基于弗赖登塔尔教育理论在高中数学教学中的应用探究

2021-12-11梁皓森

理科爱好者(教育教学版) 2021年5期

【摘要】荷兰数学家弗赖登塔尔所提出的数学教育特征可概括为“现实化”“数学化”“再创造”。他强调数学教育必须面向社会现实，联系生活实际;用数学公式表达关系，数学语言描述问题;鼓励以学生为主体，实现数学过程再现，共同探索结果。本文以“集合”的教学为例，运用弗赖登塔尔教育理论进行教学，以期为广大教师提供参考。

【关键词】弗赖登塔尔;现实化;数学化;再创造;集合

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）28-0242-03

我国基础教育目前仍存在一些不足，如部分教师在授课时依然只是单方面的对学生进行知识的灌输，而并未让学生真正感受知识生成的过程，导致学生只会死记硬背，对知识不能熟练掌握与运用。美国教育家杜威提出的“做中学”，同样认为学生只有在不断改造和重新组织中才能够更好地掌握知识。新课标也提出将双基（基础知识、基本技能）改为四基（基础知识、基本技能、基本活动经验、基本思想），增加基本活动经验、基本思想，就是要更好地培养学生的思维能力和数学素养。

1 弗赖登塔尔教育理论概述

弗赖登塔尔将数学教育划分为五个特征：情景问题是数学的平台，数学化是数学教育的目标，学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分，互动是主要的学习方式，学科交织是数学教育内容的呈现方式[1]。张奠宙先生再次将五个特征概括为“现实化”“数学化”“再创造”[2]。

现实化是指数学源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有不同的“数学现实。教师要尊重學生已有的数学基础，即学生在数学概念、数学运算、数学规律各方面的认识。从现实生活中发现问题，提出问题，解决问题。

数学化是指运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，是从生活到符号再到概念的转化。

再创造强调学生主动参与知识生成的过程[3]，教师只作为引导者，不能强行将知识灌输给学生。

2 弗赖登塔尔教育理论在“集合”教学中的应用

2.1 集合的概念引入——现实化

弗赖登塔尔认为数学应建立在现实生活之上。在集合概念教学引入时，教师可以体育课老师让学生集合为例子，并且让学生思考：“当体育老师让学生集合的时候，大家第一反应是什么？”学生首先想到的是体育老师让大家聚拢到一起，将全班学生进行集合。教师再接着学生的回答继续引导：“其实体育课上老师让学生集合和数学课所学习的集合要求是一样的，就是把研究对象（班级全体学生）组合在一起称为一个集合。”

教师给出集合的概念：一般的，一定范围内，某些确定的、不同的对象全体构成一个集合。而集合中每一个研究对象称为元素（体育课上每一个学生就是元素）。一般用{}或者大写字母A，B，C……表示集合，用小写字母a，b，c……表示元素。

给出概念后，再反过来检查体育课进行的集合能否称为一个集合？一定范围内（整个班级），某些确定的、不同的对象（全体学生，并且每个学生都是独立的个体），所构成的集合。那么，显然体育课上所进行的集合符合数学中的集合概念。这样由学生生活实际所经历过的事件举出的实例更能够让学生由已知产生联想，激发其求知欲。

接着，教师又抛出问题：“是否能够将全校女生组合成集合？”由此引出集合中元素的确定性。教师再提出问题：“那么由全校女生组成的集合中有多少元素？是否能够数出来呢？”由此给出集合中元素的互异性。教师最后给出问题：“在全校女生进集合过程中，有顺序吗？”引出集合中元素的无序性。

在给出集合三要素后，学生自行讨论五分钟，举例出生活中的集合实例。如{影院二号观影厅内所有观众}，{全年级所有个子高的男同学}，{全校所有教师}。但全年级所有个子高的男同学不能构成一个集合，教师要准确地向学生解释清楚（不符合确定性，满足什么条件才能作为个子高的标准？）。

在集合概念引入时，不能只照着教材读，而要贴近生活，从学生已有知识经验出发，创设出便于学生理解的生活情境，让学生真切感受到数学来源于生活并且应用于生活。

2.2 集合之间的关系及其运算——数学化

这一环节是集合章节中的重难点，学生在了解集合概念之后，常常将符号混淆，如元素与集合之间用或表示，集合与集合之间用或表示。加上补集、并集、交集、全集的引入，学生头脑中没有清晰的思路，学习受阻。下面给出三道例题，运用数学思维解决问题。

