含脉冲分数阶广义线性系统的能控能观性

冯再勇，叶玲华，向峥嵘，谢小韦

(1.南京理工大学自动化学院，江苏 南京 210094；2.南京铁道职业技术学院a.基础部；b.财务处，江苏 南京 210031)

分数阶导数的本质是变量或其整数阶导数的弱奇异积分[1-5]。分数阶导数定义中的核函数称为记忆核函数[6-7]，它反映了分数阶系统的记忆特性。分数阶系统适合刻画具有“过程记忆性”、“历史遗传性”等特点的多种物理过程[8-11]。

分数阶广义系统的动态层是用分数阶导数刻画的微分系统，静态层则是用代数方程描述的代数系统。因此，分数阶广义系统适合于描述状态变量间既存在分数阶微分约束，又存在代数约束的复杂系统[12]。目前学术界对于分数阶广义系统的研究集中于：①探讨分数阶广义线性系统的解。如Kaczorek T，Feng Z Y等[13-15]利用分数阶广义线性系统的等价标准型，研究了系统解的存在唯一性等基础理论及系统求解方法(包括经典解和分布解)。②研究无脉冲分数阶广义线性系统的稳定性、容许性、系统镇定[12,16-18]等问题。文献[12]是研究分数阶广义线性系统的奠基性工作，它分别针对导数阶数0<α<1和1<α<2两种情况研究了无脉冲分数阶广义线性系统的稳定性条件。此外，容许性对于广义系统具有重要意义，其主要特点之一就是系统无脉冲。文献[16-17]研究了分数阶广义线性系统的容许性条件。文献[18]基于[17]的工作，研究了导数阶数1<α<2时，基于状态观测器的容许系统的系统镇定问题。③关于分数阶广义线性系统的应用研究，典型的应用包括分数阶电路系统等[19]。易见，目前关于分数阶广义线性系统的研究，几乎都是在系统无脉冲的基础上开展的。

对于分数阶广义线性系统而言，无脉冲要求系统经受限等价变换后，快子系统的系数矩阵N为零矩阵。而更多情况下，特别是一些依据实际问题建立的分数阶广义线性系统模型，系数矩阵N往往不满足无脉冲条件，此时前述研究结论便不一定适用。

研究控制系统的能控性和能观性是进行系统控制和设计的基础，已有关于分数阶广义线性系统完全能控性和能观性的研究工作包括[24-26]，它们都没有考虑系统含脉冲项的情况。本文基于我们的前期研究结果[20]，以系统分布解为基础，研究含脉冲分数阶广义线性系统的完全能控和完全能观问题。本文证明了含脉冲分数阶广义线性系统完全能控和能观的充要条件，给出了判断含脉冲分数阶广义线性系统完全能控和能观的秩判据，为关于分数阶广义线性系统的研究、应用提供基础和依据。

1 分数阶广义线性系统及其能控(观)性概念

本文讨论如下形式的分数阶广义线性定常系统：

(1)

其中t∈T，x(t),y(t),u(t)分别是系统的状态变量、输出变量和控制输入变量。维数分别为x(t)∈Rn,y(t)∈Rm,u(t)∈Rr，系数矩阵E,A∈Rn×n,B∈Rn×r,C∈Rm×n,D∈Rm×r。分数阶导数采用Caputo导数，导数阶数0<α<1。考虑到系统(1)解的存在唯一性，假设矩阵对(E,A)是正则的，且不要求系统无脉冲。

系数矩阵对(E,A)正则，故存在可逆矩阵P1和P2。对(1)左乘矩阵P1，并令x=P2[x1,x2]T，可将(1)等价地变换为(2)：

(2)

其中x1(t)∈Rn1,x2(t)∈Rn2,A1∈Rn1×n1,B1∈Rn1×r,N∈Rn2×n2,B2∈Rn2×r。N是幂零矩阵，设其指数为h，有Nh=0,Ni≠0,i=1,2,…h-1。与一般广义线性系统相对应，我们称系统(2.1)和(2.2)分别为系统(2)的慢子系统和快子系统。下面考察系统(2)的状态响应。

