具有隐藏吸引子的单涡卷混沌系统与电路实验

计文奎，胡海煦，李 菲，王 苗，万求真,2*

（1.湖南师范大学 信息科学与工程学院，湖南 长沙 410081；2.湖南湘江人工智能学院，湖南 长沙 410081）

1 引言

混沌作为一种独特的非线性现象，一直被众多学者广泛关注。对混沌系统的兴趣主要在于它们复杂的、不可预测的行为，以及对初始条件和参数变化的极端敏感性，而这一些特性都与混沌吸引子密切相关。

在2011 年，Leonov 和Kuznetsov 将混沌吸引子分为自激吸引子和隐藏吸引子[1]，Lorenz 系统、Chen 系统等一系列的经典吸引子都被归类于自激吸引子，它是由不稳定的平衡点所激发。在2012 年，文献[2]发现了一个简单的且只有一个稳定平衡点的三维自治二次系统，揭示了混沌的一些新的复杂特征。也就是说，有无不稳定的平衡点对混沌系统来说，并不是必要条件。隐藏吸引子的研究序幕逐渐被拉开。

隐藏吸引子一般出现在没有平衡点或者只有稳定平衡点的混沌系统中[3]。本文中不仅介绍了一种没有平衡点的隐藏吸引子单涡卷混沌系统，更引入另外一种新的具有隐藏吸引子的单涡卷系统——线平衡点混沌系统。这样的系统在混沌吸引子的吸引盆之外的线上通常有无数个点，因此不可能通过在不稳定平衡点附近选择任意的初始条件来识别混沌吸引子。换句话说，从计算的角度来看，这些吸引子是隐藏的。

这些隐藏吸引子的潜能是巨大的。混沌信号在各种工程应用中随处可见，包括保密通信，图像加密，随机信号发生器，雷达和声纳系统等。隐藏吸引子有一个不与任何平衡点的小邻域相交的吸引盆，它们会对桥梁或飞机机翼等结构产生扰动而造成灾难性的后果[4]。

2 混沌系统构建分析

2.1 单涡卷系统的模型

单涡卷系统属于比较简单的混沌方程，一般表示为三维方程组[5]。这一类系统的方程虽然构建形式并不复杂，但所包含的现象丰富多彩。基于此，本文提出一类三维二次的单涡卷混沌系统模型：

其中，h(x,y,z)可以归纳为n1x+n2y+n3z+n4xy+n5xz+n6yz+n7x2+n8y2+n9z2，f(x,y,z)可以归纳为设定为一个可调的参数。通过对文献[6]的学习，采用类似的方法，即追求代数上的最简形式，将n3设为1；n11和n12以及n14设置为-1，n16设置为可调参数-a，n17设置为可调参数b，n19设定为常数-0.1，其余ni设置为0。这样就得到一个新的三维Jerk 混沌系统1（简称为系统1），方程组如下所示。

同理，将n8设置为可调参数a；n5和n14设置为-1，n13和n16设置为1；其余ni设置为0。由此可以得到一个新型单涡卷混沌系统2（简称为系统2），方程组如下所示。

2.2 无平衡点的隐藏吸引子

系统1 中，x和y以及z都是状态变量。根据连续混沌系统平衡点的知识，系统可能只有一个平衡点或多个平衡点，也可能没有平衡点。显然，当令系统1 方程组右端等于0，第一个方程显示y等于零，第二个方程显示z也为零。第三个方程可以得到-ax2=0.1，本文只考虑a取正实数的情况，则-ax2必定小于等于0，与系统方程相矛盾。所以系统1 并无实数解，即没有相应的平衡点。故此推断系统1 的吸引子必定是隐藏的[7]。

2.3 具有线平衡点的隐藏吸引子

在系统2 中，同样x，y和z都是状态变量，令方程等式右端等于0。可以求得系统方程在（0，0，Z）处有一个线平衡点。换句话说，这个系统的平衡点是在Z 轴上的线平衡点。根据雅克比矩阵多项式，求出特征值，其特征根不全为正或者负。所以在线平衡点上有无数个不稳定的鞍点。这意味着从计算角度上，线平衡点对找出混沌吸引子没有任何帮助，吸引子也是隐藏的。

2.4 相图与庞加莱截面

相图是研究混沌系统的一个重要依据。根据系统1 方程，当固定a=4 和b=3，初始条件设定为（5.5，4.22，-3.15）时，由数值仿真相图看出，这是一个单涡旋的隐藏混沌吸引子。图1（a）至图1（c）显示系统1 中混沌吸引子在不同平面的相图，图1（d）显示系统1 在x-y-z 平面上的相图。同理，根据系统2 方程，当固定a=0.4，初始条件设定为（0，4，5）时，图2（a）至图2（d）在平面上显示的是一个涡卷相对较大的混沌相图。