（1）已知集合A={x|x2+x?6=0}，B={x|ax+1=0}，且BA，求a的值。

解：由已知，得A={?3，2}，若B是A的真子集，则B=

，或{?3}，{2}。

若B=，方程ax+1=0无解，得a=0。

若B={?3}，方程ax+1=0，得x=?3，a=。

若B={2}，方程ax+1=0，得x=2，a=。

综上可得，a=0或a=，a=。

小结：在已知集合A的情况下，第一步可将其求出，根据B是A的真子集，可知B集合有三种情况，分别为空集、{?3}、{2}，再依次求出a的取值。

重难点：①了解真子集的定义，如果集合A是集合B的子集，并且集合B不是集合A的子集，那么集合A叫做集合B的真子集。如果A包含于B，且A不等于B，就说明集合A是集合B的真子集（如图1）。②明白空集的含义，清楚空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。

数学思想：转化与化归，将文字、符号、图像进行转化，得到所需要的条件。

（2）设全集U={xN+|x≤8}，若A∩（CuB）={1，8}，（CuA）∩B={2，6}∩（CuB）={4，7}，求集合A，B。

解：由题可画出图2。

得出A={1，8，3，5}，B={2，6，3，5}。

小结：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，由A∩（CuB）={1，8}可知，在A中且不在B中的元素有1，8;由（CuB）∩B={2，6}，可知不在A中且在B中的元素有2，6;由（CUA）∩（CUB）={4，7}，可知不在A中且不在B中的元素有4，7;则元素3，5一定在A∩B中。根据推导画出图像，一目了然。

重难点：了解补集、交集、全集的概念，并能够灵活运用。

数学思想：数形结合思想，将数学语言与图像相结合，使其能够在一定条件下相互转化[4]。

（3）已知全集U=R，非空集合

命题p：xA，命题q：xB，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围。

解：∵ a2+2a>a，B={x|a

①当3a+1>2，即a>时，A={x|2

∵ p是q的充分条件，

②当3a+1=2时，即a<，A= ，符合题意。

③当3a+1<2时，即a<，A={x|3a+1

由 AB可得，

上可得，a的取值范围是。

小结：解题时需仔细读题，理解充分与必要条件的区别，计算时要细心。

重难点：根据q是p的必要条件，推出A含于B，再分类讨论情况即可。

数学思想：分类讨论思想，各个击破，做到不重

2.3 以学生为主体的数学过程再现——再创造

弗赖登塔尔认为反思是数学活动的重要一环，是数学活动的核心与动力[5]。这一过程通常体现在课堂上，教师引导学生以（数学）活动促思维，通过观察问题，数学化思考，探索规律，得出结论，发掘本质，从而经历数学思维与应用过程，并通过该过程让学生的思维形成创新性的突破、重组和再创造，建构起新的数学知识结构。下面给出两道例题，进行详细讲解。

（1）下面哪些属于集合，哪些不属于集合？为什么？请同学们一起探讨。

①所有大开本的书。②某市个子高的男性。③某校高一3班全体学生。

设计思路：学生分组讨论，依据集合三要素，明确集合与非集合的区别。

追问：若将②中的“个子高”换为“170以上”，是否能看作一个集合？

总结：集合三要素，即无序性、确定性、互异性，是指集合中元素之间的关系，当且仅当集合中元素滿足三要素时，该集合才能被称为集合。

（2）请同学们按照学习小组，小组成员之间互相出题，要求体现出集合中交集与并集的性质。

设计思路：在了解集合中交集、并集、全集、补集的概念之后，给予学生探讨的时间，利用学习小组，让成员之间进行探讨，表达自己的见解。讨论结束之后教师点评，巩固新知。

本文将弗赖登塔尔教育理论与实际教学相结合，目的在于通过这种教学方式，让学生真正成为课堂的主人，激发学生学习数学的兴趣，提高教学质量。教师在课堂上灵活运用“现实化”“数学化”“再创造”教学理念，既能丰富学生的直接经验，又能够提高学生的创新能力、培养学生的创新精神，最终可提升教学效果，促进学生发展。

【参考文献】

[1]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]张奠宙.数学教育学[M].南昌：江西教育出版社，1991.

[3]弗赖登塔尔，陈昌平.作为教育任务的数学[J].数学教学，1995（2）.