组使得双树复小波变换具有近似的平移不变性，并且二维的双树复小波变换能够提供6个方向的细节信息，具有多方向选择性，并且其具有较小的数据冗余以及完成重构的能力.双树复小波继承了离散小波的时频局部化分析与多分辨率分析等优良性能，另外具有多方向选择性，如图2所示，以及平移不变性，如图3所示[9].

图2 二维双树复小波的方向和幅值Fig.2 Direction and amplitude of two dimensional dual tree complex wavelet

图3 双树复小波变换的平移不变性Fig.3 Translation invariance of dual tree complex wavelet transform

2 DCWBF方法

2.1 适应的阈值去噪模型

根据高斯噪声模型(如式(1))，经小波变换后，可写为

F=S+N，

(3)

(4)

根据贝叶斯估计的法则可得

(5)

上式取对数后等价于

(6)

根据噪声的小波系数N和原图像系数S的概率分布，上式等价于

(7)

根据导数求极值的方法，上式等价于求解以下方程

(8)

从而得到自适应的阈值去噪模型

(9)

2.2 改进的双边滤波

经过自适应的阈值去噪模型去噪后的图像，由于图像的部分高频系数与噪声系数易混淆，以致去噪不彻底，或者去除了部分有用的图像系数.鉴于双边滤波具有保持边缘和降噪平滑的能力，采用改进的双边滤波对去噪图像作进一步的处理，以彻底去除噪声和恢复图像的边缘.

双边滤波如式(10)所示，核函数是空间域核Gd与像素范围域核Gs的结合，可以达到保持边缘和降噪平滑的效果.

(10)

双边滤波的效果决定于其核函数Gd和Gs，核函数不仅考虑了像素的空间距离，还考虑了像素范围域中的辐射差异，具有边缘识别的能力.在图像的平坦区域，像素值变化很小，那么像素范围域权重就大，此时像素范围域权重起主要作用，提升邻域像素的相似性；在图像的边缘区域，像素值变化很大，对应的像素范围域权重就小，此时空间域权重起主要作用，从而保护了边缘的信息.但是，一般的双边滤波核函数忽略了图像与空间邻域的特征，从而导致滤波缺乏鲁棒性.于是，根据平滑区域的像素方差小，细节区域的像素方差大，我们提出了改进的双边滤波

(11)

W=αGd+(1-α)Gs，

(12)

其中，

α用以决定空间域核Gd与像素范围域核Gs的权重的分量，经过图像数据集的测试与验证，α取0.226为宜，为保持图像的边缘和细节结构，Gs占主导地位.σd为邻域像素位置的空间距离标准差，σs为原图像小波子带的标准差.小邻域的像素相关性强，方差小，其空间域权重就大；反之，大邻域的空间域权重小.平滑区域的像素相关性强，方差小，其像素范围域权重大；反之，细节区域的像素范围域权重小.因此，改进的核函数自适应于邻域的大小和原图像的特征，根据邻域的大小和图像特征自适应地调整空间域核与像素范围域核的权重，从而获得平滑非细节区域而保持细节区域边缘信息的效果.

3 实验结果与数据分析

以处理器为Intel(R)i7、内存为8 G的计算机和Matlab 2019a为实验操作环境，实验所用的数据集为BSD68、SET12和部分医学图像，其中医学图像如图4所示.以最新提出的算法WTDED[6]、WDLSF[8]、DCWM[12]、UDT-CWT[14]作为参照，根据峰值信噪比(PSNR)和结构相似性(SSIM)[15]以及图像的视觉感知分析DCWBF方法的效果.PSNR和SSIM的定义如下:

图4 医学图像Fig.4 Medical images

(13)

C1=(K1L)2，C2=(K2L)2.

(14)

3.1 去噪结果的PSNR和SSIM

数据集BSD68总共有68张性质各异的图像：包括人物、动物、山水景观、建筑等图像，图像尺寸各异，部分图像偏暗而部分图像偏亮.利用BSD68可以较准确而稳定地度量算法的性能.各算法在数据集BSD68上实验得到PSNR和SSIM值用曲线表示如图5所示.其中，WDLSF和WTDED的PSNR和SSIM曲线处于较低位置，表明它们在噪声的去除和纹理结构保持上的性能较差，另外，UDT-CWT在噪声强度较低时，取得了相对良好的去噪效果，但是对于中、高强度的噪声，其性能骤然走低.DCWM的去噪效果较好，对纹理结构的保持和恢复得很好.相对地，本文提出的方法取得了更好的去噪效果，其PSNR和SSIM曲线高于所有算法，与去噪性能较好的DCWM相比，其PSNR比DCWM高出了大约0.8 dB，SSIM高出大约2.3%.

