对一道电荷量求解问题的探讨

高 飞

（安徽省界首第一中学，安徽 界首 236500）

2021届“江南十校”一模联考理综卷第20题选择题原题如下.

例题.如图1，矩形导线线框水平固定放置，框中有磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场，导线的电阻分布均匀，ab=L，bc=2L，长度L的导线电阻为R.与线框材料相同，横截面积也相同的导体棒MN两端搭接在ad和bc上，MN在水平外力F的作用下，从紧挨ab处（与ab不接触）匀速运动到cd附近.MN与线框始终保持良好接触，在运动过程中：

图1

（A）导体棒MN中电流的方向由N到M.

（B）导体棒MN两端的电压变化量与流经它的电流变化量的绝对值之比先增大，后减小.

（C）导体棒MN运动到线框中点过程中，线框abcd中电流功率先增大，后减小.

（D）导体棒MN运动到线框中点过程中，通过MN的电荷量为

本题前3个选项不做求解，重点分析第4个选项的求解过程.

错解1：学生已经学习了法拉第电磁感应定律，教师也重点强调过相关计算导体棒运动过程中电荷量的计算公式，

由（1）-（3）式得

由（4）、（5）式得

此解错误的原因主要是在计算过程中只考虑在导体棒向右运动到中点过程中，左侧面积的变化，忽略了右侧面积的变化，没有理解该公式应用的实质条件.

错解2：对于基础知识稍微强的学生，可能会考虑到面积左右两侧变化，不能直接运用（4）式公示进行求解，对导体棒应用动量定理来求解.

由（7）、（8）式得

由（9）式得

由于导体棒从左向右匀速运动，所以时间

由（10）、（11）式得

通过计算得出这个结果，虽能排除第4个选项不正确，但是，这个结果也是不正确的.其一是在计算过程中，学生忽略了拉力F不是恒力，而是变力；其二，匀速运动过程中速度v并未给出.

本题正确解法：可以通过电荷量的定义式来处理，但是由于在运动过程中，整个回路中电流发生改变，用微积分思想来处理.

图2

如图2所示，假设单位长度电阻r，导体棒匀速运动的速度为v，当匀速运动时间t时，导体棒左侧回路电阻

右侧回路电阻

则回路中总电阻

导体棒切割磁感应线产生电动势为

流过导体棒总电流

则流经导体棒的电荷量微分表达式

由（13）-（18）式得

有积分公式

将x=vt-L代入（20）式并联立（19）、（20）式得

（21）式应该是本题第4问所要求的解，考虑到单位长度电阻R=Lr，则（21）式可写为

为了更能形象地反映出在导体棒运动过程中流过导体棒的总电荷量随时间的变化关系，这里通过matlab编程计算，并对（21）式中B、L、r赋值，赋B=0.1T，r=0.017Ω/m，L=2m.通过excel作图画出了qt的变化关系图，如图3所示.

图3

通过图像拟合，近似是一条一元二次函数.随着时间的增加，流过导体棒的总电量也在逐渐增加，但增加的越来越慢.

对于一道物理常规考题，可以通过学生不同解法，反映出学生对该知识点的理解和认识程度.同时可以通过图像，向学生展示美丽的物理图像，进而让学生领悟到最终简洁与和谐之美，即理性之美.［1］在以后竞赛辅导中也可以从一般考题逐渐提升到竞赛，使学生做到对某一知识点掌握系统且深入，真正达到学以致用.