由图1 和图2 也能发现混沌的吸引子轨线在特定吸引域内具有遍历性和有界性。系统1 的运动轨迹受隐藏吸引子的影响在一个有限的区域内稳定运行。系统2 的涡卷虽然相对系统1 较大，但受吸引子影响，运动轨线始终围绕着吸引域。两者都是体现出混沌有界性和遍历性的特点。

图1 系统1 中典型隐藏吸引子相图

图2 系统2 中典型隐藏吸引子相图

为了实现与相图的可对照性，取初始值为（5.5，4.22，-3.15），参数a=4，b=3 来研究系统1 的庞加莱截面，如图3（a）所示；取初始值为（0，4，5），参数a=0.4 来研究系统2 的庞加莱截面，如图3（b）所示。由图可知，系统1 在Y=0 时的Poincare截面与系统2 在X=4 时的Poincare 截面都能与之相图相对应，且呈成片的具有分形结构的密集点，这进一步验证了系统的混沌特性。

图3 系统1 与系统2 的Poincare 截面

2.5 时域分析

混沌系统对初始条件有敏感的依赖性，这是由奇怪吸引子的特性所决定的，表现为局部不稳定。为了验证混沌系统对初始条件的敏感性，可以在系统1 初始值的基础上，增加一个很小的初值改变来进行对照，如图4 所示。红色实线是系统1 在初始值（5.5，4.22，-3.15）时状态变量x 的时域波形图，蓝色虚线代表的是初值（5.500 000 1，4.22，-3.15）的波形图。两个时域波形图仅在x 处取值相差0.000 000 1，但从t=115 秒左右，就能明显看出这两个波形轨迹的分离，随着时间推移，两条轨迹以指数形式快速分离[8]。

图4 实线是初始值x=5.5，虚线是初始值x=5.500 000 1

2.6 Lyapunov 指数以及频谱图

Lyapunov 指数是定量描述轨线相互排斥和互相吸引的特征值。最大Lyapunov 值是判断系统是否是混沌或者周期运动的重要依据。混沌系统必定存在最大Lyapunov 指数大于0 的情况[9]。如图5（a）和（c）所示，本文计算出系统1 的三个Lyapunov 指数值，分别为σ1=0.15176，σ2=-0.035203，σ3=-2.7101；系统2 的三个Lyapunov 指数值分别为σ1=0.075865，σ2=-0.01113，σ3=-0.73556。两个系统都存在一个正的Lyapunov 指数，一个近似为0的Lyapunov 指数，还有一个负的Lyapunov 指数。另外，混沌系统的信号是非周期的，对于非周期信号，用功率谱来刻画时是连续的。如图5（b）和（d）所示，系统1 的双边功率谱和系统2 的单边功率谱都是连续谱，其中两图中出现很多的峰值谱线，这主要是倍周期分岔的影响[10]。

图5 系统1 和系统2 的Lyapunov 指数图以及功率谱

3 系统参数对混沌系统的影响

3.1 分岔分析

分岔图和Lyapunov 指数谱是分析混沌动力学特性最有效的一种方法。分岔图是庞加莱映射随系统参数变化，在某一坐标轴上的投影构成的图像。为了分析系统中周期与混沌运动之间随参数变化的影响，本文通过改变系统1 和系统2 中的参数，来得到相应分岔图和Lyapunov 指数谱的变化曲线。

对于系统1，选取初始值为（5.5，4.22，-3.15），固定参数b 为3，a 的取值范围设定为[3.6，4.17]，得到状态变量x 的分岔图和相应的Lyapunov 指数谱如图6 所示。从图6（a）分岔图中可以清晰的看到大部分区域是成片的密集点，这是混沌运动的专有特性。

从图6（a）和图6（c）可以看到，在a=3.6 开始增加时，系统是混沌的，接着落入一个较小的周期窗口，然后出现一系列倍周期分岔运动，最后进入弱混沌到混沌状态。由图6（b）和图6（d）的放大效果图可以看出，系统1 在极为狭窄的区段内，存在着丰富多彩的分岔行为以及Lyapunov 指数变化。

图6 系统1 随参数a 变化的分岔图与Lyapunov 指数谱

如图7 所示，当选取参数a=4，初始值为（5.5，4.22，-3.15），参数b 在[1，3.5]区域内逐渐改变时，图7（a）和图7（b）分别描绘了Lyapunov 指数图和状态变量y 的分岔图。可以看到，在b 属于[1，1.7]范围内时，最大Lyapunov 指数约为0，另外两个Lyapunov 指数都是小于0，系统是周期的。随着b 在[1.7，3.5]范围内变化，最大Lyapunov 指数大于0，第二Lyapunov 指数等于0，最小Lyapunov指数小于0，系统是混沌的。

