高阶导数的分析与求解

摘要：高阶导数的求解和应用是微积分导数部分的重要章节，计算方法采用逐次求导的方式进行。在高阶导数的应用过程中常遇到含参数类型的问题求解，需灵活变通求解思路，寻求解题的规律，得到正确的答案。

关键词：函数;高阶导数;参数

中图分类号 G 712       文献标识码 A

1 高阶导数的定义

定义1 一般地[1]，如果函数的导函数仍然可导，则的导数叫作函数的二阶导数，记作或，即

相应地，把叫作函数的一阶导数.通常对一阶导数不指明它的阶数.

类似地[2]，函数的二阶导数的导数叫作的三阶导数，三阶导数的导数叫作四階导数，…，一般地，的（-l）阶导数的导数叫作的阶导数，分别记作

或或

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.

2高阶导数的计算

为便于对高阶导数进行计算，按照问题解答类型进行分类求解。

2.1 具体函数指定阶数类型

（1）不复合的具体函数指定阶数

此类题型采用高阶导数定义[3]，逐次求导进行解答。

例1 设函数，求和.

解：1）.

2）.

（2）复合的具体函数指定阶数

此类题型采用高阶导数定义，利用复合函数逐次求导进行解答。

例2 设函数，求.

解： 因，

所以.

2.2 归纳推导类型

（1）周期变化类

利用试求具体阶数导数，推导出求导结果规律。

例3 设函数，求.

解：

因，

所以在求高阶导数过程中最小正周期为4，，。

参数变化类

利用试求具体阶数导数[4]，结合导数结果与参数变化的关系，得到答案。

例4 设函数，求.

解： 因，.

注：可以采用取特殊值法试求结果规律方式进行。

例5 设函数，求.

解： 因，.

例6 设函数，求.

解： 因，当，跟常数的导数为0，所以.

例7 设函数，求.

解： 因.

3 总结

高阶导数的定义虽通俗易懂，但在在求解过程中，应充分分析题目的特点，结合高阶导数的定义，找到准确的解决方法，灵活解答问题。

参考文献

[1] 熊庆如.高等数学[M].西安：西安交通出版社，2015.

[2] 叶永春等.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2017.

[3] 陈广生.高职院校《高等数学》课堂教学最优化研究[J].大众科技，2010，（12）.

[4] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2010.

作者简介：张延利（1980.9-），男，山东莱芜人，硕士，副教授，主要研究方向：从事高等数学教育教学工作。

基金项目：泸州职业技术学院2021年上半年校级科研项目（项目编号：K-2111）;泸州职业技术学院2020年度院级教改项目（项目编号：JG-202017）;泸州职业技术学院2018年度院级精品在线开放课程（项目编号：SJPZXKC-201805）.