图5 各算法对数据集BSD68去噪的PSNR和SSIMFig.5 The PSNR and SSIM of each filter on dataset BSD68

将各算法应用于数据集SET12得到的PSNR和SSIM曲线如图6所示.相对于数据集BSD68，各算法在SET12上的结果都稍有提高，但得到的结论是一致的.WDLSF和WTDED的性能相对较差，虽然UDT-CWT在噪声强度较低时，性能表现还可以，但是总体上还是较差.而DCWM和DCWBF的性能较好，另外，DCWBF在性能上还是比DCWM超出一定的距离，PSNR比DCWM高出了大约0.85 dB，SSIM高出大约4.7%.结果表明了DCWBF算法在去噪彻底性与纹理结构保持上的性能更优.

图6 各算法对数据集SET12去噪的PSNR和SSIMFig.6 The PSNR and SSIM of each filter on dataset SET12

各算法对医学图像spine＿mri的去噪结果如图7所示.其中UDT-CWT和WTDED的效果较差，特别是在噪声强度较高时，它们的PSNR值和SSIM值骤然走低.虽然WDLSF的SSIM值较高，能够有效地保持图像的细节和纹理结构，但是其PSNR值总体上不高.DCWM与本文算法DCWBF的性能表现较好，PSNR和SSIM曲线均处于较高位置.相对地，DCWBF还是比DCWM高出一定的距离，PSNR值大约高出0.85 dB，SSIM值高出2.2%.

图7 各算法对医学图像spine＿mri去噪的PSNR和SSIMFig.7 The PSNR and SSIM of each filter on medical image spine＿mri

鉴于改进的双边滤波是本文方法的重要部分，在数据集SET12上单独验证其有效性.本文方法中分别用双边滤波(BF)与改进的双边滤波(IBF)的实验结果如表1所示.根据数据的比较，在本文方法中结合改进的双边滤波，比结合传统的双边滤波具有一定的优势，对于表1中不同的噪声强度，其PSNR平均提高0.26 dB，SSIM平均提高0.32%.

3.2 去噪图像的视觉感知

各算法对乳腺图像mammogram的去噪图像如图8所示，各分图下的两个数字为图像对应的PSNR和SSIM值.很明显，WTDED去除不彻底，残留的噪声布满整个画面.UDT-CWT去噪后图像出现了类似噪声的伪影.WDLSF彻底去除了噪声，但是图像的模糊效果严重，图像的纹理不清.DCWM的去噪效果相对较好，图像的纹理较清晰，但是依然存在一些模糊效果.DCWBF的去噪效果图非常清晰，图像的细节和纹理结构恢复得较好，细节更加丰富和细腻，比如图像的右下角部分.根据图像的PSNR和SSIM值可以得出同样的结论.

图8 各算法对含噪强度σ=35乳腺图像mammogram的去噪图像Fig.8 Denoised image of each filter on mammogram corrupted with noise of intensity σ=35

综上所述，实验得出的客观图像质量指标和去噪图像，验证了所提出方法的有效性与实用性，相对地，所提出方法具有更好的去噪和边缘恢复性能.对于性质不同的数据集，其始终取得一致良好的去噪结果.

4 结论

为了在有效去除高斯噪声的同时，更好地保持和恢复图像的细节和纹理结构，提出了基于双树复效波变换与双边滤波的去噪方法.根据对图像和噪声的分布假设，推导出基于双树复小波变换的自适应阈值去噪模型，用改进的自适应双边滤波器对去噪图像进行滤波，以彻底去除噪声和增强图像的边缘.实验数据证明了所提出方法的有效性，具有良好的去噪和边缘恢复性能.将方法作进一步的改进，与Retinex图像增强方法结合，应用于图像的去噪和增强，是我们下一步的研究工作.