图7 系统1 随参数b 变化的分岔图与Lyapunov 指数谱

对于系统2，当选取a 的取值范围为[0.17，0.42]，如图8 所示，在[0.17，0.26]区域内，最大Lyapunov 指数约为0，系统属于周期状态；在[0.26，0.42]区域内，系统又开始转变为混沌状态。

图8 系统2 随参数a 变化的分岔图与Lyapunov 指数谱

3.2 吸引盆

吸引盆是在固定初始条件下，系统方程运动轨迹收敛到各自对应吸引子的点集。分形结构和带有孔洞性的筛型结构是吸引盆最为显著的特征[11]。隐藏吸引子并不能像自激吸引子那样，通过求出不稳定的鞍焦平衡点来确定其位置所在。以系统2 为例，可以得到其特征方程为λ（λ2+z）=0，其中一个特征根等于0，而另外两个特征根的值取决于z。根据劳斯-赫维茨稳定性准则[12]，当z大于0 时，特征值具有正实部，因此正z轴是不稳定的。在此选择系统2 在y=0 时，xz截面的吸引盆，如图9 所示，红色区域代表混沌吸引子，青色区域代表周期吸引子，紫色区域代表无界区域。

图9 紫色代表无界区域，红色代表混沌吸引子，青色代表周期吸引子

3.3 共存非对称隐藏吸引子

共存吸引子是指在系统参数相同的条件下，因初始值不同，从而存在两种或者两种以上的吸引子[13-14]。从对称性的角度来看，共存吸引子又被分为两类，一类是常见的对称共存吸引子[15]，而另一类则是非对称共存吸引子[16]。

在对称性混沌系统中，由于方程结构的特殊性，对称共存吸引子很容易被发现，但非对称共存吸引子无论在对称系统或者非对称系统中都很少被报道。通过观察可知，系统1 为非对称系统，当选择参数b=3，在[3.64，4.17]区域内调整参数a的值，可以刻画状态变量x 的共存分岔图。如图10所示，红色分岔图是当初始值（5.5，4.22，-3.15）时所刻画，而蓝色分岔图是当初始值为（5.5，4.22，3.15）时所刻画。从图中可以看出，两个不同初始值的分岔图有共存的区域，也有不共存的区域。其中，在极其狭小的共存区域中存在着丰富多彩的非对称吸引子的共存现象。

当选择参数a=4，b=3 时，图10（b）刻画出两个非对称共存混沌吸引子。当选择参数a=3.79，b=3 时，图10（c）显示两个多倍周期吸引子共存的画面。当选择参数a=4，调整b=1.7 时，图10（d）清晰地刻画出混沌吸引子与多倍周期吸引子共存的现象。综上所述，系统1 能在参数变化的情况下，存在非对称吸引子的共存现象。

图10 共存分岔图及不同类型的共存吸引子

4 电路设计

混沌系统的硬件设计有重要的市场前景[17-18]。在本节中，以系统2 为例进行电路设计。如图11 所示，设计一个基于模块化的模拟运算电路来实现该系统的状态变量x，y和z。通过采用模拟乘法器(AD633)、运算放大器（TL082）以及外围电路来实现电路方程中的非线性乘积项、反向运算以及积分运算等，其中乘法器和运算放大器选用15V 的供电电压。从前面Matlab 相图可知，三种状态变量的信号范围并未超出电路允许范围。基于系统2，固定参数a=0.4，可以得到方程式（4），再根据基尔霍夫定律，并考虑乘法器放大倍数为0.1，可以得到方程式（5）。

图11 系统2 的电路设计图

当令C1=C2=C3=1μF，可以计算出电路中各电阻的精确值分别为R1=1000 kΩ,R2=250 kΩ，R3=R4=R5=R6=100 kΩ，R7=R8=R9=R10=10 kΩ。由于模拟示波器的性能限制，为了能让混沌信号清楚地在屏幕上显示，在此采用减小电容的方法，即保持其他元器件的参数不变，调整C1=C2=C3=10 nF，由此将信号频率放大为原信号的100 倍。这里，电容的改变只影响信号显示的速率。从图12 中可以看出，实物搭建的混沌吸引子实验结果与Matlab 数值仿真相一致，这反映设计电路是完全可行的。

图12 单涡卷隐藏吸引子的示波器屏幕截图

5 结论

本文提出了一类三维单涡卷混沌系统模型。该模型既可以产生无平衡点的隐藏吸引子单涡卷系统，也可以产生线平衡点的隐藏吸引子单涡卷系统，此类单涡卷系统验证了混沌对初始条件的敏感性以及遍历性。同时，分析了系统1 与系统2 在参数变化下的动力学特性，两者都存在混沌到周期再到混沌的演变特性。在极为短暂的区间内，单涡卷系统可存在非常丰富的共存非对称隐藏吸引子现象，这在非线性系统中有极为重要的工程应用价值。最后为了拓宽混沌系统的实际应用，搭建了硬件实验电路，验证了混沌电路的实际可操作性。