慢子系统(2.1)是分数阶线性系统，文献[15]证明了其状态响应如下。

引理1[15]慢子系统(2.1)的状态响应具有如下形式：

(3)

引理2[20]快子系统(2.2)的状态响应如下：

x2(t,u,x20)=x2i(t,x20)+x2u(t,u)

(4)

(0)]。h是幂零矩阵N的指数，lk=「kα⎤，k=0,1,…,h-1。

注1引理2中的状态响应含有脉冲函数及其分数阶导数，它是分布解。研究表明，分布解中脉冲函数的分数阶导数(即脉冲项)从系统状态轨迹的角度，刻画了分数阶广义线性系统的记忆特性。

注2引理2不要求快子系统的系数矩阵N=0，因此它也适用于刻画含脉冲分数阶广义线性系统的运动分析。

与线性系统的能控性[21-22]概念类似，分数阶广义线性定常系统(1)的完全能控性定义如下：

定义1若对于初始时刻t0∈T的一个非零初始状态x0，存在一个时刻t1∈T,t1>t0和一个无约束的容许控制u(t)，t∈[t0,t1]，使系统(1)的状态由x0转移到t1时刻时，x(t1)=0则称此非零状态x0在时刻t0为能控的。

定义2若状态空间中的所有非零状态都在时刻t0,t0∈T为能控的，则称系统(1)在时刻t0为完全能控的。

考察系统的完全能观性，一般不考虑系统的控制输入u(t)，但需要结合系统的输出y(t)进行研究。此时，分数阶广义线性定常系统形式如(5):

(5)

系统(5)经过受限等价变换，可被等价地变换为系统(6)：

(6)

其中x1(t)∈Rn1,x2(t)∈Rn2,y1(t)∈Rm,y2(t)∈Rm,A1∈Rn1×n1,C1∈Rm×n1,C2∈Rm×n2。N∈Rn2×n2，是幂零矩阵，设其指数为h，有Nh=0,Ni≠0,i=1,2,…h-1，Caputo导数阶数0<α<1。系统(6.1)和(6.2)是系统(6)的慢子系统,系统(6.3)和(6.4)是系统(6)的快子系统，系统输出为y=y1+y2。

根据线性系统能观性[21-22]概念，分数阶广义线性系统的能观性定义如下：

定义3对于分数阶广义线性系统(5)的一个非零初始状态x(t0)(t0∈T)，若存在一个时刻t1∈T,t1>t0使得在观测时间t∈[t0,t1]内由输出y(t)能够唯一确定初始状态x(t0)，则称此状态x(t0)是能观的。

定义4若状态空间中，所有非零初始状态x(t0)，t0∈T都是能观的，则称系统(5)是(状态)完全能观的，简称能观的。

2 含脉冲分数阶广义线性系统的能控性研究

含脉冲分数阶广义线性定常系统(2)的慢子系统(2.1)是个一般分数阶线性系统。关于分数阶线性系统的能控性判定，引理3给出了明确的结论。

引理3[23]分数阶广义线性系统(2)的慢子系统(2.1)完全能控的充要条件是：

(7)

我们重点研究含脉冲分数阶广义线性定常系统(2)的快子系统(2.2)的能控性问题。结合引理2中快子系统(2.2)的分布解，我们给出以下快子系统的能控性判定定理，即定理1：

定理1快子系统(2.2)完全能控的充要条件是：

rankQC2=rank[B2,NB2,…,Nh-1B2]=n2

(8)

即，快子系统的能控性矩阵QC2=[B2,NB2,…,Nh-1B2]行满秩。

证明根据定义1，即需要证明存在无约束的容许控制输入u(t)和时刻t，能够使得系统(2.2)的状态由x20转移到原点x(t)=0。由引理2可知，快子系统(2.2)的分布解为：

欲使得x2(t)=0，即要求存在控制输入u(t)满足：

(9)

(10)

定理1是判定含脉冲分数阶广义线性系统快子系统完全能控的定理。以此为基础，我们可以得到更为简洁的PBH秩判据。

定理2(PBH秩判据)含脉冲分数阶广义线性系统(2)的快子系统(2.2)完全能控的充要条件是：

rank[N,B2]=n2

(11)

证明由线性系统的PBH秩判据可知，定理1的能控性条件，等价于矩阵[λI-N⋮B2]对于矩阵N的每一个特征值λi都有：rank[λiI-N⋮B2]=n2。

考虑到幂零矩阵N的特殊结构，可知其特征值λi均等于0，于是定理1的能控性条件等价于：

rank[-N,B2]=rank[N,B2]=n2

证毕！

综合上述含脉冲分数阶广义线性系统(2)的慢子系统(2.1)和快子系统(2.2)的能控性条件，可得到含脉冲分数阶广义线性系统的能控性判定定理，即定理3。

定理3含脉冲分数阶广义线性定常系统(1)完全能控的充要条件是经受限等价变换后，慢子系统(2.1)和快子系统(2.2)均完全能控，即：

(12)

3 含脉冲分数阶广义线性系统的能观性研究

含脉冲分数阶广义线性定常系统(6)的慢子系统(6.1)和(6.2)，是分数阶线性系统。关于分数阶线性定常系统的能观性判定，有如下引理4：

引理4[23]系统(6)的慢子系统(6.1)和(6.2)是完全能观的充要条件是：

(13)

下面我们以分数阶广义线性系统的分布解为基础，研究含脉冲分数阶广义线性系统快子系统的能观性定理，即定理4。

定理4含脉冲分数阶广义线性系统(6)的快子系统(6.3)和(6.4)完全能观的充要条件是：

(14)

即，快子系统的能观性矩阵QO2列满秩。

输出的矩阵形式可以表示为：

(15)

由于m

(16)

上式也可以写成：

Y=Mx2(0)=M0QO2x2(0)

(17)

欲使(17)具有唯一解，其充要条件是系数矩阵M和增广矩阵[M⋮Y]具有相同的秩且秩等于n2，故rankM=rank(M0QO2)=n2。由乘积矩阵秩的性质n2=rankM0QO2≤min(rankM0,rankQO2)，可知rankQO2≥n2。又QO2∈Rmh×n2有n2列，故rankQO2≤n2。综上得到：rankQO2=n2。

证毕！

以此为基础，我们可以得到快子系统的能观性PBH秩判据。

定理5(PBH秩判据)含脉冲分数阶广义线性系统(6)的快子系统(6.3)和(6.4)完全能观的充要条件是：

(18)

证毕！

基于上述讨论，我们可以得到含脉冲分数阶广义线性定常系统的能观性判定定理，即定理6。

定理6含脉冲分数阶广义线性系统(5)完全能观的充要条件是经受限等价变换后，慢子系统(6.1)～(6.2)和快子系统(6.3)～(6.4)均完全能观，即：

(19)

4 相关算例

我们可选择适合的控制输入u1,u2，让这两个状态变量在有限时间内趋向于0。比如，取分段连续的控制输入：

t/s图1 导数阶数为0.6时的u1,u2

t/s图2 导数阶数为0.6时的x21,x22

t/s图3 导数阶数为0.2时的u1,u2

t/s图4 导数阶数为0.2时的x21,x22

5 结论

针对含脉冲分数阶广义线性系统，本文以受限等价变换为工具，结合分数阶广义线性系统含脉冲项的分布解，证明了含脉冲分数阶广义线性系统的完全能控性和完全能观性定理，并给出了简便实用的含脉冲分数阶广义线性系统的能控性和能观性秩判据。算例说明，本文所提出的含脉冲分数阶广义线性系统的完全能控(观)定理和判据便捷有效。此外，我们知道，对偶线性系统的能控性和能观性之间满足对偶原理。含脉冲分数阶广义线性系统的对偶系统的形式和结构如何，对偶原理是否仍然成立值得在后继工作中加以研究。